三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二. 本周教學重難點：

理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖；理解函數(shù)的物理意義。

【典型例題】

[例1] 已知函數(shù)（）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（）對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的解析式。

解：由是偶函數(shù)，得

即    ∴

對任意都成立，且     ∴ 得

依題設(shè)，所以解得

由的圖象關(guān)于點M對稱，得

取，得    ∴   

∵

∴ ，得

∴

當時，，在上是減函數(shù)

當時，，舍去     ∴     ∴

[例2] 已知函數(shù)，求的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。

解：由，得       解得

所以的定義域為且

因為的定義域關(guān)于原點對稱，且

     所以是偶函數(shù)  

當時，

所以的值域為或

[例3] 已知函數(shù)的最大值為0，最小值為，若實數(shù)，求的值。

解：令，則

且，下面根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論

（1）當，即時，

解之，得

（2）當，即時，

解得或不滿足的范圍，舍去

∴

[例4] 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，1）、B（），當時，的最大值為。

（1）求的解析式；

（2）由的圖象按向量平移得到一個奇函數(shù)的圖象，求出一個符合條件的向量。

解：（1）由題意得

∴  

又     ∴

當時，

當時，；

當時，與矛盾

∴

（2），按向量平移得到函數(shù)的圖象

∴ 是符合條件的一個向量（答案不唯一）

[例5] 已知函數(shù)（）的一段圖象過點（0，1），如圖所示：

（1）求的表達式；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，求

的最大值，并求出此時自變量的集合。

解析：先由圖象確定出的表達式，再由平移得出的解析式，然后將化簡即可求出其最大值。

（1）由圖知，函數(shù)的周期，所以

又為函數(shù)圖象的一個周期內(nèi)五點的起點

所以，從而，此時有

又因為的圖象經(jīng)過點（0，1），所以，得

由此可得的表達式為

（2）把的圖象向右平移個單位，得到

∴

∴ 函數(shù)的最大值為，此時，，即

[例6] 設(shè)函數(shù)，其中。

（1）若的周期為，求當時，的值域；

（2）若函數(shù)圖象的一條對稱軸為，求的值。

解：

（1）因為，所以

當時，，所以的值域為

（2）因為的一條對稱軸為

所以， 

又，所以，所以

[例7] 已知向量，，令

。

（1）是否存在實數(shù)，使（其中是的導(dǎo)數(shù)）？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

（2）求函數(shù)的最大值、最小正周期，并寫出在上的單調(diào)區(qū)間。

解：（1）

，令

即，由，有，但當時，無意義，所以不存在符合條件的的值。

（2），當時，取最大值，的最小正周期為

所以在[0，]內(nèi)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（

[例8] 函數(shù)的最小值為，。

（1）求；

（2）若，求及此時的最大值。

解：（1）

① 若，即  

則當時，有最小值

② 若，即

則當時，有最小值

③ 若，即

則當時，有最小值

∴

（2）若   ∴ 或

由    ∴ 或（舍）

由    ∴ （舍）

此時，   得

∴ 若，則，此時的最大值是5

[例9] 定義一種運算，例如，令，，求的最大值。

解：當時，

依定義有

∴

當時，

∴ 的最大值是

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 函數(shù)的最小正周期是（    ）

    A.     B.     C.     D. 2

2. 為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象        平移得到（    ）

A. 按向量

B. 按向量

C. 按向量

D. 按向量

3. 已知函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，則（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 使函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個值是（    ）

    A.     B.     C.     D.

5. 若，，，則（    ）

    A.     B.     C.    D.

6. 已知，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 已知函數(shù)在同一周期內(nèi)，當時，取得最大值；當時，取得最小值，則該函數(shù)的解析式為（    ）  

A.                      B.

C.                       D.

8. 函數(shù)的最大值是（    ）

A.     B.     C.     D. 非以上答案

二. 解答題：

1. 已知定義在R上的函數(shù)的周期為，，且的最大值為2。

（1）寫出的表達式；

（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心、對稱軸方程；

（3）說明的圖象如何由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到。

2. 如圖，已知扇形AOB，O為頂點，圓心角AOB等于，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA相交于點C，設(shè)=，求面積的最大值以及此時的值。

3. 是定義在上的偶函數(shù)，當時，，當時，的圖象是斜率為且在軸上的截距為的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分。

（1）求、的值；

（2）寫出函數(shù)的表達式，作出其圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【試題答案】

一.

1. C

    解析：，由于的周期為2，所以的周期為

2. B

3. B

解析：由    ∴    若，其圖象與在上有相同的增減性

∴ 0，是減函數(shù)

4. B

解析：∵

欲使為奇函數(shù)，需使

觀察可知，A、C不符合要求

若，則，其在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確。

當時，，其在上是增函數(shù)，不符合要求

5. A

解析：

∵     ∴

∴

∴

6. B

解析：的一個單調(diào)區(qū)間是

由題設(shè)有是的子集

得，，結(jié)合，得

7. B

解析：=3，易知第一個零點為（）

則，即

8. B

解析：

∴

二.

1. 解：（1）

（2）單調(diào)遞增區(qū)間，對稱中心為（），，對稱軸方程為，

（3）的圖象可先由函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再將圖象的橫坐標縮小到原來的，即得的圖象。

2. 解：因為CP//OB，所以，

在中，由正弦定理得，，即

所以    又

所以

因此的面積是

所以當時，S（）取得最大值為

3. 解：（1）當時

又是偶函數(shù)    ∴

當時，    ∴

（2）當時，

∴

∴

畫出在上的圖象如圖所示。