教學(xué)內(nèi)容：

三角函數(shù)

二. 具體過程：

【高考要求】

1. 任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化。

2. 三角函數(shù)

①理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

②能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。

③理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：。

⑤了解函數(shù)的物理意義；能畫出的圖象，了解參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。

⑥了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題。

3. 三角恒等變換

（1）和與差的三角函數(shù)公式

①會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

②能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。

③能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）簡(jiǎn)單的三角恒等變換

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）。

4. 解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理和余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

（2）應(yīng)用

能夠運(yùn)用正弦定理和余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

【熱點(diǎn)分析】

1. 近幾年高考對(duì)三角變換的考查要求有所降低，主要表現(xiàn)在對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查上有所加強(qiáng)。

2. 對(duì)本章內(nèi)容一般以選擇、填空題形式進(jìn)行考查，且難度不大，大致可分為四類問題（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題；（3）應(yīng)用同角變換和誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)值及化簡(jiǎn)和等式證明的問題；（4）與周期有關(guān)的問題。

3. 基本的解題規(guī)律為：觀察差異（或角，或函數(shù)，或運(yùn)算），尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因），實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。解題規(guī)律：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運(yùn)用基本公式將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為由一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)的形式求解。

4. 立足課本、抓好基礎(chǔ)。從前面敘述可知，我們已經(jīng)看到近幾年高考已逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來，所以在復(fù)習(xí)中首先要打好基礎(chǔ)。在考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí)，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，可見高考在降低對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求下，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度。

【復(fù)習(xí)建議】

本章內(nèi)容由于公式多，且習(xí)題變換靈活等特點(diǎn)，建議同學(xué)們復(fù)習(xí)本章時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)方法技巧：

1. 三角函數(shù)恒等變形的基本策略。

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1＝cos²θ＋sin²θ＝tanx·cotx＝tan45°等。

（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin²x＋2cos²x＝（sin²x＋cos²x）＋cos²x＝1＋cos²x；配湊角：α＝（α＋β）－β，β＝－等。

（3）降次與升次。

（4）化弦（切）法。

（5）引入輔助角。asinθ＋bcosθ＝sin（θ＋），這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan＝確定。

2. 證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。

3. 證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

4. 解答三角高考題的策略。

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。

（4）由于三角函數(shù)是我們研究數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)工具，近幾年高考往往考查知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處的知識(shí)，故學(xué)習(xí)本章時(shí)應(yīng)注意本章知識(shí)與其它章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系。如平面向量、換元法、解三角形等。

5. 重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)，如前所述，本章試題都以選擇、填空題形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗(yàn)法、特殊值法，待定系數(shù)法、排除法等。另外對(duì)有些具體問題還需要掌握和運(yùn)用一些基本結(jié)論。如：關(guān)于對(duì)稱問題，要利用y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋（k∈Z），對(duì)稱中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結(jié)論解決問題，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)特征。在求三角函數(shù)值的問題中，要學(xué)會(huì)用勾股數(shù)解題的方法，因?yàn)楦呖荚囶}一般不能查表，給出的數(shù)都較特殊，因此主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用勾股數(shù)來解題能起到事半功倍的效果。

6. 加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練，實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)“實(shí)踐第一”的觀點(diǎn)?？傊?，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。

7. 變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練。變是本專題的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化“變”的意識(shí)是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。針對(duì)高考中的題目來看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法。另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點(diǎn)。同時(shí)應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目。

8. 注意對(duì)三角形中的問題的復(fù)習(xí)。由于教材的變動(dòng)，有關(guān)三角形中的正、余弦定理。解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，近年又加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中的問題伸展。

9. 在復(fù)習(xí)中，應(yīng)立足基本公式，在解題時(shí)，注意在條件與結(jié)論之間建立聯(lián)系，在變形過程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎(chǔ)，發(fā)展能力，適應(yīng)高考。

在本專題內(nèi)容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換，尤其是三角函數(shù)的最大值與最小值、周期。多數(shù)題型為選擇題或填空題；其次是三角函數(shù)式的恒等變形。如運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，解決簡(jiǎn)單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面內(nèi)容。

另外，還要注意利用三角函數(shù)解決一些應(yīng)用問題。

【典型例題】

例1. 已知，求（1）；（2）的值。

解：（1）；

   （2）

。

點(diǎn)評(píng)：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。

例2. 求函數(shù)的值域。

解：設(shè)，則原函數(shù)可化為

，因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>。

例3. 已知函數(shù)。

（1）求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；

（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

解：（1）

所以的最小正周期，因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)，即時(shí)，最大值為；

（2）證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，

因?yàn)?/span>，

，

所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

例4. 已知函數(shù)y＝cos²x＋sinx·cosx＋1 （x∈R），

（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；

（2）該函數(shù)的圖像可由y＝sinx（x∈R）的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（1）y＝cos²x＋sinx·cosx＋1＝（2cos²x－1）＋＋（2sinx·cosx）＋1

＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

＝sin（2x＋）＋

所以y取最大值時(shí)，只需2x＋＝＋2kπ，（k∈Z），即  x＝＋kπ，（k∈Z）。

所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為{x|x＝＋kπ，k∈Z}

（2）將函數(shù)y＝sinx依次進(jìn)行如下變換：

（i）把函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖像；

（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖像；

（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖像；

（iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖像。

綜上得到y＝cos²x＋sinxcosx＋1的圖像。

點(diǎn)評(píng)：本題是2000年全國(guó)高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx，cosx的齊次式，降冪后最終化成y＝sin（ωx＋）＋k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx＝0時(shí)，y＝1；當(dāng)cosx≠0時(shí)，y＝＋1＝＋1

化簡(jiǎn)得：2（y－1）tan²x－tanx＋2y－3＝0

∵tanx∈R，∴△＝3－8（y－1）（2y－3）≥0，解之得：≤y≤

∴y_max＝，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}

例5. 已知函數(shù)

（Ⅰ）將f（x）寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；

（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²＝ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的值域。

解：

（Ⅰ）由＝0即

即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

（Ⅱ）由已知b²＝ac

即的值域?yàn)?/span>。

綜上所述，，的值域?yàn)?/span>。

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。

例6. 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且，

（1）求的值；

（2）若，且a＝c，求△ABC的面積。

解：（1）由正弦定理及，有，

即，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，又，所以。

（2）在△ABC中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以△ABC的面積為

。

例7. 已知向量，且，

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若，求的最大值與最小值。

解：（1），，，又，

所以，

所以，即；

（2）由（1）可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：

而所以。

例8. 已知向量，

（1）求的值；

（2）若的值。

解：（1）因?yàn)?/span>

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

即；

（2），

又因?yàn)?/span>，所以 ，

，所以，所以

例9. 平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)

（1）求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；

（2）求的最值。

解：（1），

即     

（2）， 又    ，

 ，    ，  。

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時(shí)要時(shí)刻注意。

例10. 求值

解：

例11. 已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin2α的值________。

解：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜。π＜α＋β＜，

∴sin（α－β）＝

∴sin2α＝sin［（α－β）＋（α＋β）］

＝sin（α－β）cos（α＋β）＋cos（α－β）sin（α＋β）

例12. 設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝2cos²x－2acosx－（2a＋1）的最小值為f（a），試確定滿足f（a）＝的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值。

解：由y＝2（cosx－）²－及cosx∈［－1，1］得：

f（a）＝

∵f（a）＝，∴1－4a＝a＝［2，＋∞

故－－2a－1＝，解得：a＝－1，此時(shí)，

y＝2（cosx＋）²＋，當(dāng)cosx＝1時(shí)，即x＝2kπ，k∈Z，y_max＝5。

【模擬試題】

一、選擇題

1. 下列各三角函數(shù)式中，值為正數(shù)的是 （    ）

A.  B.   C.    D.

2. 若＝，且為銳角，則的值等于   （      ）

A.          B.       C.            D.

3. 若＝，，則的值為    （       ）

A. 1           B. 2       C.           D.

4. 已知，則     （       ）

A.          B.  

C.          D.

5. a＝，則成立的是    （      ）

A. a＜b＜c    B. a＞b＞c   C. a＜c＜b    D. c＜a＜b

6. 函數(shù)的定義域是（    ）

A.    B.

C.    D.

7. 下面三條結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使成立；②存在實(shí)數(shù)，使成立；③若cosacosb＝0，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（      ）

A. 0     B. 1     C. 2       D. 3

8. 函數(shù)的值域是   （       ）

A. [-2，2]     B. [-1，2]    C. [-1，1]   D. [，2]

9. 函數(shù)y＝－x·cosx的部分圖象是（    ）

10. 函數(shù)f（x）＝cos2x＋sin（＋x）是（    ）

A. 非奇非偶函數(shù)               

B. 僅有最小值的奇函數(shù)

C. 僅有最大值的偶函數(shù)

D. 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

二、填空題

1、函數(shù)的最小值等于                     并使函數(shù)y 取最小值的x的集合為                               

2、若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則              

函數(shù)的值域?yàn)?/span>                          

3、已知函數(shù)                

三、解答題

1、已知，求的值

2、在DABC中，已知三邊滿足，試判定三角形的形狀。

【試題答案】

一、1—8  CBBCD，BAB

9. 解析：函數(shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當(dāng)x∈（0，）時(shí)，y＜0。

答案：D

10. 解析：f（x）＝cos2x＋sin（＋x）＝2cos²x－1＋cosx

＝2［（cosx＋）－1。

答案：D

二、填空題

1、_；

2、－1

3、

三、解答題

1. 解：原式＝＝

∵，上式兩邊平方，得：

∴；又∵

∴

∴

∴，∴原式

2. 解一：由條件

展開，消

∴DABC為（A為直角或B為直角）

解二：

∴

∴△ABC為