二十世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家諾伯特·維納，從小聰穎過人，3歲時(shí)就能讀寫，14歲時(shí)就大學(xué)畢業(yè)。幾年后，他又通過了博士論文答辯成為了美國(guó)哈佛大學(xué)的科學(xué)博士。

　　在博士學(xué)位的授予儀式上，執(zhí)行主席看到一臉稚氣的維納，很是驚訝，于是就詢問他的年齡，維納的回答十分巧妙：“我今年的歲數(shù)與歲數(shù)的平方的乘積是一個(gè)四位數(shù)，歲數(shù)的平方的平方是個(gè)六位數(shù)，這兩個(gè)數(shù)剛好把10個(gè)數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上，不重不漏，這意味著全體數(shù)字都像我稱臣，預(yù)祝我將來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一定能干出一番驚天動(dòng)地的大事業(yè)。”

　　維納此言一出，四座皆驚，大家都被他的這道妙題深深地吸引住了，整個(gè)會(huì)場(chǎng)都在討論他的年齡。

　　其實(shí)，這個(gè)問題并不難解答，只是需要一點(diǎn)數(shù)字靈感，你能推算出維納的年齡嗎？

解題過程：

我們先來研究維納年齡可能的“上限”：不難發(fā)現(xiàn)，21的立方是四位數(shù)，而22的立方已經(jīng)是五位數(shù)了，所以維納的年齡最多是21歲；

再來研究維納年齡可能的“下限”：18的四次方是六位數(shù)，而17的四次方則是五位數(shù)了，所以維納的年齡至少是18歲。

這樣，維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)。 剩下的工作就是一一篩選了。

20的立方是8000，有3個(gè)重復(fù)數(shù)字0，不合題意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合題意。

最后只剩下18，驗(yàn)算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，很完美的組合！這種解題方法就叫做排除法。

 

　　桌面上有14只杯子，3只杯口朝上，現(xiàn)在每次翻動(dòng)4只杯子（把杯口朝上的翻為朝下，把杯口朝下的翻為朝上）。

　　問：能否經(jīng)過若干次翻動(dòng)后，把杯口都朝下？若不能，那么每次翻動(dòng)6只能做到嗎？7只呢？

解析答案：

把杯口朝上的杯子用+1表示,把杯口朝下的杯子用-1表示。初始狀態(tài)是3"+",11"-"，所以把14個(gè)數(shù)相乘則積為-1, 而翻動(dòng)1只杯子時(shí),就是把+1變?yōu)?1或者是把-1變?yōu)?1,當(dāng)翻動(dòng)1只杯子時(shí),就相當(dāng)于原狀態(tài)乘以-1。翻動(dòng)n次杯子時(shí),就相當(dāng)于乘以n個(gè)"-1" 所以每次翻動(dòng)偶數(shù)只杯子時(shí),不改變初始狀態(tài)是"-1"的這個(gè)結(jié)果。

所以每次翻動(dòng)4只杯子和每次翻動(dòng)6只杯子,不能改變乘積為是"-1"的這個(gè)結(jié)果。即：都不能做到。

而每次翻動(dòng)奇數(shù)只杯子時(shí),能改變初始狀態(tài)是"-1"的這個(gè)結(jié)果。所以每次翻動(dòng)7只杯子且翻動(dòng)奇數(shù)次能做到。

具體操作如下:原狀態(tài)3只杯口朝上,11只杯口朝下。

①翻動(dòng)2只杯口朝上,翻動(dòng)5只杯口朝下, 翻動(dòng)后,6只杯口朝上,翻動(dòng)8只杯口朝下。

②翻動(dòng)3只杯口朝上,翻動(dòng)4只杯口朝下,翻動(dòng)后,7只杯口朝上,翻動(dòng)7只杯口朝下。

③翻動(dòng)7只杯口朝上。翻動(dòng)后,這時(shí)14只杯子都是杯口朝下,完成任務(wù)。

 

        一個(gè)理想中的西瓜是無限可切的，切一刀最多可得兩塊，切二刀最多可得四塊，切三刀最多可得八塊，請(qǐng)問：切100刀最多能得多少塊？
推理過程:

設(shè)二維中切第n刀破壞Q(n)個(gè)平面塊，三維中切第n刀破壞P(n)個(gè)立體塊，我發(fā)現(xiàn)：P(n)=P(n-1)+Q(n-1)。設(shè)n刀切出V(n)塊西瓜，有V(n)=（V(n-1)-P(n)）+2P(n)=P(n)+V(n-1)所以開始的幾刀切出的西瓜塊是：4刀15塊、5刀26塊、6刀42塊……n 1 2 3 4 5 6 7 8Q(n) 1 2 3 4 5 6 7 8P(n) 1 2 4 7 11 16 22 29V(n) 2 4 8 15 26 42 64 93正確答案的通項(xiàng)公式：V（n）=1/6(n^3+5n+6)將100代入上面的式子就可的正確答案：166751

    美國(guó)貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。

        一家小店剛開始營(yíng)業(yè)，店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當(dāng)這三位男士同時(shí)站起來付帳的時(shí)候，出現(xiàn)了以下的情況：

（1）這四個(gè)人每人都至少有一枚硬幣，但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。

（2）這四人中沒有一人能夠兌開任何一枚硬幣。

（3）一個(gè)叫盧的男士要付的帳單款額最大，一位叫莫的男士要付的帳單款額其次，一個(gè)叫內(nèi)德的男士要付的帳單款額最小。

（4）每個(gè)男士無論怎樣用手中所持的硬幣付帳，女店主都無法找清零錢。

（5）如果這三位男士相互之間等值調(diào)換一下手中的硬幣，則每個(gè)人都可以付清自己的帳單而無需找零。

（6）當(dāng)這三位男士進(jìn)行了兩次等值調(diào)換以后，他們發(fā)現(xiàn)手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒有一枚面值相同。

隨著事情的進(jìn)一步發(fā)展，又出現(xiàn)如下的情況：

（7）在付清了帳單而且有兩位男士離開以后，留下的男士又買了一些糖果（注：5分）。這位男士本來可以用他手中剩下的硬幣付款，可是女店主卻無法用她現(xiàn)在所持的硬幣找清零錢。

（8）于是，這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢，但是現(xiàn)在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。

對(duì)題意的以下兩點(diǎn)這樣理解：

（2）中不能換開任何一個(gè)硬幣，指的是如果任何一個(gè)人不能有2個(gè)5分，否則他能換1個(gè)10分硬幣。

（6）中指如果A，B換過，并且A，C換過，這就是兩次交換。那么，至少有一組解：是內(nèi)德用紙幣。盧開始有10′3+25，賬單為50；莫開始有50，賬單為25；內(nèi)德開始有5+25，賬單為10；店主開始有10。此時(shí)滿足1，2，3，4。

　　這道小學(xué)數(shù)學(xué)題看似并沒有傳說中的那么難，但就招聘單位的工作人員介紹，在74名應(yīng)聘學(xué)校教師的大學(xué)生中，只有數(shù)目少得可憐的3名大學(xué)生得出了正確答案，而其他的大學(xué)生要么解答錯(cuò)誤，要么交了“白卷”，其中不乏應(yīng)聘數(shù)學(xué)教師的大學(xué)生。一道小學(xué)數(shù)學(xué)題竟然讓如此多的大學(xué)生為難，人們不禁開始懷疑它的真實(shí)難度。于是有人就把這道小學(xué)數(shù)學(xué)題拿到當(dāng)?shù)匾患倚W(xué)交個(gè)六年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生解答，結(jié)果不到十分鐘就有十幾名小學(xué)生解出了正確答案。
答案解析：

易知水速為10km/h; (S-30)/(V-10)=4; S/(V+10)+30/(V-10)=4; 解得:S=150; 即，兩地路程為150KM。

　　一位木匠有32米長(zhǎng)的木料，準(zhǔn)備為花園做一個(gè)圍欄。對(duì)于花園的形狀，他有上面四種選擇。問題：他手中的木料可以分別為哪幾個(gè)花園制作圍欄？ 

正確答案：ACD

　　古代印度也像古代中國(guó)一樣有著燦爛的文化。下面是古代印度手稿里的一道有趣的數(shù)學(xué)題。

　　有一群蜜蜂，其中五分之一落在杜鵑花上，三分之一落在梔子花上，這兩者的差的三倍飛向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，共有幾只蜜蜂？
答案：共有15只蜜蜂。 
 

農(nóng)夫的村子里面有50個(gè)人,每個(gè)人家里都有一只家禽。一天,農(nóng)夫回來得知了一個(gè)消息:村子里面有家禽得傳染病了。需要村民每天觀察一次家禽的情況，但是每個(gè)人只能觀察到別人家的49只家禽是否生病，而看不出自己的家禽。當(dāng)判斷出自己家的家禽是病的時(shí)候，必須槍斃生病的家禽以換來全村家禽的成活，但是每個(gè)人只有權(quán)力槍斃自己家的家禽。 第一天，農(nóng)夫沒有槍聲；第二天，還是沒有槍聲。第三天，聽見槍聲了。這時(shí)，農(nóng)夫知道了村子里有幾只生病的家禽。請(qǐng)問，你知道有幾只么？

假如只有1只動(dòng)物，那么該家禽的主人在第一天看到其余49只狗都沒病時(shí)，就知道自己家的有病了，故第一天就會(huì)有槍聲。假如有2只生病的話，其主人分別為甲和乙，第一天沒有槍聲響起，在第二天甲會(huì)做如下思考：如果我的家禽沒病，那么乙在昨天看到的49只家禽全都是正常狗，他就會(huì)知道自己的家禽有病從而開槍了。他為什么沒開槍？這說明他看到我的家禽有病。于是甲會(huì)在第二天開槍。當(dāng)然同理乙也會(huì)在第二天開槍。實(shí)際情形是，第三天才出現(xiàn)槍聲，那么按照上述方法推理：一定有3只病狗。

本題是一道老題了！初看這一題似乎沒有切入點(diǎn)，那來慢慢讀題吧。

1)點(diǎn)的特征：“角上的點(diǎn)”是2條線段的頂點(diǎn)；“邊上的點(diǎn)” 是3條線段的頂點(diǎn)；“其余的點(diǎn)”是4條線段的頂點(diǎn)。

2)線段特征：同色兩點(diǎn)之間得到同色的線段，異色兩點(diǎn)之間得到黑色的線段。

3)原題問：“藍(lán)色線段”，就考慮藍(lán)色點(diǎn)出發(fā)有多少條線段。

角上：4，                        線段：4×2＝8，

邊上：4×17－29(紅色)＝39，    線段：39×3＝117，

中間：19×19－207－4(角上)－39(邊上)＝111，

線段：111×4＝444。

到此，該有的全有了，所有的線段，如何處理呢？

4)在上面所有的線段中，應(yīng)該知道，如果是“藍(lán)點(diǎn)與藍(lán)點(diǎn)”相連，則這條線段被計(jì)算了兩次，而黑色的線段，因?yàn)閯偛诺姆治龈静豢紤]紅點(diǎn)，所以黑色線段只算了一次，而紅色線段則完全不考慮了。即上面的計(jì)算結(jié)果是：黑色線段與藍(lán)色線段的總數(shù)。

黑色線段是已知的，顯然，答案也就出來了：

(8＋117＋444－215)÷2=177。

即：藍(lán)色線段有177條。

        有六個(gè)不同國(guó)籍的人，他們的名字分別為A，B，C，D，E和F；他們的國(guó)籍分別是美國(guó)、德國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、俄羅斯和意大利（名字順序與國(guó)籍順序不一定一致）。

　　現(xiàn)已知：（1）A和美國(guó)人是醫(yī)生；（2）E和俄羅斯人是教師；（3）C和德國(guó)人是技師；（4）B和F曾經(jīng)當(dāng)過兵，而德國(guó)人從沒當(dāng)過兵；（5）法國(guó)人比A年齡大，意大利人比C年齡大；（6）B同美國(guó)人下周要到英國(guó)去旅行，C同法國(guó)人下周要到瑞士去度假。

　　請(qǐng)判斷：F是哪國(guó)人？

同樣根據(jù)前三句知道A不是美國(guó)人、俄羅斯人、德國(guó)人，根據(jù)5得知A不是法國(guó)人，又不是英國(guó)人（C才是）所以A是意大利人。

又根據(jù)前三句知A、C、E都不是德國(guó)人，根據(jù)4知B、F也不是德國(guó)人，所以D是德國(guó)人。然后E不是美國(guó)人、俄羅斯人、德國(guó)人，加上得出的結(jié)論E不是英國(guó)人、意大利人，所以E是法國(guó)人。

只剩下B和F了，國(guó)家只剩下美國(guó)人和俄羅斯人，根據(jù)6知B不是美國(guó)人，所以B是俄羅斯人，F(xiàn)是美國(guó)人。

　　船長(zhǎng)杰克代領(lǐng)四名船員搶到了100顆寶石，每一顆都一樣的大小和價(jià)值連城。他們決定這么分：

1.抽簽決定自己的號(hào)嗎（1，2，3，4，5）

2.首先，由1號(hào)杰克提出分配方案，然后大家5人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。

3.如果1號(hào)死后，再由2號(hào)提出分配方案，然后大家4人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。

4.依次類推。

　　條件：每個(gè)海盜都是很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。

　　問題：杰克提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？

首先從5號(hào)海盜開始，因?yàn)樗亲畎踩?，沒有被扔下大海的風(fēng)險(xiǎn)，因此他的策略也最為簡(jiǎn)單，即最好前面的人全都死光光，那么他就可以獨(dú)得這100顆寶石了。

接下來看4號(hào)，他的生存機(jī)會(huì)完全取決于前面還有人存活著，因?yàn)槿绻?號(hào)到3號(hào)的海盜全都喂了鯊魚，那么在只剩4號(hào)與5號(hào)的情況下，不管4號(hào)提出怎樣的分配方案，5號(hào)一定都會(huì)投反對(duì)票來讓4號(hào)去喂鯊魚，以獨(dú)吞全部的寶石。哪怕4號(hào)為了保命而討好5號(hào)，提出（0，100）這樣的方案讓5號(hào)獨(dú)占寶石，但是5號(hào)還有可能覺得留著4號(hào)有危險(xiǎn)，而投票反對(duì)以讓其喂鯊魚。因此理性的4號(hào)是不應(yīng)該冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)，把存活的希望寄托在5號(hào)的隨機(jī)選擇上的，他惟有支持3號(hào)才能絕對(duì)保證自身的性命。

再來看3號(hào)，他經(jīng)過上述的邏輯推理之后，就會(huì)提出（100，0，0）這樣的分配方案，因?yàn)樗?號(hào)哪怕一無所獲，也還是會(huì)無條件的支持他而投贊成票的，那么再加上自己的1票就可以使他穩(wěn)獲這100寶石了。

但是，2號(hào)也經(jīng)過推理得知了3號(hào)的分配方案，那么他就會(huì)提出（98，0，1，1）的方案。因?yàn)檫@個(gè)方案相對(duì)于3號(hào)的分配方案，4號(hào)和5號(hào)至少可以獲得1顆寶石，理性的4號(hào)和5號(hào)自然會(huì)覺得此方案對(duì)他們來說更有利而支持2號(hào)，不希望2號(hào)出局而由3號(hào)來進(jìn)行分配。這樣，2號(hào)就可以屁顛屁顛的拿走 98顆寶石了。

不幸的是，1號(hào)杰克更不是省油的燈，經(jīng)過一番推理之后也洞悉了2號(hào)的分配方案。他將采取的策略是放棄2號(hào)，而給3號(hào)1顆寶石，同時(shí)給4號(hào)或 5號(hào)2顆寶石，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由于1號(hào)的分配方案對(duì)于3號(hào)與4號(hào)或5號(hào)來說，相比2號(hào)的方案可以獲得更多的利益，那么他們將會(huì)投票支持1號(hào)，再加上1號(hào)自身的1票，97顆寶石就可輕松落入1號(hào)的腰包了。

    試想有這么一個(gè)正三角形圍欄被分割成若干個(gè)相同大小的正三角形格子. 現(xiàn)在假設(shè)初始時(shí)每個(gè)格子中都有一只螞蚱, 聽到一聲令下之后它們都跳到自己所在格子的相鄰格子(有公共邊的兩個(gè)格子稱為相鄰). 假設(shè)我們有這樣的被劃分成100個(gè)(而不是圖中的16個(gè), 但容易想象其劃分方式)相同大小的正三角形的圍欄, 在螞蚱們集體跳躍9次之后, 試說明一定有至少10個(gè)格子是空的.

答案:

如圖, 把其中相鄰的格子染上不同的兩種顏色, 容易計(jì)算, 其中紅色的格子有55個(gè), 黃色的格子有45個(gè). 螞蚱們每跳一次, 就會(huì)跳到另一種顏色的格子中. 這樣第一次跳躍之后, 紅色格子中原來的螞蚱都不在了, 而從黃色的格子中調(diào)到紅色格子中只有45只螞蚱, 所以至少有10個(gè)紅色格子是空的. 而且, 只要是奇數(shù)次跳躍之后, 都有這樣的結(jié)論, 因此, 9次跳躍后, 至少10個(gè)格子中是沒有螞蚱的.

    一次競(jìng)選中，某候選人在國(guó)內(nèi)安排了競(jìng)選旅行，我們不妨設(shè)他乘飛機(jī)。第一天他到正東方某地，第二天接著向正北方向飛到某地，第三天接著向正西方向飛到某地，第四天接著向正南方向飛到某地，第五天接著又向正東方向飛到某地……，如果第n天他飛行路程為n2/2 英里，那么從他的出發(fā)點(diǎn)到完成第40天旅行的終點(diǎn)有__________英里。
參考答案：

先大致畫個(gè)路線圖，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)人走的路線跟蝸牛殼差不多，最后的終點(diǎn)肯定是在起點(diǎn)的西南方向，那么可以用勾股定理算出這段路程。你先畫出3圈(12次)的路程，就可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：第3圈終點(diǎn)距起點(diǎn)的路程用勾股定理的話，橫向那條直角邊長(zhǎng)度為第1圈的橫向路程差＋第2圈的橫向路程差＋第3圈的橫向路程差，也就是(第3次路程－第1次路程)＋(第7次路程－第5次路程)＋(第11次路程－第9次路程)，縱向的一樣，總路程就是(第4次路程－第2次路程)＋(第8次路程－第6次路程)＋(第12次路程－第10次路程)。那么以此類推，完成40次旅行，需要分別加到(第39次路程－第37次路程)和(第40次路程－第38次路程)。因?yàn)榈趎次路程為n^2/2，所以橫向直角邊長(zhǎng)為1/2(3^2-1^2+7^2-5^2+11^2-9^2+……+39^2-37^2)，縱向直角邊長(zhǎng)為1/2(4^2-2^2+8^2-6^2+……+40^2-38^2)。初中沒學(xué)過數(shù)列，所以這堆數(shù)得自己算了。不過有個(gè)規(guī)律，就是每項(xiàng)得數(shù)都比前一項(xiàng)多16，兩個(gè)直角邊都一樣。我?guī)湍闼懔艘幌?，橫向直角邊長(zhǎng)為400，縱向的為420，則斜邊長(zhǎng)(也就是所求的起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離)為580(英里)。

          兩個(gè)俄羅斯數(shù)學(xué)家在飛機(jī)上相遇。

　　“如果我沒記錯(cuò)的話，你有3個(gè)兒子”甲說“他們現(xiàn)在多大了”

　　“他們的年齡的乘積是36”乙說“他們年齡的和恰好是今天的日期”

　　“對(duì)不起，乙”一分鐘后甲說“你并沒有告訴我你兒子的年齡”

　　“哦！我忘了告訴你了我的小兒子是紅頭發(fā)的”

       “啊，那就很清楚了”甲說“我現(xiàn)在知道你的3個(gè)兒子各是多少歲了”

　　三個(gè)孩子的年齡分別是多少？（注意題目并沒有出錯(cuò)，條件也齊全）
答案解析：
 正確答案是1歲6歲和6歲。根據(jù)條件：他們的年齡的乘積是36；他們年齡的和恰好是今天的日期。得知，三個(gè)數(shù)字乘積為36，且和肯定為一個(gè)兩位數(shù)。將這些組合列出：數(shù)字 和
 1.2.18 21

1.3.12 16

1.4.9 14

1.6.6 13

2.3.6 11

2.2.9 13

題目中乙知道日期, 但是還是猜不出年齡,因此日期是13號(hào)(有兩組和都是13號(hào),無法得知正確答案)，所以是1.6.6和2.2.9組合其中之一,甲說小兒子(沒有說小兒子“都”是紅頭發(fā)),所以正確答案應(yīng)該是1.6.6(大的是雙胞胎)