一、基礎(chǔ)知識

定義1  角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。

定義2  角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|α|=,其中r是圓的半徑。

定義3  三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=，余切函數(shù)cotα=，正割函數(shù)secα=,余割函數(shù)cscα=

定理1  同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tanα=,sinα=，cosα=；商數(shù)關(guān)系：tanα=；乘積關(guān)系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關(guān)系：sin²α+cos²α=1, tan²α+1=sec²α, cot²α+1=csc²α.

定理2  誘導(dǎo)公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇變偶不變，符號看象限）。

定理3  正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時, y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.

定理4  余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kπ-π, 2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ時，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z.

定理5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xkπ+)在開區(qū)間(kπ-, kπ+)上為增函數(shù), 最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。

定理6  兩角和與差的基本關(guān)系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=

定理7  和差化積與積化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8  倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α,

tan2α=

定理9  半角公式:sin=,cos=,

tan==

定理10  萬能公式: , ,

定理11  輔助角公式：如果a, b是實數(shù)且a²+b²0，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a, b)的一個角為β，則sinβ=,cosβ=，對任意的角α.

asinα+bcosα=sin(α+β).

定理12  正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。

定理13  余弦定理：在任意△ABC中有a²=b²+c²-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。

定理14  圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得到y=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>A倍，得到y=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>A倍，得到y=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y=Asinx的圖象。

定義4  函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函數(shù)y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15  三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)ⁿarcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

定理16  若，則sinx<x<tanx.

二、方法與例題

1．結(jié)合圖象解題。

例1  求方程sinx=lg|x|的解的個數(shù)。

【解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。

2．三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

例2  設(shè)x∈(0, π), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小。

【解】  若，則cosx≤1且cosx>-1，所以cos，

所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0，

所以cos(sinx)>sin(cosx).

若，則因為sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，

所以0<sinx<-cosx<，

所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).

綜上，當(dāng)x∈(0,π)時，總有cos(sinx)<sin(cosx).

例3  已知α，β為銳角，且x·（α+β-）>0，求證：

【證明】  若α+β>，則x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,

所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，

所以       

若α+β<，則x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,

所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，

所以，得證。

注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

3．最小正周期的確定。

例4  求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】  首先，T=2π是函數(shù)的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ+時，y=0（因為|2cosx|≤2<π）,

所以若最小正周期為T₀，則T₀=mπ, m∈N₊，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T₀=2π。

4．三角最值問題。

例5  已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。

【解法一】  令sinx=,

則有y=

因為，所以，

所以≤1，

所以當(dāng)，即x=2kπ-(k∈Z)時，y_min=0，

當(dāng)，即x=2kπ+(k∈Z)時，y_max=2.

【解法二】  因為y=sinx+,

=2（因為(a+b)²≤2(a²+b²)），

且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，

所以當(dāng)=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時, y_max=2，

當(dāng)=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)時, y_min=0。

例6  設(shè)0<<π，求sin的最大值。

【解】因為0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.

所以sin（1+cos）=2sin·cos²= ≤=

當(dāng)且僅當(dāng)2sin²=cos², 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。

例7  若A，B，C為△ABC三個內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。

【解】  因為sinA+sinB=2sincos, ①

sinC+sin,          ②

又因為，③

由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,

所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,

當(dāng)A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）_max=.

注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。

5．換元法的使用。

例8  求的值域。

【解】  設(shè)t=sinx+cosx=

因為

所以

又因為t²=1+2sinxcosx,

所以sinxcosx=，所以，

所以

因為t-1，所以，所以y-1.

所以函數(shù)值域為

例9  已知a₀=1, a_n=(n∈N₊)，求證：a_n>.

【證明】 由題設(shè)a_n>0，令a_n=tana_n, a_n∈，則

a_n=

因為，a_n∈，所以a_n=，所以a_n=

又因為a₀=tana₁=1，所以a₀=，所以·。

又因為當(dāng)0<x<時，tanx>x，所以

注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。

另外當(dāng)x∈時，有tanx>x>sinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。

6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A, , >0).

由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>A倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得到y=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>A倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，最后向左平移個單位，得到y=Asin(x+)的圖象。

例10  例10  已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。

又0≤≤π，解得=，

因為f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。

取x=0，得=0，所以sin

所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).

又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；

取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；

取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)，

綜上，=或2。

7．三角公式的應(yīng)用。

例11  已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

【解】   因為α-β∈，所以cos(α-β)=-

又因為α+β∈，所以cos(α+β)=

所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例12  已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值。

【解】  因為A=120⁰-C，所以cos=cos(60⁰-C)，

又由于

=，

所以=0。

解得或。

又>0，所以。

例13  求證：tan20+4cos70.

【解】  tan20+4cos70=+4sin20

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．已知銳角x的終邊上一點A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為___________。

2．適合-2cscx的角的集合為___________。

3．給出下列命題：（1）若αβ，則sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,則αβ；（3）若sinα>0，則α為第一或第二象限角；（4）若α為第一或第二象限角，則sinα>0. 上述四個命題中，正確的命題有__________個。

4．已知sinx+cosx=(x∈(0, π))，則cotx=___________。

5．簡諧振動x₁=Asin和x₂=Bsin疊加后得到的合振動是x=___________。

6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+₁)=5sin(x-₂)=5cos(x+₃)=5cos(x-₄)，則₁，₂，₃，₄分別是第________象限角。

7．滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個。

8．已知，則=___________。

9．=___________。

10．cot15cos25cot35cot85=___________。

11．已知α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求cosβ的值。

12．已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實數(shù)m的取值范圍。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當(dāng)扇形面積最大時，a=__________.

2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.

3. 函數(shù)的值域為__________.

4. 方程=0的實根個數(shù)為__________.

5. 若sina+cosa=tana, a，則__________a（填大小關(guān)系）.

6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.

7. 若0<y≤x<且tanx=3tany，則x-y的最大值為__________.

8. =__________.

9. ·cos·cos·cos·cos=__________.

10. cos²71+cos71cos49+cos²49=__________.

11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.

12. 求滿足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有銳角x.

13. 已知f(x)=(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）試求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）

1．若x, y∈R，則z=cosx²+cosy²-cosxy的取值范圍是____________.

2．已知圓x²+y²=k²至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數(shù)k的取值范圍是____________.

3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為____________.

4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩實根α，β，則α+β=____________.

5．函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.

6．設(shè)sina>0>cosa, 且sin>cos，則的取值范圍是____________.

7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________個解.

8．若x, y∈R, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________.

9．若0<<, m∈N₊, 比較大?。?/span>(2m+1)sin^m(1-sin)__________1-sin^2m+1.

10．cot70+4cos70=____________.

11. 在方程組中消去x, y，求出關(guān)于a, b, c的關(guān)系式。

12．已知α，β，γ，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。

13．關(guān)于x, y的方程組有唯一一組解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。

14．求滿足等式sinxy=sinx+siny的所有實數(shù)對（x, y）, x, y.

聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（二）

1．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________.

2．若，則y=tan-tan+cos的最大值是__________.

3．在△ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a²+9b²-19c²=0，則=__________.

4．設(shè)f(x)=x²-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 將f(α), f(β), f(γ), f(δ)從小到大排列為__________.

5．log_sin1cos1=a, log_sin1tan1=b, log_cos1sin1=c, log_cos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為__________.

6．在銳角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，則tanα·tanβ·tanγ=__________.

7．已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(0<<π)，且對任何x∈R, f(x)=sin·x²+·x+cos≥0，則此矩形面積的取值范圍是__________.

8．在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________.

9．已知當(dāng)x∈[0, 1]，不等式x²cos-x(1-x)+(1-x)²sin>0恒成立，則的取值范圍是__________.

10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos²x+ cos²y+ cos²z=__________.

11．已知a₁, a₂, …,a_n是n個實常數(shù)，考慮關(guān)于x的函數(shù)：f(x)=cos(a₁+x)+cos(a₂+x) +…+cos(a_n+x)。求證：若實數(shù)x₁, x₂滿足f(x₁)=f(x₂)=0，則存在整數(shù)m，使得x₂-x₁=mπ.

12．在△ABC中，已知，求證：此三角形中有一個內(nèi)角為。

13．求證：對任意自然數(shù)n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求證：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.

2. 已知a為銳角，n≥2, n∈N⁺，求證：≥2ⁿ-2+1.

3. 設(shè)x₁, x₂,…, x_n,…, y₁, y₂,…, y_n,…滿足x₁=y₁=, x_n+1=x_n+, y_n+1=，求證：2<x_ny_n<3(n≥2).

4．已知α，β，γ為銳角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求證；π<α+β+γ<π.

5．求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意實數(shù)x和任意，恒有(x+3+2sincos)²+(x+asin+asin)2≥

6. 設(shè)n, m都是正整數(shù)，并且n>m，求證：對一切x都有2|sinⁿx-cosⁿx|≤3|sinⁿx-cosⁿx|.

7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。

8．求的有的實數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2ⁿa, …中的每一項均為負(fù)數(shù)。

9．已知_i，tan₁tan₂…tan_n=2, n∈N⁺, 若對任意一組滿足上述條件的

₁，₂，…，_n都有cos₁+cos₂+…+cos_n≤λ，求λ的最小值。

本系列講座由在人教中數(shù)論壇網(wǎng)友“0.1”整理提供，感謝他（她）的分享。