在高中《物理》教材中，動量定理F·t＝mv₂－mv₁，是由牛頓第二定律F＝ma推導(dǎo)出來的，那么應(yīng)如何準(zhǔn)確地理解動量定理與牛頓第二定律呢？本文做一初淺的探討。

一、動量定理是牛頓第二定律原來采用的形式

在牛頓提出運動第二定律之前，伽利略在批判亞里士多德的力與速度的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了力與加速度的依賴關(guān)系，但是他沒有也不可能在當(dāng)時的條件下發(fā)現(xiàn)作用力與加速度之間的定量關(guān)系。在1684年8月之后，牛頓用幾何法和極限概念論證了引力平方反比律，在為解決萬有引力是否跟質(zhì)量成正比的問題時，他發(fā)現(xiàn)了運動第二定律，具體的記載有兩處，一處是在“論物體的運動”一文手稿中寫道：“…動力與加速度的力之比等于運動與速度之比。因為運動的量是由速度乘以物質(zhì)的量導(dǎo)出的…”。另一處是在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的定義Ⅷ中給出的：“因為運動的量是由速度乘以物質(zhì)的量求出來的，并且動力是由加速度的力乘以同一物質(zhì)之量求出來的，物體的幾個粒子上的加速的力的作用總和就是整個物體的動力”。上面兩段話中，“加速的力”指的是加速度，“運動”“運動的量”指的是動量，“動力”指的是與加速度對應(yīng)的作用力，“物體”“物質(zhì)的量”就是質(zhì)量。由此可知，牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中已明確提出動量的定義：“運動量是用它的速度和質(zhì)量一起來量度的”，“并把動量的變化率稱之為力”，“他又用動量來表述運動第二定律”。綜上所述，牛頓其實已經(jīng)提出了運動第二定律的文字表述：作用力與加速度成正比。但當(dāng)時牛頓并沒有明確地用公式（F＝ma）表述出來，牛頓第二定律原來采用的形式是

力F、質(zhì)量m、速度v和時間t這四個物理量，選擇適當(dāng)?shù)膯挝唬墒贡壤禂?shù)k＝1，這時，牛頓第二定律可表示為

?、?/p>

因此，牛頓第二運動定律的真實表述應(yīng)該是物體所受外力等于其動量對時間的變化率。①式也叫做牛頓第二定律的微分形式?！蹲匀徽軐W(xué)的數(shù)學(xué)原理》已經(jīng)提出了作用力與加速度成正比，但當(dāng)時牛頓并沒有將公式①直接用F＝ma表述出來，這是為什么呢？我國研究牛頓的資深學(xué)者閻康年先生在他的專著《牛頓的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與科學(xué)思想》中專門研究了牛頓的質(zhì)量觀：“牛頓對質(zhì)量概念的認(rèn)識分靜質(zhì)量和動質(zhì)量兩個方面。靜質(zhì)量就是牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中所說的由物體的重量知道的，并與其重量成比例的物質(zhì)之量；動質(zhì)量就是牛頓說的物質(zhì)得以繼續(xù)保持其運動狀態(tài)而對外力反抗的一種內(nèi)在固有的力?！边@就是說牛頓知道物體的質(zhì)量也是個變量，只是在當(dāng)時牛頓還不可能提出靜質(zhì)量和動質(zhì)量的概念，因此牛頓沒有將m從微分號中拿出來。“也許在那時，牛頓就在冥冥之中預(yù)感到物理學(xué)未來的發(fā)展，于是就在自己的偉大發(fā)現(xiàn)中留下了一條耐人尋味的退路?！?/p>

奧地利科學(xué)家馬赫為了普及、推廣牛頓力學(xué)的應(yīng)用，改寫了牛頓第二定律的形式，他把質(zhì)量m從微分號內(nèi)提了出來，免去了微分運算，并把牛頓第二定律表述為

F＝ma?、?/p>

用力F，加速度a與質(zhì)量m等概念來表述牛頓第二定律，將牛頓第二定律通俗化，使具有初等數(shù)學(xué)水平的人也可以掌握。這樣做，對牛頓第二定律的普及和推廣確實起到了巨大的推動作用，但同時因馬赫把質(zhì)量m當(dāng)做常量而給后人準(zhǔn)確地理解牛頓第二定律，特別是理解牛頓力學(xué)與狹義相對論間的正確關(guān)系造成了深遠(yuǎn)的影響。

二、在經(jīng)典力學(xué)中F＝ma與動量定理是完全等效的

①式既是牛頓第二定律原來采用的表達(dá)式，又是動量定理的微分表達(dá)式。由此可見，質(zhì)點的動量定理就是牛頓第二定律原來采用的形式。對于單個質(zhì)點，動量定理的積分表達(dá)式為

當(dāng)力F和質(zhì)量m恒定不變時，設(shè)t＝t₂－t₁，得

Ft＝mv₂－mv₁   ③

對于由N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由于質(zhì)點系的內(nèi)力只能引起各個質(zhì)點的動量變化，不能引起總動量的變化，因此有

  ④

式中m_n表示質(zhì)點系中第n個質(zhì)點的質(zhì)量，v_n1和v_n2分別表示第n個質(zhì)點在時間t₂－t₁內(nèi)的初速度和末速度，F(xiàn)_n表示第n個質(zhì)點所受的外力。將④式兩邊對t取導(dǎo)數(shù)，得

  ⑤

這就是質(zhì)點系的質(zhì)心運動定律。M是質(zhì)點系的總質(zhì)量，a_c是質(zhì)點系質(zhì)心的加速度。

在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，因為質(zhì)量m恒定不變，牛頓第二定律F＝ma與動量定理F·t＝mv₂－mv₁，是完全等效的，動量定理是從動量的角度對牛頓第二定律進(jìn)行表述。在相對論力學(xué)中

   ⑥

式中m₀為質(zhì)點的靜止質(zhì)量（簡稱靜質(zhì)量），v和c分別表示質(zhì)點的速率和真空中的光速。由⑥式可知質(zhì)點的相對論質(zhì)量（簡稱動質(zhì)量）隨質(zhì)點速率的增大而增大。當(dāng)v遠(yuǎn)遠(yuǎn)地小于c時，可認(rèn)為質(zhì)點的質(zhì)量不變，這時動量定理與牛頓第二定律是等效的。牛頓第二定律的兩種形式也是等效的。當(dāng)v接近到c時，F(xiàn)＝ma和Ft＝mv₂－mv₁，不再成立，但牛頓第二定律（或動量定理）的微分形式仍然成立。由此可見，比F＝ma和Ft＝mv₂－mv₁具有更廣泛的適用性和更普遍的意義。

動量定理的微分形式其實也是牛頓第二定律的另一種表述，牛頓第二定律和動量定理都反映了外力作用與物體運動狀態(tài)變化的因果關(guān)系。但動量定理的積分形式比牛頓第二定律的經(jīng)典形式F＝ma賦予了新的內(nèi)涵。

牛頓第二定律是牛頓力學(xué)的核心內(nèi)容，它揭示了力是產(chǎn)生加速度的原因，力的作用效果是使物體產(chǎn)生加速度，并用ma來量度力F的作用效果；揭示了加速度跟力的瞬時關(guān)系，即加速度跟力即時（同時產(chǎn)生、同時變化、同時消失）、正比、同向；揭示了合外力的大小和方向決定了物體動量變化快慢的規(guī)律。

動量定理則揭示了沖量是引起運動狀態(tài)改變的原因，物體由于受到?jīng)_量的作用，導(dǎo)致物理動量的變化，并用沖量來量度物體動量的變化，即沖量決定了物體動量變化的多少，作用在質(zhì)點上的合外力沖量的矢量和或各外力沖量的矢量和等于質(zhì)點動量的增量；揭示了一個物理過程中各物理量間的過程關(guān)系；揭示了力作用一段時間的過程中，合外力的沖量與物體初、末的動量變化間的矢量關(guān)系。

例1　如圖1所示，光滑水平面上停著一只木球和載人小車，人與車的總質(zhì)量為M，木球質(zhì)量為m，而且知道M／m＝16／1。人以速度v沿水平方向?qū)⒛厩蛲葡蜇Q直墻，球又以速率v彈回，人接球后再以速率v將木球推向墻，如此反復(fù)。問：人經(jīng)幾次推木球后，再也不能接住木球？

解析　木球反彈回來的速率始終為v，當(dāng)人與車的速率增加到v時，則人將不能再接住木球。取木球、人與車組成的系統(tǒng)為研究對象，則這個系統(tǒng)原來的總動量為零，末動量為（m＋M）v。系統(tǒng)動量的增量為ΔP＝（m＋M）v。人與球間的推力只能引起球和人與車的動量變化，不能引起總動量的變化，由④式可知，沖量是物體動量變化的量度，作用在質(zhì)點系所有外力沖量的矢量和，等于質(zhì)點系在這段時間內(nèi)動量的增量。由于這個系統(tǒng)所獲得的動量是由木球受到墻的碰撞而得到的，墻對系統(tǒng)的沖量改變了系統(tǒng)的總動量。如圖2所示，設(shè)向右為正，木球與墻碰撞一次所獲得的沖量為

設(shè)木球與墻碰n次之后。系統(tǒng)的動量為（m＋M）v，根據(jù)動量定理，有

所以

故取　n＝9。

若用動量守恒定律或牛頓第二定律F＝ma求解，求解過程更復(fù)雜。

三、牛頓第二定律的微分形式與狹義相對論動力學(xué)方程是一致的

在相對論力學(xué)中，力也是被定義為動量p對時間的變化率，即

　?、?/p>

①、⑦式實際上是一致的，只是由于受當(dāng)時條件的限制，牛頓不可能清楚地知道靜質(zhì)量與動質(zhì)量之間的區(qū)別和精確的定量關(guān)系，但是在他的腦海里是清楚地知道，一個物體的速度是和它的質(zhì)量存在某種聯(lián)系，因此有人大膽地斷言：“動質(zhì)量和速度構(gòu)成統(tǒng)一變量的思想是牛頓力學(xué)中辯證法的靈魂，也是牛頓力學(xué)中早就蘊涵的相對論因素”。

四、動量定理Ft＝mv₂－mv₁，比牛頓第二定律F＝ma更具有普遍意義

動量定理與牛頓第二定律相比較，有其獨特的優(yōu)點：在公式Ft＝mv₂－mv₁，中，只涉及兩個狀態(tài)量mv₂和mv_１，及一個過程量F·t，至于這兩個狀態(tài)中間是怎樣的過程，軌跡怎樣，加速度怎樣，位移怎樣全不考慮。在力F作用的過程中不管物體是做直線運動還是曲線運動，動量定理總是適用的。動量定理除了用來解決在恒力持續(xù)作用下的問題外，尤其適合用來解決變力問題，對涉及沖力、碰撞、反沖運動的問題，由于力和加速度在極短的時間內(nèi)急劇變化，不便于用牛頓第二定律求解，而可以用動量定理來處理。當(dāng)物體在運動過程中所受的力不同時，則用動量定理求解更簡捷。因此從某種意義上講，應(yīng)用動量定理解題比牛頓第二定律更直接，更簡單，適用性更強。

例2　質(zhì)量為M的金屬塊和質(zhì)量為m的木塊通過細(xì)線系在一起，從靜止開始以加速度a在水中下沉，經(jīng)過時間t₁線斷了，金屬塊與木塊分開，如圖3所示。再經(jīng)過時間t₂，木塊停止下沉，此時金屬塊的速度v多大（設(shè)此時金屬塊還沒有碰到水池底面）？

解析　取金屬塊和木塊組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的浮力為F，依題意，由牛頓第二定律得

線斷前，金屬塊和木塊除了受到重力、浮力外，還受到了細(xì)線的拉力作用；線斷后，金屬塊和木塊只受重力和浮力，由于金屬塊和木塊在細(xì)線斷了前后的兩個階段所受的力不相同，若用F＝ma求解，物理過程比較煩瑣。因細(xì)線斷后系統(tǒng)所受的浮力不變，將系統(tǒng)作為研究對象，當(dāng)木塊停止下沉，即速度為零時，針對整個運動過程，由④式得

由以上兩式可得　

例3　一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出的氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機(jī)的功率是多少？

解析　火箭噴氣時，要對氣體做功，取一段很短的時間Δt，求出此時間內(nèi)火箭對氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出此火箭的功率。取在△t時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動量定理，有

根據(jù)牛頓第三定律，氣體對火箭的作用力大小也等于F，因為火箭靜止在空中，由于M>>m，可認(rèn)為火箭的總質(zhì)量不變，所以F＝Mg，代入上式得，可得

由動能定理得，火箭對氣體做的功為

所以發(fā)動機(jī)的功率為

五、牛頓第二定律和動量定理只適用于慣性參考系

在自然界中，不是所有的力學(xué)規(guī)律在任何參考系中都成立，因此研究力學(xué)問題要選擇參考系。同樣，牛頓第二定律和動量定理并不是在任意參考系中都是適用的，因此應(yīng)用牛頓第二定律和動量定理時，參考系不能任意選擇。牛頓第二定律及動量定理只適用于慣性參考系，如果在非慣性系中應(yīng)用牛頓第二定律和動量定理，必須考慮慣性力的影響。

參考文獻(xiàn):

1 林輝．還牛頓第二定律的本來面目［J]．現(xiàn)代物理知識，2003，（4）：12

2 漆安慎．力學(xué)基礎(chǔ)［M]．北京：人民教育出版社，1982．150～151

3 人民教育出版社物理室．物理教師手冊[M］．北京：人民教育出版社，1998．14～574