函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中極其重要的內(nèi)容之一。這一概念不僅滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的許多內(nèi)容之中，而且它與物理、化學(xué)等學(xué)科的知識密切相關(guān)。其次，它又是一種數(shù)學(xué)思想，運用函數(shù)思想可以更方便、更有效地解決一些數(shù)學(xué)問題，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有著重要的意義和作用。

由于函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中最具復(fù)雜性，學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)往往不是一帆風(fēng)順的，因此函數(shù)的教與學(xué)是一個需要認(rèn)真研究的課題。

一、函數(shù)學(xué)習(xí)困難的原因分析

1.函數(shù)自身的特點

(1)函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了一個漫長的過程，是眾多數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶。函數(shù)概念萌芽于羅馬時代，17世紀(jì)伽利略、笛卡爾都注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但是沒能給出函數(shù)的定義。進(jìn)入18世紀(jì)，先后經(jīng)歷了公式表示函數(shù)和曲線表示函數(shù)的階段。1821年柯西給出了類似現(xiàn)在課本的函數(shù)定義。1822年傅里葉揭示了函數(shù)的本質(zhì)，結(jié)束了函數(shù)概念是否唯一的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識推到了一個新的層次。之后又經(jīng)歷了若干科學(xué)家的研究提煉，給出了近代函數(shù)的定義，具體化了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域和值域問題，打破了“變量是數(shù)”的極限，使得函數(shù)得到更廣泛的應(yīng)用。由此可以看出，函數(shù)的發(fā)展是人類社會認(rèn)識發(fā)展過程的簡約反映，因此學(xué)生普遍出現(xiàn)認(rèn)識上的困難是比較正常的。

(2)函數(shù)從客觀世界中抽象出來，超越了千變?nèi)f化的客體的個性，是個內(nèi)涵深刻而又外延豐富的概念。函數(shù)不是數(shù)，需要以變化的觀點來考察變量之間的相互依賴關(guān)系，研究的著眼點是“關(guān)系”，對變量概念的學(xué)習(xí)不能簡單地理解為變化的量，必須辯證地認(rèn)識常量與變量這一關(guān)系。

(3)函數(shù)概念系統(tǒng)復(fù)雜，涉及因素眾多。伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)思維方式也發(fā)生了重要轉(zhuǎn)變，思維從靜態(tài)走向了運動、從離散走向了連續(xù)、從運算轉(zhuǎn)向了關(guān)系，實現(xiàn)了數(shù)與形的有機結(jié)合，在符號語言與圖表語言之間可以靈活轉(zhuǎn)換。在函數(shù)的研究中，思維超越了形式邏輯的界限，進(jìn)入了辯證邏輯思維，與常量數(shù)學(xué)相比，函數(shù)概念的抽象性更強，形式化程度更高。

2.函數(shù)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的心理特點

(1)新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖突

以布魯納為代表的認(rèn)知學(xué)說認(rèn)為在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，新的學(xué)習(xí)內(nèi)容輸入以后，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間相互作用，出現(xiàn)了同化和順應(yīng)兩種基本形式的學(xué)習(xí)過程，而學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程是順應(yīng)的過程。初中生剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)時，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能適應(yīng)新的認(rèn)知需要，必須要加以改造才能適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)之前學(xué)習(xí)正方形的面積公式，是為了利用正方形的邊長計算正方形的面積；而學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，則需把正方形的面積公式看成正方形的面積與邊長之間相互變化所遵循的規(guī)律。

(2)初中生的感知規(guī)律

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已有的知識經(jīng)驗起著重要的作用。已有的知識經(jīng)驗越豐富，感知就越是清晰，就越有利于把感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識。特別是初中生，年齡小，知識面比較狹窄，生活經(jīng)驗尚不豐富，對數(shù)學(xué)中較難理解的知識，接受起來有一定的困難。再加上函數(shù)內(nèi)容的高度抽象性，往往掩蓋了它們與具體內(nèi)容之間的關(guān)系，壓制了感知在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

(3)學(xué)生思維發(fā)展水平的局限性

初中生的抽象邏輯思維日益發(fā)展，并逐漸占有相對優(yōu)勢，但具體形象思維仍然起著重要的作用；其次初中生思維的獨立性和批判性還是很不成熟的，很容易產(chǎn)生片面性和表面性，特別是他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學(xué)習(xí)任務(wù)，這是構(gòu)成函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的主要根源。

二、函數(shù)教學(xué)的策略及應(yīng)注意的問題

1.創(chuàng)設(shè)豐富的感性背景，讓學(xué)生感受動態(tài)世界中的變化規(guī)律

盡管函數(shù)本身是以抽象的形態(tài)出現(xiàn)的，但學(xué)生領(lǐng)會它的時候總是要從直觀開始的。雖然直觀感知只能提供事物具體的、特殊的、感性的認(rèn)識經(jīng)驗，但是它是認(rèn)識空間形式和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。

以下是我將函數(shù)概念導(dǎo)入新課的課堂實錄。

提出問題：“同學(xué)們，你們乘坐過出租車嗎？”“當(dāng)然了！”學(xué)生的眼睛里來了精神。“那么你們了解出租車的計費方式嗎？”學(xué)生已經(jīng)迫不及待了?！昂?，現(xiàn)在老師有個問題你們幫我解決一下?！?/P>

引出問題：現(xiàn)在市區(qū)一輛出租車3公里的起步價是8元，每增加1公里加價1.7元。如果我乘車12公里應(yīng)付費多少元？學(xué)生很快算出了結(jié)果。我乘勢而下，“在這個過程中哪些量是變化的？能不能寫出它們的關(guān)系式？”解答結(jié)果并不重要，關(guān)鍵在于讓學(xué)生經(jīng)過思考體會兩種變量之間存在的變化規(guī)律。接下來還可以選取一根彈簧，在其下端懸掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長度的變化，探索它們的變化規(guī)律。如果彈簧原長5cm，每1kg重物使彈簧拉長0.5cm，怎樣用含重物質(zhì)量m（單位：kg）的式子表示受力后的彈簧長度l(單位：cm)。教學(xué)時教師親自動手做實驗，并配以圖表，請學(xué)生親自觀察彈簧的長度變化，并做好記錄，在觀察和記錄的過程中慢慢體會其中的變化規(guī)律。往往兩三次之后學(xué)生就會準(zhǔn)確說明其中蘊含的規(guī)律。

X(kg)012345Y(cm)55.566.577.5還可以利用幾何畫板的動畫功能，給學(xué)生演示圓半徑r與圓面積S之間的關(guān)系。

通過以上實例，可以使學(xué)生初步體會：(1)常量和變量的概念；(2)變量的取值是有一定范圍的；(3)常量與變量的概念是相對的；(4)學(xué)生從感性上認(rèn)識到變量之間的變化是存在一定規(guī)律的。這些都為學(xué)習(xí)函數(shù)概念提供了可靠的認(rèn)知支柱。

2.緊扣函數(shù)概念的兩要素，充分揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵

初中函數(shù)概念是以變量關(guān)系引入的，它是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。教學(xué)中有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，或干脆說成“你變，我也變”，殊不知這樣的解釋對學(xué)生理解“變量”的意義不僅沒有幫助還會起反作用，因此對變量概念的準(zhǔn)確理解是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵。

(1)辯證地看常量和變量

常量和變量都是相當(dāng)于某一過程而言，沒有絕對的變量。例如，一輛汽車用了2小時從北京駛向天津。在這2小時的過程中，這輛汽車行駛的路程是一個變量，但在分析這輛汽車到達(dá)天津的時間和它的速度之間的關(guān)系這個過程中，路程則成了常量。

(2)準(zhǔn)確把握因變量

把一個變量稱作函數(shù)也是相對的，一方面它必須是依賴于或相對于某個稱作自變量的變量。例如，上面例子中的第一種情況,路程這個變量是時間這個自變量的函數(shù)，而不能單獨地說某一個變量是函數(shù)或認(rèn)為它注定就是函數(shù)；另一方面，一個變量是某個變量的函數(shù)，也是相對于某個“過程”而言的。例如，如果把年齡規(guī)定在一個人在世時每年的生日那天的某個時刻，那么對于一個人來說，身高是年齡的函數(shù)，但對于一個班的同學(xué)來說，一般說來，身高就不是年齡的函數(shù)。這是因為，前者的過程是對于一個人，后者的過程是對于幾十個人。

(3)深刻理解函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)——對應(yīng)關(guān)系

兩個變量相互依賴，“當(dāng)?shù)谝粋€變量在一定的范圍中取定一個數(shù)值時，第二個量總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)”，即自變量在它的取值范圍內(nèi)不受干擾的自由取值，函數(shù)的值則受自變量的牽制。

(4)注重對自變量取值范圍的考慮

自變量的取值范圍，到高中稱作“函數(shù)的定義域”，它是函數(shù)關(guān)系的一個組成部分。兩個函數(shù)的自變量的取值范圍不同時，這兩個函數(shù)則是不可能相同的。例如，某風(fēng)景區(qū)集體門票的收費標(biāo)準(zhǔn)是20人以內(nèi)（含20人）每人25元，超過20人時，超過部分每人20元。應(yīng)收門票費y(元)與游覽人數(shù)x(人)之間的函數(shù)關(guān)系式為

Y=25X(0≤X≤20)

20X+100(X>20)

此題由于自變量的取值不同，因此對應(yīng)的函數(shù)也不盡相同。由此可以看出，從開始學(xué)習(xí)函數(shù)時就考慮自變量取值范圍是十分必要的。

3.加強數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)

(1)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維的完善

法國科學(xué)家拉格朗日認(rèn)為，只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，當(dāng)兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，就可以快速的步伐走向完善。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最基本的概念，數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法都是圍繞對這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在函數(shù)教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化。實踐中，可以發(fā)揮“做數(shù)學(xué)”的優(yōu)勢，選好函數(shù)解析式讓學(xué)生自己動手畫函數(shù)圖象。其過程雖然不是一帆風(fēng)順的，但卻可以促使學(xué)生不停地動腦筋。函數(shù)圖象究竟是什么樣的？它是呈怎樣的變化趨勢？隨著教師的引導(dǎo)，函數(shù)圖象的性質(zhì)也就浮出水面了。第二步，則可以讓學(xué)生根據(jù)自己歸納的函數(shù)圖象性質(zhì)解決問題，應(yīng)用中不斷產(chǎn)生的問題沖突將是學(xué)生思考—理解—反思—記憶的最佳時機。例如，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)圖形性質(zhì)時，當(dāng)k>0，圖像位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0，圖像位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。學(xué)生一般對“在每個象限內(nèi)”這個條件并不重視，單純套性質(zhì)做題會大大降低準(zhǔn)確率。已知：反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象上有兩點，A（x1,y1）,B(x2,y2)，且x1

(2)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生的知識“活”起來

以往看2x+1=0，2x+y=0，2x+1>0，均為方程、不等式的個體，而學(xué)習(xí)了函數(shù)，則可由函數(shù)圖象將方程、不等式、方程組統(tǒng)一起來。例如，方程2x+1=0的解從“數(shù)”的角度可以看作2x+1=y，令y=0時自變量x的值；從“形”的角度可以看作直線y=2x+1與x軸交點的橫坐標(biāo)。又如，一個二元一次方程2x+y+1=0可同解變形成y=-2x-1，而后者的圖象是一條直線，它的無數(shù)個點的無數(shù)組坐標(biāo)值就是2x+y+1=0的無數(shù)組解。再如，一個二元一次方程組的兩個方程的解，都在坐標(biāo)平面的兩條直線上，只有它們交點的坐標(biāo)是公共的，因此只有它們的交點才是方程組內(nèi)兩個方程的公共解。方程組無解時，正是所對應(yīng)的兩條直線互相平行，此時無交點。

利用函數(shù)的圖象揭示知識之間內(nèi)在的聯(lián)系，可使學(xué)生對知識的運用更加靈活。

4.借助多媒體優(yōu)勢，抽象變直觀

借助多媒體的優(yōu)勢可以使抽象的函數(shù)概念更加直觀。例如，學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì)時，a、b、c的取值決定拋物線的位置是學(xué)生理解和應(yīng)用的一個難點。若在幾何畫板中利用參數(shù)拉桿代表a、b、c,用鼠標(biāo)任意拖動每一個參數(shù)拉桿，動態(tài)的拋物線就隨之變化，不用老師開口，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)：(1)a>0,拋物線開口向上；a<0,拋物線開口向下；|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大。(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。(3)c的大小決定拋物線與y軸的交點位置。

5.建立函數(shù)思想方法，提高學(xué)生的探索能力

研究函數(shù)的過程，始終離不開變化，若能根據(jù)函數(shù)這一特性，形成函數(shù)思想，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式解決某類探索性問題則能達(dá)到事半功倍的效果。這一類探索問題的關(guān)鍵是判斷增量的情況，從而判斷用哪一種函數(shù)求解。

(1)若增量為定值，可用一次函數(shù)求解。例如，下圖中每個圖是用若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊有n(n>1)盆花，每個圖案的花盆總數(shù)為S，按此規(guī)律排列，試寫出S與n的關(guān)系式。

分析：n從2到3增加1，S的值增加3；n從3到4增加1，S的值增加3；可見S的增量為定值，可用一次函數(shù)求解。

解：設(shè)S與n的關(guān)系為S=kn+b

2k+b=3

3k+b=6

∴k=3，b=-3∴s=3n-3

(2)若增量為等差數(shù)列，可用二次函數(shù)求解。例如，兩條直線相交，最多1個交點；三條直線相交，最多3個交點；四條直線相交，最多6個交點，問n條直線相交，最多有多少個交點？

分析：交點個數(shù)由1到3，增加2；交點個數(shù)由3到6，增加3；

交點個數(shù)由6到10，增加4；增加量為等差數(shù)列，可用二次函數(shù)求解。設(shè)S與n的函數(shù)關(guān)系式為S=an2+bn+c。將(2，1)，(3，3)，(4，6)代入，解得a=12，b=-12，c=0.所以s=12n2-12n.

6.注重函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，強化學(xué)生的應(yīng)用意識

函數(shù)是非常重要的“數(shù)學(xué)建?！惫ぞ撸F(xiàn)實中的許多問題都是通過建立函數(shù)模型而得到解決的。例如，現(xiàn)在電話費、上網(wǎng)費、手機費的付費問題已是我們生活中常見的話題，怎樣才能使我們的消費更加經(jīng)濟實用呢？我讓學(xué)生以小組合作的方式，調(diào)查家里的上網(wǎng)資費方式是否經(jīng)濟實用，學(xué)生的積極性無限高漲。通過調(diào)查分類篩選基本選定兩種資費方式進(jìn)行分析：方式A，以每分鐘0.1元的價格按上網(wǎng)時間收費；方式B，除收取月租費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。分析結(jié)果以調(diào)查報告的形式出現(xiàn)包括建立函數(shù)模型—畫出函數(shù)圖像—分析函數(shù)圖像—選擇資費方式。活動結(jié)束后，請學(xué)生交流此次活動后的收獲，這樣不僅鞏固了知識，學(xué)會了方法，更重要的是經(jīng)歷了“從現(xiàn)實中來，到現(xiàn)實中去”的數(shù)學(xué)過程。

總之，對函數(shù)概念的理解、運用并不是一章、一節(jié)能突破的，教師要把函數(shù)的教學(xué)作為一個長期的過程，積極地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨立思考，有意識地培養(yǎng)他們應(yīng)用函數(shù)知識解決各種數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生順利地完成函數(shù)的學(xué)習(xí)。