l﹒2大數(shù)定律

讓我們再回到最初討論的那個“盒中抽球”的模型。盒中有l0個球，7黑3白。我們說“隨意抽出一個球，得白球的概率為0﹒3，這是從取得自球的機會大小的角度看。其實，它不過是白球在全部球中所占的比率而已。

     比率是一個極普通但是又極常用而重要的概念。在科技、生產(chǎn)和經(jīng)濟、社會以至日常生活中，幾乎是無所不在。我們說對一個情況數(shù)量上的掌握，往往就是指對有關(guān)比率有較確切的了解。比如說“某廠產(chǎn)品的合格率很高”，高到什么程度?還是不清楚，遠不如給出一個具體的合格品率更說明問題。要考察一國或一地區(qū)的文盲情況，首要的指標是文盲率——文盲數(shù)目占全部人口數(shù)目的比率。當然還有文盲的年齡、地域和性別等的分布問題，但比率給出一個總的概念。

    因此．在現(xiàn)實生活中，有許多努力就花在搞清楚形形色色的比率上，在許多情況下這是一個需要花費大量人力、物力和時間的工作。如果從理論角度看，則不過是一個“盒子里有兩種顏色的球“的模型。例如一工廠的產(chǎn)品，白球代表不合格品而黑球代表合格品；對文盲率問題．白球代表文盲而黑球代表非文盲等等。無論問題的實際方面是何等的復雜，若問題只涉及比率，都不影響這個模型的代表性。

    這里我們看到數(shù)學這門學科的本質(zhì)所在。對數(shù)學不大了解的人，容易把它看成一種高深玄妙脫離實際的東西。的確，數(shù)學里研究的形形色色的模型、運算、關(guān)系．等等，都是高度抽象的。但這種抽象是植根于現(xiàn)實，并非憑空的想象。所謂模型，不過是把一大類本質(zhì)一樣但外表各異的問題表述成一種規(guī)格化的模式而已．它雖是一種抽象．但有豐富的實際內(nèi)涵．盒子模型就是一個極好的例子。把這個模型有關(guān)的理論和力法研究清楚了。就可以用于像合格品率、文盲率等一切關(guān)于比率的問題。其實，數(shù)字本身就是一種高度抽象。例如：“3”這個符號本身不能傳達什么意義，必須是“3本書”、“3頭?！钡扰c具體事物結(jié)合才產(chǎn)生意義，但這一抽象極有用處，這是大家都容易理解的。

    把比率問題歸結(jié)于盒子模型，問題就表述成：一個盒子中放了若干個黑白兩種顏色的球，要想搞清楚(或者說估計)白球在其中占多大的比率。不妨以w和b記白球數(shù)和黑球數(shù)?，F(xiàn)實問題中有幾種情況：一種是知道黑、白兩種球個數(shù)之和w十b。如文盲率問題，w+b代表一國或地區(qū)的人口總數(shù)，這往往有較可靠的統(tǒng)計資料。一種是w和b知其一而不知其和，此時目的正在于估計這個和，下述所謂“捉—放—捉”試驗是一個很好的例子。有一個湖，其中有某種魚類，但不知總數(shù)N是多少。為估計這個數(shù)目，從湖中捉上來該種魚若干條，數(shù)目記為w。在這w條魚上標上記號再放回湖中，待過了相當時候以便使魚能隨機地在湖中散開(這相當于把盒中的球充分擾亂)，然后從湖中撈起這種魚n條，計數(shù)出其中有記號的有m條．利用已知的數(shù)w，n和m，就可以對總數(shù)N作一個估計，方法如下：w／N代表整個湖中該種魚上有記號者的比率，而m／n代表撈起的那些魚中有記號者的比率。近似地視二者為相等：w／N=m／n，得N=nw/m。當然．這只是一種近似的估計而非嚴格相等。n愈大，誤差一般就愈小。

    最后一種情況是w和b這兩個數(shù)都不知道，例如，想要估計在全國或某地區(qū)的吸毒者中，受艾滋病病毒HIV感染者的比率。但是，不論是這3種情況的哪一種，作為估計白球比率  p=w/(w+b)的問題，其處理方法上沒有多大差別(當知道總數(shù)w+b時，有某種方便之處，但與目前我們這里的討論無關(guān))，故在下面可以不管這點。

    我們的問題是要估計p。如果是“盒子里放球”的情形，問題很簡單：把盒中的球倒出來計點出黑、白球各有多少就成。但實際問題中往往不容許這樣做。如估計湖中的魚數(shù)，要這樣做得排干湖水。又如估計文盲率，這樣做相當于把全國人口連一檢查何人是文盲，何人不是，這樣大規(guī)模的工作不一定可行。在估計工廠產(chǎn)品的合格率時，對產(chǎn)品的檢驗可能是破壞性的，更不可能逐個進行檢查。

    所以，我們只能檢查盒中的一部分球，且一般只是很小的一部分。但要記?。诂F(xiàn)時問題中，球的總數(shù)w+b一般是極大(要不這樣就可以用普查，即把盒中的球逐一檢視的方法)，故其很小一部分仍可能是一個很大的數(shù)目。假定我們打算檢視盒中的m個球。不妨設想球是一個一個被拍出，共抽m次。這造成一種復雜的情況：盒中的球數(shù)在不斷的變化，這我們在前面討論10個人分3張音樂會票的問題時就曾指出過。為了簡化，我們把球檢視后仍放回去，以使在每一次抽球時，盒里總是保持w十b個球。如果w+b很大而m與之相比很小，則這個放回對結(jié)果不會有多大影響，因為個球被重復抽到的可能性極低。但這樣做在理論上有一個很大的好處，即各次抽球成為一個完全同一的試驗的重復?！巴耆弧北硎荆好看纬榍驎r條件完全一樣，即從有w+b個球的盒中隨機抽出一個米?！鞍淹耆瑯拥脑囼炛貜腿舾纱巍痹诟怕手惺且粋€極其重要的模型。由于它最初由伯努利所研究，故通稱為伯努利模型(伯努利及其著作后文有介紹)。在此我們又注意到數(shù)學的一個特點：數(shù)學中研究的種種模型，往往包含了對現(xiàn)實情況的簡化。這是因為，數(shù)學方法的力量畢竟是有限的，對付過于復雜的現(xiàn)實問題往往無能為力。只要這種簡化不與現(xiàn)實距離過遠．或者說，所造成的誤差不致對結(jié)論的有用性造成較大的傷害，基于簡化模型而發(fā)展的數(shù)學方法仍有其實用價值。

    回到估計白球比率p=w／(w+b)的問題。按上述有放回地逐一從盒中抽出n個球(每次抽出后，記下其黑白，再放回盒中，擾亂后重抽)，記錄白球出現(xiàn)次數(shù)為m，比值m／n稱為在這n次試驗(抽取)中白球出現(xiàn)的“頻率”。直觀上容易相信：至少在n比較大的時候，這個頻率m／n應當與p比較接近，因而可以拿它作為未知的p的一個估計。從“等可能性”含義的分析上看，有理由相信這一點：考慮3白球7黑球的情況，把10個球編號為l至10，其中3個白球編號為1,2,3。設想抽了l000次，由于每號球之被抽出有同等可能，它應該反映在這一點上：在這1000次抽取中，各號球被抽到的次數(shù)應大致差不多。因為，如果差別過大，則說明某些球比另一些球被抽到的機會大得多，這有悖于“機會均等”的含義——自然，由于偶然性的作用，小的差別會有。這樣．大體上每號球有100次左右的機會被抽到。因此，在這1000次抽取中，白球(1，2，3號)出現(xiàn)的次數(shù)m大體上在300左右，二者的比m/n=0.3左右，而0.3正是盒中白球的比率。

       當然，以上的討論不能算作嚴格的論證。學過平面幾何的讀者知道，在數(shù)學上對論證的要求很嚴格。為證明一個幾何定理．例如三角形的三個高相交于一點，要經(jīng)過多步推導，每一步都要有嚴格的依據(jù)，一絲不茍。而在我們上述論證中，“大體上”，“左右”這些含糊的字眼多次出現(xiàn)，夠不上數(shù)學論證的標準。

    在歷史上，第一個企圖對“當試驗次數(shù)n愈來愈大時，頻率m/n會愈來愈接近比率p=w/(w+b)”這個論斷給予嚴格的意義和數(shù)學證明的，是早期概率論歷史上最重要的學者雅各布·伯努利(1654一1705)。他出生于瑞士的巴塞爾·在他的家族中，有五六位成員曾在數(shù)學和概率論領(lǐng)域中做出過重要貢獻．雅各布是其中最負盛名的。他的貢獻中，最重要的、對后世起了最大的影響的，就是剛才提到的“頻率接近比率”這個論斷的數(shù)學證明。說來有趣的是：他之所以研究這個問題。并非因為他對這個論斷之真?zhèn)未嬖谝蓡?。如他自己在著作中所說，甚軍那些最愚笨的人，出于其自然的天性而無須他人指點．也會相信這一點。因為這個論斷得到如此廣泛的公認，它理應有其理論上的根據(jù)所在，他的目標就是致力于找出這個根據(jù)。

    除了這個問題以外，伯努利還對現(xiàn)代高等數(shù)學的基礎——微積分的發(fā)展起了重要的作用。他生活的那段時期正值牛頓和萊布尼茲發(fā)明丁微積分。伯努利與萊布尼茲有良好的個人關(guān)系．他通過與萊布尼茲的通信，與后者探時微積分研究中的問題。有的學者認為，他當時對這個重要領(lǐng)域的貢獻，是牛、萊以下的第一人。

在現(xiàn)代，學者們進行學術(shù)交流的方式很多。交通和通信的進步。使個人接觸和會議交流變得很方便，還有眾多的期刊與專業(yè)著作等。在伯努利時代則不同，當時學術(shù)交流的主要手段，是學者之間的個人通信。就伯努利而言，他在概率論方面的研究，得益于與惠更斯的聯(lián)系。惠更斯（1629—1695)是歐洲當時最大的概率論學者，他在1657年出版的著作《機遇的規(guī)律》，是卡丹諾《機遇博弈》之后最有影響的概率論著作．曾在長達50年的時間內(nèi)成為這門學科的標準教科書。伯努利與惠更斯長期保持通信聯(lián)系，仔細研究過惠更斯的上述著作，并為這本書寫了詳細的注解。這些都寫進了他的成名作《推測術(shù)》中。

    《推測術(shù)》在概率史上的評價很高。有的學者認為它的問世標志著概率論脫離其萌芽狀態(tài)而走向嚴格數(shù)學化發(fā)展方向的升端。伯努利寫這本著作是在他生命的最后兩年(他死于l705年)，在他去世時書尚未完全定稿。遺留的工作由他的侄兒、概率學家尼科拉斯·伯努利完成，后又經(jīng)過一番周折，才得于1713年出版。

    該書分4個部分。前3部分是到那時為止有關(guān)古典概率計算所積累的一些成果的總結(jié)和提高。重要的是第4部分，在其中他用嚴格的數(shù)學方法證明了前面提及的那個結(jié)論：當n愈來愈大時，白球出現(xiàn)的頻率m/n愈來愈接近白球在盒中的比率w／(w—b)。

    這個結(jié)論現(xiàn)在通稱為“大數(shù)定律”。在概率論上還有許多類似的結(jié)果，也稱作九數(shù)定律，為加以分別，特別稱呼它為“伯努利大數(shù)定律”。

    伯努利大數(shù)定律的重大意義，在于它揭示了因偶然性的作用而呈現(xiàn)的雜亂無章現(xiàn)象中的一種規(guī)律性，或簡單地講，在紛亂中找到了一種秩序。如果你每天在盒中抽一個球記下其結(jié)果(再放回去)，當抽到白球時記以1而抽到黑球時記以0．則你得到的是一串雜亂的數(shù)字，例如：

    11000l00111101100000101l0…

外表上看不出有何特征或規(guī)律性。如果有另一個人把你剛才所做的重做一遍，他也得出這樣一串由0和1構(gòu)成的數(shù)字，同樣的雜亂無章但與你那一串并不相同。伯努利大數(shù)定律告訴我們，這表面的紛亂之下其實存在著種規(guī)律性，即在這數(shù)串中，1所占的比率愈來愈穩(wěn)定到一個值上面，此值即盒中白球的比率。這個穩(wěn)定性要到數(shù)串的長度足夠大時才顯示出來：在開始的一段中比率的變化可以是很大的，這正是大數(shù)定律這個名稱的由來。

    跳出這個盒子模型，對大數(shù)定律的意義作一種更寬廣的解釋，可以不夸張的說，它反映了我們的世界的一個基本規(guī)律：在一個包含眾多個體的大群體中，由于偶然性而產(chǎn)生的個體差異，著眼在一個個的個體上看，是雜亂無章，毫無規(guī)律，難于預測的。但由于大數(shù)定律的作用，整個群體卻能呈現(xiàn)某種穩(wěn)定的形志。例如一個封閉容器中的氣體，它包含大量的分子，它們各自在每時每刻的位置、速度和方向，都以種偶然的方式在變化著，但容器中的氣體仍能保有一個穩(wěn)定的壓力和溫度。電流是由電子運動形成的，每個電子的行為雜乩而不可預測，但整體看呈現(xiàn)一個穩(wěn)定的電流強度。在社會、經(jīng)濟領(lǐng)域中，群體中個體的狀況千差萬別，且變化不定，但一些反映群體狀況的平均指標，在一定時期內(nèi)能保持穩(wěn)定，或呈現(xiàn)規(guī)律性的變化。究其根源，都是由于大數(shù)定律的作用。

    上文談到的壓力、電流等的穩(wěn)定性，是一種從經(jīng)驗上觀察到的事實。另一方面．我們又曾指出：伯努利用數(shù)學的方法嚴格論證了大數(shù)定律，這二者的關(guān)系該如何去理解？

這個問題牽涉到數(shù)學理論與現(xiàn)實世界的關(guān)系，值得花一點篇幅來談談。先看看伯努利的數(shù)學證明：盒中一共有N=w+b個球，白球w個，黑球b個。伯努利要求每次抽取一球時，N個球中每一個有同等可能被抽到，至于在現(xiàn)實中能否和如何做到這一點，數(shù)學證明完全不管它，只把這規(guī)定為一個必須做到的前提。把這N個球按1到N編號，則n次抽取的結(jié)果是如下形式的一個序列：

 個。n次抽取的結(jié)果可以是這Nⁿ個序列中的任何一個，伯努利要求這個Nⁿ結(jié)果有等可能性。這一點早在卡爾諾16世紀的著作中已提到了。而且，在每次抽取時能保證等可能性的基礎上，這一點看來也是不言而喻的。但我們?nèi)缘冒阉闯墒且粋€引伸的假定，因為“等可能性”既然不是一個數(shù)學概念，用數(shù)學的形式推導去證明這一點是不可能的。最后，伯努利將上述Nⁿ個結(jié)果的等可能性，數(shù)學化解釋為：其中任何一個序列在n次抽取中出現(xiàn)的概率都是1/Nⁿ。這一個解釋把“等可能性”這種模糊的概念轉(zhuǎn)化為一個明確的數(shù)學命題。在這個基礎上，伯努利不難完成他的證明。