1．向量有關概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?span>)；④三點共線共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））

2．向量的表示方法：

（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；

（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；

（3）坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。

3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e₁＋e₂。比如：

（1）若，則______（答：）；

（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是

A. 　　 B.

C.    　 D. （答：B）；

（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；

（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0）

4．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。

5．平面向量的數(shù)量積：

（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，

稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。比如：

①△ABC中，，，，則_________（答：－9）；

②已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；

③已知，則等于____（答：）；

④已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）

（3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。

如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）

（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。

（5）向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：

①；

②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量，夾角的計算公式：；④。

如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；（3）已知與之間有關系式，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大小（答：①；②最小值為，）

6．向量的運算：

（1）幾何運算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；

②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。

如（1）化簡：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）；（3）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）；（5）若點是的外心，且，則的內角為____（答：）；

（2）坐標運算：設，則：

①     向量的加減法運算：，。

如（1）已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，，則       （答：或）；（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是        （答：（9,1））

②     實數(shù)與向量的積：。

③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。

如設，且，，則C、D的坐標分別是__________（答：）；

④平面向量數(shù)量積：。

如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；

⑤向量的模：。

如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；

⑥兩點間的距離：若，則。比如：

如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為。（1）若點P的斜坐標為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系中的方程。（答：（1）2；（2））；

7．向量的運算律：

（1）交換律：，，；

(2)結合律：，；

（3）分配律：，。

如下列命題中：① ；② ；③ ；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？

8．向量平行(共線)的充要條件：＝0。

如(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）

9．向量垂直的充要條件： .特別地。

如(1)已知，若，則       （答：）；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，則的坐標是________ （答：）

10.線段的定比分點：

（1）定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù) ，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；

（2）的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 PP上時>0；當P點在線段 PP的延長線上時<－1；當P點在線段PP的延長線上時；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。

如若點分所成的比為，則分所成的比為_______（答：）

（3）線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比。

如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標為_______（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_______（答：２或－４）

11.平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線。

注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！

如（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答：（－８，３））；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________（答：）

12．向量中一些常用的結論：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

（2），特別地，當同向或有

；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).

（3）在中，①若，則其重心的坐標為。

如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、　　?。?span>-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標為_______（答：）；

②為的重心，特別地為的重心；

③為的垂心；

④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；

⑤的內心；

（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；

（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且。

如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線AB）