【本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

不等式的綜合應(yīng)用

二. 教學(xué)目的：比較熟練的應(yīng)用不等式解決有關(guān)的綜合問題

三. 教學(xué)重點：

不等式與函數(shù)，方程，數(shù)列，導(dǎo)數(shù)等知識的聯(lián)系。

教學(xué)難點：

不等式與幾何知識的綜合。

四. 知識概要：

1、不等式的功能：不等式的知識已滲透到函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容中，體現(xiàn)了不等式廣泛運用的工具功能。

2、建立不等式的途徑：運用不等式知識解題的關(guān)鍵是建立不等關(guān)系，其途徑有：利用幾何意義、利用判別式、應(yīng)用變量的有界性、應(yīng)用函數(shù)的有界性、應(yīng)用均值不等式。

3、實際應(yīng)用：應(yīng)用題中有一類是最優(yōu)化結(jié)果，通常是把問題轉(zhuǎn)化為不等式模型，再求出最值。

【典型例題】

 （一）基礎(chǔ)訓(xùn)練題

例1.

（1）（全國2文4）下列四個數(shù)中最大的是（    ）

A.             B.            C.              D.

解：∵ ，∴ ln（ln2）<0，（ln2）²< ln2，而ln=ln2<ln2，∴ 最大的數(shù)是ln2，選D。

（2）（安徽文8）設(shè)a＞1,且,則的大小關(guān)系為     （  ）

A. n＞m＞p            B. m＞p＞n       C. m＞n＞p          D. p＞m＞n

解析：設(shè)a＞1,∴ ，，

,∴ 的大小關(guān)系為m＞p＞n，選B。

（3）（北京理7）如果正數(shù)滿足，那么（  ）

A. ，且等號成立時的取值唯一

B. ，且等號成立時的取值唯一

C. ，且等號成立時的取值不唯一

D. ，且等號成立時的取值不唯一

解析：正數(shù)滿足，∴ 4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時，“=”成立；綜上得，且等號成立時的取值都為2，選A。

（4）（安徽理3）若對任意R,不等式≥ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. a＜-1                      B. ≤1                      C. ＜1                    D. a≥1

解析：若對任意R,不等式≥ax恒成立，當(dāng)x≥0時，x≥ax，a≤1，當(dāng)x<0時，－x≥ax，∴a≥－1，綜上得，即實數(shù)a的取值范圍是≤1，選B。

（5）（山東文14）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線

上，則的最小值為        .

答案：4

分析：函數(shù)的圖象恒過定點，

，，，

（方法一）：， .

（方法二）：

（6）（山東文15）當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是          .

答案：

分析：構(gòu)造函數(shù)：。由于當(dāng)時，

不等式恒成立。則，即。解得：。

（7）（2006年重慶卷）若a, b, c＞0且a（a+ b+ c）+b c=4-2,則2a+b+c的最小值為  （ ）

A. -1                     B. +1                     C. 2+2                   D. 2-2

答案: D

（二）求最值：

例2. （重慶理7）若a是1+2b與1-2b的等比中項，則的最大值為（  ）

A.                           B.                         C.                          D.

答案：B

分析：a是1+2b與1-2b的等比中項，則

（三）解不等式：

例3. 設(shè)函數(shù)，求使的的取值范圍.

（1）∵,∴

不等式等價化為①當(dāng)時

②當(dāng)時,

③當(dāng)時,恒成立

原不等式的解集為

（四）不等式與命題的綜合

例4. （北京文15）（本小題共12分）

記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為.

（I）若，求；

（II）若，求正數(shù)的取值范圍.

解：（I）由，得.

（II）.

由，得，又，所以，

即的取值范圍是.

（五）不等式與函數(shù)的綜合

例5. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),若對于任意,都有且＞0時,有＞0

（1）用單調(diào)性的定義證明在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）解不等式＜；

（3）設(shè),若＜,對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

解：（1）證明略

（2）

（3）

（六）含參數(shù)不等式中的參數(shù)的取值范圍問題

例6. 已知關(guān)于的方程的兩根為，問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意實數(shù)及恒成立？若存在，求的范圍，若不存在，說明理由

答案：存在。

（七）不等式在函數(shù)應(yīng)用題中的應(yīng)用

例7. 經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的關(guān)系為。

（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1）

（2）若要求在該時段內(nèi)車流超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍？

解：（1）依題意，

當(dāng)v=40千米/小時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時.

（2）

（八）不等式與數(shù)列、幾何的綜合

例8. 數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=na+（n─1）nb,（n=1,2,…）,a,b是常數(shù)，且b≠0,

①求證{a_n}是等差數(shù)列；

②求證以（a_n,）為坐標(biāo)的點P_n都落在同一直線上，并求出直線方程；

③設(shè)a=1,b=,C是以（r,r）為圓心，r為半徑的圓（r>0）,求使得點P₁,P₂,P₃都落在圓外的r 的取值范圍

證明：①根據(jù)得a_n=a+（n─1）′ 2b,

∴{a_n}是等差數(shù)列，首項為a,公比為2b

②由x=a_n=a+（n─1）′2b, y==a+（n─1）b

兩式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一種辦法）

（3）P₁（1,0）,P₂（2,）,P₃（3,2）,它們都落在圓外的條件是：

∴ r的取值范圍是

（九）不等式與導(dǎo)數(shù)，向量，數(shù)列的綜合題

例9. 設(shè)平面上的動向量,其中為不同時為0的兩個實數(shù),實數(shù),滿足

（1）求函數(shù)關(guān)系式；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的范圍；

（3）對上述,當(dāng)時,存在正項數(shù)列滿足,其中,證明: ＜3

解：（1）

（2） ，∴時

的遞增區(qū)間為和

又在遞增

（3）時 

∴

∴

又，∴

∴

又，兩式相減得

又，∴

又，∴等差且公差為1,首項為1，∴

又

∴

【模擬試題】

一、選擇題

1、（上海理13）已知為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是 （  ）

A.                 B.           C.             D.

2. （2006年江西卷）若不等式x²＋ax＋130對于一切x?（0，）成立，則a的取值范圍是（  ）

A. 0                      B. –2                   C. -3                    D.  

3. （2006年上海春卷）若，則下列不等式成立的是（    ） 

A. ­.                      B. .                C. .      D. .

4. （2006年江蘇卷）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（  ）

A.                             B.

C.                                    D.

5. （山東文7）命題“對任意的”的否定是（    ）

A. 不存在                  B. 存在

C. 存在                       D. 對任意的

6. （2006年安徽卷）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的（   ）

A. 必要不充分條件                                        B. 充分不必要條件

C. 充分必要條件                                           D. 既不充分也不必要條件

7. （2006年陜西卷）已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為 （ ）

A. 4                             B. 6                             C. 8                             D. 2

二、填空題

8. 設(shè)函數(shù)則=_____；若，則x的取值范圍是________；

9. （山東理16）函數(shù)的圖象恒過定點,若點在直線上,其中,則的最小值為____________。

10. （上海理5）已知，且，則的最大值為______________。

11. 設(shè)，函數(shù)有最大值，則不等式的解集為         。

12. （重慶理13）若函數(shù)f（x） = 的定義域為R，則的取值范圍為_______.

13. 已知數(shù)列中, ,其中為常數(shù),且為負整數(shù).

（1）用表示；

（2）若＞0,＜0,求通項 

14. （2006年湖北卷）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為.數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖像上.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù).

【試題答案】

1. B     2. D        3. C        4. C        5. C        6. B        7. A

8. 6    

9. 8

10.  

11. （2,3）

12.

13. （1）∵∴

將 n-1個等式相加

得

∴

（2） ∵，∴且

∴且

∵ 

∴

，∴，

∴

14. （1）

（2）m＝10