圓錐曲線方程及性質(zhì)

橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

二. 課標(biāo)要求：

1. 了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；

2. 經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、雙曲線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)；

3. 了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道拋物線的有關(guān)性質(zhì)。

三. 命題走向：

本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考查圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。

【教學(xué)過程】

基本知識(shí)要點(diǎn)回顧：

1. 橢圓

（1）橢圓概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。

（2）橢圓的性質(zhì)

①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；

②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。

所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；

③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。

同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，，，，且，即；

④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?/span>，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。

2. 雙曲線

（1）雙曲線的概念

平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）*。

注意：①（*）式中是差的絕對值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支（含的一支）；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；③當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；④兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。

橢圓和雙曲線比較：

（2）雙曲線的性質(zhì)

①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。

②對稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。

③頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，它們是雙曲線的頂點(diǎn)。

令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。

<1>注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。

<2>實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。

④漸近線：注意到所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。

⑤等軸雙曲線：

<1>定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；

<2>等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。

注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。

<3>注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。

⑥注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。

3. 拋物線

（1）拋物線的概念

平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線l上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（，0），它的準(zhǔn)線方程是；

（2）拋物線的性質(zhì)

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：

說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

【典型例題】

例1. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于；

（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；

（3）焦點(diǎn)在軸上，，；

（4）焦點(diǎn)在軸上，，且過點(diǎn)；

（5）焦距為，；

（6）橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，。

解：（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），

∵，，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（2）∵橢圓焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），

由橢圓的定義知，

，

∴，又∵，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（3）∵，∴，①

又由代入①得，

∴，∴，又∵焦點(diǎn)在軸上，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（4）設(shè)橢圓方程為，

∴，∴，

又∵，∴，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（5）∵焦距為，∴，

∴，又∵，∴，，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。

（6）設(shè)橢圓方程為（），

由得，

所以，橢圓方程為。

點(diǎn)評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。

例2. （06山東）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是                             。

解：已知為所求；

點(diǎn)評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識(shí)就可以。

例3. （1998全國理，2）橢圓＝1的焦點(diǎn)為F₁和F₂，點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF₁|是|PF₂|的（    ）

A. 7倍                 B. 5倍                C. 4倍                D. 3倍

解：不妨設(shè)F₁（－3，0），F₂（3，0）由條件得P（3，±），即|PF₂|＝，|PF₁|＝，因此|PF₁|＝7|PF₂|，故選A。

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的思辨性，是高考命題的方向。

例4. （1）已知焦點(diǎn)，雙曲線上的一點(diǎn)到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的方程；

（3）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∵，∴，∴。

所以所求雙曲線的方程為；

（2）橢圓的焦點(diǎn)為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。

又∵過點(diǎn)，∴。

綜上得，，所以。

點(diǎn)評：雙曲線的定義；方程確定焦點(diǎn)的方法；基本量之間的關(guān)系。

（3）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為①；∵點(diǎn)在雙曲線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程①。

將分別代入方程①中，得方程組：

將和看作整體，解得，∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

點(diǎn)評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。

例5. （06上海卷）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.

解：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡捷。

例6. （1）（06福建卷）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（    ）

A. （－1，2）      B. （1，2）         C. ［2，＋∞］     D. （2，＋∞）

（2）（06湖南卷）過雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C，且|AB|＝|BC|，則雙曲線M的離心率是（    ）

A.                B.                C.              D.

（3）（06陜西卷）已知雙曲線－＝1（a＞）的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（  ）

A. 2                     B.                 C.                 D.

解：（1）雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，

∴ ≥，離心率e²＝，∴ e≥2，選C。

（2）過雙曲線的左頂點(diǎn)（1，0）作斜率為1的直線：y＝x－1，若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)，聯(lián)立方程組代入消元得，

∴ ，x₁＋x₂＝2x₁x₂，

又，則B為AC中點(diǎn)，2x₁＝1＋x₂，代入解得，

∴b₂＝9，雙曲線的離心率e＝，選A。

（3）雙曲線（a＞）的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a²＝6，雙曲線的離心率為，選D。

點(diǎn)評：高考題以離心率為考查點(diǎn)的題目較多，主要實(shí)現(xiàn)三元素之間的關(guān)系。

例7. （1）（06江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為（    ）

A. 6                     B. 7                     C. 8                     D. 9

（2）（06全國卷I）雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則

A.               B.                 C.                   D.

解：（1）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁（－5，0）與F₂（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F₁三點(diǎn)共線以及P與N、F₂三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|－|PN|＝（|PF₁|－2）－（|PF₂|－1）＝10－1＝9故選D。

（2）雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m＝，選A。

點(diǎn)評：關(guān)于雙曲線漸近線、許多距離問題也是考查的重點(diǎn)。

例8. （1）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；

（2）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：（1）y＝4x，y＝4x，x＝4y，x＝4y；

方程是x＝8y。

點(diǎn)評：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個(gè)系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個(gè)條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會(huì)有多解。

例9. （1）（06安徽卷）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（   ）

A.                  B.                    C.                  D.

（2）（浙江卷）拋物線的準(zhǔn)線方程是（  ）

（A） （B） （C）       （D）

（3）（06上海春）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（   ）

（A）       （B）       （C）      （D）

解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0），所以拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），則，故選D；

（2）2p＝8，p＝4，故準(zhǔn)線方程為x＝－2，選A；

（3）（直接計(jì)算法）因?yàn)?/span>p＝2，所以拋物線y²＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。應(yīng)選B。

點(diǎn)評：考查拋物線幾何要素如焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的題目根據(jù)定義直接計(jì)算即可。

例10. （1）（全國卷I）拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（ ）

A.                    B.                    C.                    D.

（2）（2002全國文，16）對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：

①焦點(diǎn)在y軸上；

②焦點(diǎn)在x軸上；

③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；

④拋物線的通徑的長為5；

⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）。能使這拋物線方程為y²＝10x的條件是        . （要求填寫合適條件的序號(hào)）

（3）（2001廣東、河南，10）對于拋物線y²＝4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是（   ）

A. （－∞，0）           B. （－∞，2            C. ［0，2］                D. （0，2）

解：（1）設(shè)拋物線上一點(diǎn)為（m，－m²），該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)m＝時(shí)，取得最小值為，選A

（2）從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計(jì)算求拋物線方程，從而確定⑤。

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，y₀），

由|PQ|≥|a|，得y₀²＋（－a）²≥a².

整理，得：y₀²（y₀²＋16－8a）≥0，

∵y₀²≥0，∴y₀²＋16－8a≥0.

即a≤2＋恒成立.而2＋的最小值為2.

∴a≤2.選B。

點(diǎn)評：拋物線問題多考查一些距離、最值及范圍問題。

例11. （1）（07重慶文）已知以F₁（2，0），F₂（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為

A.                 B.                 C.                D.

（2）（07四川文）已知拋物線y＝x²＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于

A. 3                     B. 4                      C. 3              D. 4

解：（1）由直線與圓錐曲線相切△＝0得關(guān)于a的方程，求得a＝，故選C

（2）設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出。選C。

點(diǎn)評：（1）和（2）題都考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。

［思維小結(jié)］

在復(fù)習(xí)過程中抓住以下幾點(diǎn)：

（1）堅(jiān)持源于課本、高于課本，以考綱為綱的原則。高考命題的依據(jù)是《高考說明》。并明確考點(diǎn)及對知識(shí)點(diǎn)與能力的要求，其實(shí)質(zhì)是精通課本，而本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本，因此掌握雙基、精通課本是關(guān)鍵；

（2）在注重解題方法、數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用的同時(shí)注意一些解題技巧，橢圓、雙曲線、拋物線的定義揭示了各自存在的條件、性質(zhì)及幾何特征與圓錐曲線的焦點(diǎn)、焦半徑、準(zhǔn)線、離心率有關(guān)量的關(guān)系問題，若能用定義法，可避免繁瑣的推理與運(yùn)算；

（3）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P（x₁，y₁），F為拋物線的焦點(diǎn)，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：

【模擬試題】

一、選擇題

1. 已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為（    ）

A.                    B.                     C.                     D.

2. 若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，則橢圓的方程為（  ）

A.                              B.       

C或          D. 以上都不對

3. 動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（   ）

A. 雙曲線             B. 雙曲線的一支         C. 兩條射線        D. 一條射線

4. 設(shè)雙曲線的半焦距為，兩條準(zhǔn)線間的距離為，且，那么雙曲線的離心率等于（    ）

A. 2                     B. 3                      C.                D.    

5. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（   ）

A.                    B.                     C.                   D.

6. 若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（   ）。

A.        B.      C.      D.

7. （07江蘇理）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為

A.                  B.                C.                D.

8. （07福建理）以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（    ）

A.                   B.

C.                 D.

9. 連接拋物線的焦點(diǎn)與點(diǎn)所得的線段與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形的面積為（　?。?/span>

A.          B.            C.             D.

10. 設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（　?。?/span>

A. 必在圓上                  B. 必在圓外

C. 必在圓內(nèi)                  D. 以上三種情形都有可能

二、填空題

1、若橢圓的離心率為，則它的長半軸長為______________。

2、雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_____________。

3、若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是                。

4、拋物線的準(zhǔn)線方程為___________。

5、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么     。

6、（07江蘇理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則　　　　。

三、解答題

1. 為何值時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？

2. 在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線的距離最短。

3. 雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求漸近線與橢圓的方程。

4. 若動(dòng)點(diǎn)在曲線上變化，則的最大值為多少？

【試題答案】

一、選擇題

1、D  點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為

2、C 

得，或

3、D  ，在線段的延長線上

4、C 

5、B  ，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是

6、C  點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離，得

7、A

8、A

9、B

10、C

二、填空題

1、   當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

2、   設(shè)雙曲線的方程為，焦距

    當(dāng)時(shí)，；

    當(dāng)時(shí)，

3、  

4、  

5、   焦點(diǎn)在軸上，則

6、橢圓的定義和正弦定理的應(yīng)用

三、解答題

1、解：由，得，即

當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

    當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；

    當(dāng)，即時(shí)，直線和曲線沒有公共點(diǎn)。

2、解：設(shè)點(diǎn)，距離為，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為所求的點(diǎn)。

3、解：由共同的焦點(diǎn)，可設(shè)橢圓方程為；

雙曲線方程為，點(diǎn)在橢圓上，

雙曲線過點(diǎn)的漸近線為，即

所以橢圓方程為；雙曲線方程為

4、解：設(shè)點(diǎn)，

令，，對稱軸

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，