命題的形式及等價(jià)關(guān)系(1)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

命題的有關(guān)概念在初中平面幾何中已學(xué)過，本章在此基礎(chǔ)上對(duì)命題作較深入的研究，特別強(qiáng)調(diào)要確定命題真假都必須證明。舉反例既可以確定一個(gè)命題是假命題，同時(shí)它又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想。

推出關(guān)系是數(shù)學(xué)證明中最重要的邏輯關(guān)系。教材用比較通俗的說法給出了推出關(guān)系的意義及符號(hào)。

教材介紹了四種命題的構(gòu)成及等價(jià)命題的概念，這給我們今后證明一個(gè)命題為真（假）命題可轉(zhuǎn)化該命題的等價(jià)命題（通常是逆否命題）為真（假）命題提供了理論依據(jù)。

本小節(jié)首先從初中數(shù)學(xué)的命題知識(shí)入手，給出推出關(guān)系，等價(jià)關(guān)系的概念，接著，講述四種命題的關(guān)系，最后，在初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合四種命題的知識(shí)，進(jìn)一步講解反證法。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

理解四種命題之間的相互關(guān)系，能由原命題寫出其他三種形式；知道推出關(guān)系的概念，理解一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題真假間的關(guān)系；掌握等價(jià)關(guān)系的概念，初步掌握反證法。

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

理解四種命題的關(guān)系；體會(huì)反證法的理論依據(jù)。

四、教學(xué)用具準(zhǔn)備

  多媒體

五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、 復(fù)習(xí)回顧

在初中，我們已學(xué)過命題，真命題，假命題。

命題：表示判斷的語句。真命題：正確的命題。

假命題：錯(cuò)誤的命題。

命題 “全等三角形的面積相等”的條件與結(jié)論各是什么？

本節(jié)將進(jìn)一步研究命題與其有關(guān)的命題的概念。

 [說明]通過學(xué)生回顧以前的知識(shí)，喚起他們?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)結(jié)點(diǎn)，從而為下面的要學(xué)習(xí)的一些下位概念的同化和順應(yīng)提供最近發(fā)展區(qū)。

二、講授新課

   1．命題

例1：下列語句哪些不是命題，哪些是命題？如果是命題，那么它們是真命題還是假命題？為什么？（課本例題）

1.個(gè)位數(shù)是5的自然數(shù)能被5整除；

2.凡直角三角形都相似；

3.上課請(qǐng)不要講話；

4.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不相等；

5.你是高一學(xué)生嗎？

解：1.真命題

它可以寫成10k+5的形式（k是非負(fù)整數(shù)），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。

2.假命題

取三個(gè)角分別是900、450、450的直角三角形，它與三個(gè)角分別是900、600、300的直角三角形不相似。

3.不是命題    不是判斷語句。

4.假命題

取一個(gè)角為900，另一個(gè)角也為9000，它們是互補(bǔ)的，但它們相等了.

5.不是命題   是疑問句，不是表示判斷的陳述句。

結(jié)論：①命題必定由條件與結(jié)論兩部分組成。

②假命題的確定：舉反例（舉出一個(gè)滿足條件，不滿足結(jié)論的例子，一個(gè)即可）

 [說明]：構(gòu)造反例有時(shí)候很不容易，要充分注意命題的條件和結(jié)論，還要注意極端情況，或運(yùn)用類比手段。

③真命題的確定：作出證明，方法

[說明]:反證法既是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是命題證明的一種方法.

2、推出關(guān)系：

一般地，如果α這件事成立可以推出β這件事也成立，那么就說由α可以推出β，并用記號(hào)α?β表示，讀作“α推出β”。換言之，α?β表示以α為條件，β為結(jié)論的命題是真命題。

例2：設(shè)α表示“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，β表示為“兩個(gè)角相等”，問能用“?”表示α、β之間關(guān)系嗎？（補(bǔ)充例題） 

解：α?β關(guān)系成立，但反過來不行。

例3：在下列各題中，用符號(hào)“?”或“”把α、β這兩件事聯(lián)系起來。（補(bǔ)充例題）

      1. α：實(shí)數(shù)滿足，β： 或。 （“αβ”）

2. α：，β：（為全集）。（“α?β”）

3. α：，β：。（“αβ”）

4. α：，β：。（“β?α”）

3、α與β等價(jià)：

如果α?β，β?α，那么記作，叫做α與β等價(jià)

4、傳遞性：α?β，β?γ，則α?γ

三、鞏固練習(xí)：

課本P/17 練習(xí)1.4（1）——1，2

四、課堂小結(jié)：

本節(jié)課主要介紹了真假命題判斷的方法及命題的推出關(guān)系.

五、作業(yè)布置：

1、書面作業(yè)：P/20，習(xí)題1.4——1

       2、拓展作業(yè)：在下列各題中，用符號(hào)“?”或“?”或“”把α、β這兩件事聯(lián)系起來：

（1） α：適合方程，β： ；

（2） α：，β：；

（3） α：，β：；

（4） α：集合，β：。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

    （1）命題的有關(guān)概念在初中平面幾何中已經(jīng)學(xué)過,因此可以通過具體的例子幫助學(xué)生回顧舊知,為以后進(jìn)一步研究命題做好鋪墊。在推出關(guān)系的教學(xué)中,要強(qiáng)調(diào)命題的條件和結(jié)論,要結(jié)合并集的概念強(qiáng)調(diào)“或”的三層含義。

（2）理解推出關(guān)系具有傳遞性，為以后學(xué)習(xí)充要條件做好準(zhǔn)備。

（3）要明確有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)、記號(hào)的意義，正確加以使用。

　  本單元中引進(jìn)的數(shù)學(xué)符號(hào)、記號(hào)比較多，初學(xué)者往往不善于使用，對(duì)此教學(xué)中必須在每一符號(hào)引進(jìn)時(shí)，說明其意義，配備適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題，逐步讓學(xué)生熟悉這些符號(hào)，正確地運(yùn)用這些符號(hào)。

命題的形式及等價(jià)關(guān)系(2)                               

一、教學(xué)內(nèi)容分析

教材介紹了四種命題的構(gòu)成及等價(jià)命題的概念，這給我們今后證明一個(gè)命題為真（假）命題可轉(zhuǎn)化該命題的等價(jià)命題（通常是逆否命題）為真（假）命題提供了理論依據(jù)。

本小節(jié)由命題條件的改變、結(jié)論的改變，構(gòu)成四種命題形式：原命題、逆命題、否命題、逆否命題。接著，通過具體的例題練習(xí)講述四種命題的關(guān)系，最后，給出等價(jià)命題的定義，提供了一種證明的方法，并通過具體的例題給出反證法。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）理解四種命題的概念；
（2）理解四種命題之間的相互關(guān)系，能由原命題寫出其他三種形式；
（3）理解一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題真假間的關(guān)系；
（4）初步掌握反證法的概念，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)分類、判斷、推理的思想            方法。

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

理解四種命題的關(guān)系；

體會(huì)反證法的理論依據(jù)。

四、教學(xué)用具準(zhǔn)備

  多媒體教室

五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一．復(fù)習(xí)提問：

（1）什么是命題？什么是真命題 ？什么是假命題？

（2）語句“內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角互補(bǔ)”是否是命題？

（3）命題 “內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的條件與結(jié)論各是什么？

二．講授新課：

關(guān)于四種命題

1、概念引入

在命題“內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角互補(bǔ)”中，條件是“內(nèi)接于圓的四邊形”，結(jié)論是“四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”。 如果我們把以上命題作以下變化：

（1）如果把命題中的結(jié)論“四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”作為條件，把命題中的條件“內(nèi)接于圓的四邊形” 作為結(jié)論，則得到了新命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓”。

我們把原來命題中的結(jié)論作為條件，原來命題中的條件作為結(jié)論所組成的新命題叫做原來命題的逆命題。并且它們互為逆命題。

（2）如果將命題的條件和結(jié)論都換成它們的否定形式，即條件是“四邊形不內(nèi)接于圓”，結(jié)論是“四邊形對(duì)角不互補(bǔ)”，那么就可得到一個(gè)新命題：“不內(nèi)接于圓四邊形對(duì)角不互補(bǔ)”。

像這種將命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定而得到的新命題叫做原來命題的否命題。并且新命題與原來的命題互為否命題。

（3）如果將命題的條件和結(jié)論互換并取原來的否定形式，即條件是“四邊形對(duì)角不互補(bǔ)”，結(jié)論是“四邊形不內(nèi)接于圓”，那么就可得到一個(gè)新命題：“對(duì)角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓”。

像這種將命題的條件與結(jié)論互換并同時(shí)否定而得到的新命題叫做原來命題的否命題。并且新命題與原來的命題互為否命題。

2、概念形成

由以上例子歸納出四個(gè)命題的一般形式：

原命題： 

逆命題： 

否命題：  

逆否命題：

并在四種命題之間的相互關(guān)系如下：

3、概念運(yùn)用（例題分析）

例1：試寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假。（課本例題）

命題A：如果兩個(gè)三角形全等，那么它們面積相等；

命題B：如果一個(gè)三角形兩邊相等，那么這兩邊所對(duì)的角也相等。

（過程略）

[說明] 我們從以上的實(shí)例中發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題是同真同假的；逆命題與否命題是同真同假的。我們可以用證明一個(gè)命題的逆否命題來證明原命題。

4、鞏固練習(xí)

課本P19，練習(xí)1.4(2)

5、概念深化（拓展練習(xí)）

寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假性。（補(bǔ)充）
①負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；
②正方形的四條邊相等；
③若a=0，則ab=0；
④若a=b，則ac=bc；
⑤全等三角形一定相似；
⑥末位數(shù)字是零的自然數(shù)能被5整除；
⑦對(duì)頂角相等；
⑧過半徑的端點(diǎn)不與半徑垂直的直線，不是這個(gè)圓的切線；

[說明] 1、原命題為真，它的逆命題不一定為真。2、原命題為真，它的否命題不一定為真。3、原命題為真，它的逆否命題一定為真。并可由此引入等價(jià)命題。

關(guān)于等價(jià)命題

1、概念引入（見上）

2、概念形成

   如果,是兩個(gè)命題，，那么,叫做等價(jià)命題。

3、概念運(yùn)用

例3 已知、分別是的，的角平分線，。求證：。（課本P19）

（過程略）

[說明]1、 反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果運(yùn)用直接證明法比較困難或難以證明時(shí)，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。2、反證法證題的步驟（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

4、鞏固練習(xí)

課本P20，練習(xí)1.4(3)

三、課堂小結(jié)：

1、四種命題的概念及形式

2、四種命題之間的關(guān)系及同真同假性。

四種命題的真假關(guān)系：原命題為真

四、作業(yè)布置

  課本P20，習(xí)題1.4—2，4，8，10。

七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

（1） 由命題的條件、結(jié)論的改變，構(gòu)成四種命題形式：原命題、逆命題、否命題和逆否命題。四種命題形式的構(gòu)成雖然不難理解，但給出一種命題形式，要正確寫出它的另外三種命題形式卻不容易。解決這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是分清命題的條件和結(jié)論。必要時(shí)可先將命題改寫成“如果…，那么 …”的形式。

（2） 另外，在寫一個(gè)已知命題的否命題或逆否命題時(shí)，要把一個(gè)斷語正確地變成它的否定斷語，初學(xué)者在這些地方時(shí)常出錯(cuò)。一般地，“是”的否定斷語為“不是”；“”的否定斷語為“”；“”的否定斷語為“<”；“都是”的否定斷語為“不都是”或“至少有一個(gè)不是”；等等。具體解題時(shí)，不要生搬硬套，要仔細(xì)思考，以保正確。

http://wenku.baidu.com/view/003faafb941ea76e58fa04cc.html