“應(yīng)該是這樣吧”。

許多時候我們遇到不懂的事情，常習(xí)慣就這么歪頭兩秒鐘，然后，彷佛答案卡在腦袋里面一樣，搖一搖，答案噗通一聲就掉出來了。

有人稱這是直覺。

然而，很遺憾地，大多數(shù)人的直覺都不是很準，不然就不會那么多人在彩票選號時面帶微笑，還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點，應(yīng)該會很憂心忡忡地想著

50元花下去，中三碼的概率僅有1.78%，好低。

六碼全中的頭彩概率更是低到7.15億分之一，比每天車禍致死的概率5.25億分之一還低，唉。

就算不講容易讓人不理性的彩票，直覺在許多時候也經(jīng)不起數(shù)學(xué)的檢驗。更正確一點的說法是，直覺本來就不大準，只是這世界并沒有太多事情能搞清楚對錯，所以不容易察覺到直覺到底有多不準。好比你覺得隔壁同學(xué)暗戀你，因為她下課常問你要不要一起去商店，但事實上她只是單純想找人陪，可是在告白之前，你無法確認這件事情的真相。

更可悲的是，就算告白成功了，你還是無法確認她是否真的愛你。

聽不懂嗎？沒關(guān)系，再長大一點就懂了。

今天，我們藉由簡單的數(shù)學(xué)統(tǒng)計，讓大家實際看看，直覺跟事實間的差距，恐怕比臺灣藍綠兩黨之間的差距還大。后者至少還有“無能”、“貪污”、“讓老百姓氣到高血壓”等等諸多共同點…嗯，他們其實蠻像的，我似乎舉錯例子了。

直覺 vs. 數(shù)學(xué)

翻開存折，看看最左邊的數(shù)字，將這個數(shù)字稱為“首位數(shù)”，一百多萬的首位數(shù)是1，六千多元的首位數(shù)是6，八十幾塊的首位數(shù)即是8?，F(xiàn)在，請用直覺判斷，全臺灣兩千三百萬人的存款金額首位數(shù)，1~9各個數(shù)字出現(xiàn)的概率各自是多少呢？

均勻分布，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率皆是1/9。

許多人的直覺應(yīng)該此刻在腦海里吶喊著這個答案，還帶點不屑。

要是順從直覺，按照這個邏輯繼續(xù)推理下去，使用歐元的人的存款金額首位數(shù)，日本人的日幣存款金額首位數(shù)，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率應(yīng)該也都是1/9的均勻分布。沒理由這項統(tǒng)計數(shù)字在臺灣是均勻分布，到歐洲或日本就會改變，大家理當都該一樣。

現(xiàn)在，當我們假設(shè)有9個人，戶頭里各自有100、200…900元新臺幣，符合均勻分布。

要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計算，會得到下表。

可以看見，首位數(shù)1從出現(xiàn)一次，大幅增加到三與四次，首位數(shù)9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況，可以得到下面的統(tǒng)計分析圖。當臺幣換算成歐元或日幣時，首位數(shù)數(shù)字小的出現(xiàn)概率都比較高。

至此，可以宣告直覺失敗，輸給了所謂的“本福特定律Benford’s Law”：以自然形式出的數(shù)字，首位數(shù)是1的概率約30%，2的概率是17.6%，依序遞減，首位數(shù)是8與9的概率各自僅有5.1%與4.6%。

本福特定律是哪招

要解釋這種不直覺的遞減現(xiàn)象，我們得先提一個生活中的例子。

想象一條長條狀的蛋糕，蛋糕上不同區(qū)域，有不同的裝飾：有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕，而且每種裝飾都想吃到，最常見的作法，就是先將蛋糕由上往下，切成許多片，每一片的大小符合每個人能拿到的比例，切完后依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個人再根據(jù)自己的編號，周期性地挑出屬于自己的蛋糕。如同下圖。

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離，切下等寬的一部份?？梢源_保每個人拿到他該拿到的比例，且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為“理想蛋糕分法”。

回到首位數(shù)的問題。

要是統(tǒng)計全臺灣的人銀行存款，可以畫出存款的統(tǒng)計分布圖，我們用下面這張示意圖表示。

存款首位數(shù)為1的區(qū)域我們用紫色表示。要是將整個曲線想成一條蛋糕，切下的紫色區(qū)域起先是一條細細的“1”，過了2-9后，再來一塊粗一點的“10-19”，這次得隔久一點，過了0-99，才會再出現(xiàn)更粗的“10-19”。然后，得一直等到“1000-1999”。

切下的區(qū)域分別是1、10、100、1000……切的間隔是8、80、800……。

換句話說，依據(jù)不同首位數(shù)的蛋糕切法，在不同間隔間，切下大小不同的面積，不是剛才說的“理想蛋糕分法”?？赡?，落在300-500的櫻桃就這么沒了。

不過，要是將x軸的金額取對數(shù)(log)，就會得到下面這張圖。

方才所說的“理想蛋糕分法”——等間隔切下同樣大小的區(qū)域，在此重現(xiàn)了。

因為是等間隔，不同區(qū)域的裝飾都能拿到，以取樣的角度來，就是取下來的部分能夠充分反映原來曲線的特性。

有趣的是，在對數(shù)轉(zhuǎn)換后，首位數(shù)為1切下來的面積所占比例是log₁₀2- log₁₀1=log2-30%，首位數(shù)是2的比例則是log₁₀3- log₁₀2=log₁₀(3/2)-17.6%，歸納出首位數(shù)為x時，所占比例為log₁₀(1+1/x)。

這才是真正的首位數(shù)分布。

回到剛剛不同幣值的問題，如果假設(shè)新臺幣的存款首位數(shù)分布是依據(jù)本福特定律時，換算成歐元跟日幣后，可以得到下圖。

可以看見，換算到不同貨幣后，趨勢依然相似，大致依然符合本福特定律。終于，我們看到log離家出走，離開了數(shù)學(xué)課本。

數(shù)學(xué)界的捉蟲達人，本福特定律

只要是自然產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)涵蓋范圍很大，首位數(shù)分布即會符合本福特定律。

因此，本福特定律相當具有實際用途。好比，統(tǒng)計公司一年的各種報賬款項，便會看見本福特定律的存在。政府或會計師即可反過來利用本福特定律，審核公司報賬是否誠實，如果不符合本福特定律，可能就有問題了。

奈何我無法拿各級政府，或首長特別費的資料實際測試一下本福特定律的威力(也怕測出來發(fā)現(xiàn)不符合，大家反而會說“這不是理所當然嗎”)，只好拿2012“總統(tǒng)”大選各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的投票結(jié)果來看：

結(jié)果相當符合本福特定律，這告訴我們，要么“總統(tǒng)”大選沒作票，不然就是作票的人精通本福特定律。

從一開始就說，別相信直覺了嘛。

參考文獻

1. R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, 2009, Nov.