科學(xué)計(jì)算：Python VS. MATLAB(3)----線性代數(shù)基礎(chǔ)

    按：在介紹工具之前先對(duì)理論基礎(chǔ)進(jìn)行必要的回顧是很必要的。沒(méi)有理論的基礎(chǔ)，講再多的應(yīng)用都是空中樓閣。本文主要設(shè)涉及線性代數(shù)和矩陣論的基本內(nèi)容。先回顧這部分理論基礎(chǔ)，然后給出MATLAB，繼而給出Python的處理。個(gè)人感覺(jué)，因?yàn)镻ython是面向?qū)ο蟮?，操縱起來(lái)會(huì)更接近人的正常思維；而MATLAB大多是以函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，是向?qū)ο笫┘拥囊粋€(gè)操作。比如，A是一個(gè)矩陣，它有一個(gè)屬性attr。用Python更可能是A.attr，而用MATLAB更可能是attr(A)。

一、線形代數(shù)理論基礎(chǔ)

    線形代數(shù)（linear algebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究矩陣?yán)碚?、向量空間、線性變換和有限維線形方程組等內(nèi)容。

    比較重要的思想有：1.線性代數(shù)的核心內(nèi)容是研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)和線性空間的線性變換；2.向量的線性相關(guān)性是研究線性空間結(jié)構(gòu)與線性變換理論的基礎(chǔ)；3.矩陣是有限維線性空間的線性變換的表示形式；4.線性方程組的求解問(wèn)題是n維空間到m維空間線性映射求核和全體原象的問(wèn)題；5.行列式是研究這些問(wèn)題的一個(gè)工具。

    主要內(nèi)容有：1.矩陣運(yùn)算：加減乘除、轉(zhuǎn)置、逆矩陣、行列式、矩陣的冪、伴隨矩陣；2.矩陣分塊、秩、跡；3.解方程；4.線性相關(guān)；5.向量空間；6.特征值和特征向量；7.對(duì)稱(chēng)、相似；8.二次標(biāo)準(zhǔn)型；9.線性空間和基變換；10.正交空間；11.矩陣對(duì)角化；13.矩陣分解；14.重要數(shù)字特征。

二、MATLAB的處理

1.建立矩陣

MATLAB中，矩陣是默認(rèn)的數(shù)據(jù)類(lèi)型。它把向量看做1×N或者N×1的矩陣。

%建立了一個(gè)行向量，不同元素之間使用空格或者逗號(hào)分開(kāi)都是可以的。

A=[1,2,3]   或者  A=[1 2 3]

%建立一個(gè)矩陣，使用分號(hào)隔開(kāi)不同的行。

A=[1,2,3;4,5,6]

%那么，建立一個(gè)列向量就好辦了。每行一個(gè)元素，分號(hào)分開(kāi)即可。當(dāng)然也可以使用行向量的轉(zhuǎn)置（一個(gè)撇號(hào)表示轉(zhuǎn)置）。

A=[1;2;3]   或者   A=[1,2,3]’

MATLAB內(nèi)置了很多特殊的矩陣生成函數(shù)，建立特殊矩陣十分方便。

i)第一組用來(lái)生成特殊規(guī)則的矩陣。如全零、全一、隨機(jī)、等步長(zhǎng)等形式。

X=zeros(m,n)   

%生成一個(gè)m*n的全0矩陣。同理，ones(m,n)生成一個(gè)全1矩陣；eye(m,n)生成一個(gè)單位陣。它們的重要作用在于預(yù)先分配矩陣空間，所以，在預(yù)知矩陣規(guī)模但是不知道矩陣具體數(shù)據(jù)的情況下，先用這幾個(gè)函數(shù)生成一個(gè)矩陣，對(duì)提高運(yùn)算速度十分有用。

X=rand(m,n)  

%生成一個(gè)平均分布的隨機(jī)矩陣，數(shù)值區(qū)間[0,1]。同理，randn(m,n)生成一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣。注意，這些所謂的隨機(jī)實(shí)際上都是偽隨機(jī)。

v=linspace(a,b,n)   

%產(chǎn)生線性空間矢量。a和b分別是起點(diǎn)和終點(diǎn)，n是本區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，默認(rèn)100個(gè)點(diǎn)。同理，logspace(a,b,n)產(chǎn)生對(duì)數(shù)空間矢量。不過(guò)它默認(rèn)點(diǎn)數(shù)是50個(gè)。

v=1:0.1:10   

%產(chǎn)生一個(gè)線性的矢量。規(guī)格是---起點(diǎn)：步長(zhǎng)值：終點(diǎn)

ii)第二組用來(lái)在原有矩陣基礎(chǔ)上獲得一個(gè)具有某些特征的矩陣。

X=diag(v,k)和v=diag(X,k) 

%前者用矢量v中的元素生成一個(gè)對(duì)角矩陣，k是對(duì)角移位因子，默認(rèn)為0，即主對(duì)角。k>0，對(duì)角線右移。后者返回矩陣X的對(duì)角元素，存在矢量v中。k的意義相同。

X1=triu(X,k)和X1=tril(X,k)  

 %分別產(chǎn)生矩陣X的上三角矩陣和下三角矩陣。

fliplr(X)/flipud(X)/rot90(X)   

%這都是對(duì)矩陣的翻轉(zhuǎn)操作，獲得新的矩陣。分別是左右翻轉(zhuǎn)（left-right）、上下翻轉(zhuǎn)（up-down）和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°操作。

iii)第三組用來(lái)生成一些具有理論價(jià)值的，往往是以數(shù)學(xué)家命名的矩陣。

magic(n)生成行列相加均為同一個(gè)數(shù)字的方陣。pascal(n)生成帕斯卡爾矩陣。hilb(n)生成希爾伯特矩陣。vander(v)生成范德蒙德矩陣。等等。

這些矩陣一般都有相應(yīng)的學(xué)術(shù)背景，用到的時(shí)候，可以用命令help elmat在最后一個(gè)欄目中看看有沒(méi)有自己要找的特殊矩陣，如果有，點(diǎn)進(jìn)去進(jìn)一步研究即可。

2.矩陣的特征信息

size(X)  %獲得矩陣X的行、列數(shù)。比如，X是一個(gè)3*5的矩陣，p=size(X)返回p=[3 5]

length()   %對(duì)于矢量，返回的是矢量的長(zhǎng)度；對(duì)數(shù)組，返回的是數(shù)組最長(zhǎng)的那一個(gè)維度的長(zhǎng)度。

ndims()   %相當(dāng)于length(size(x))。

numel()   %數(shù)組中元素的個(gè)數(shù)。

isempty()和isequal()等is*型函數(shù)    %測(cè)試矩陣是否滿(mǎn)足某些條件

[V,D] = eig(A)  %矩陣A的特征值D和特征向量V。

k = rank(A)   %矩陣A的秩

b = trace(A)  %矩陣A的跡，即對(duì)角線元素之和

d = det(X)    %方陣A的行列式

Y = inv(X)   %矩陣X的逆矩陣

n = norm(X,option)   %矩陣或者向量的范數(shù)，具體使用用到再說(shuō)

c = cond(X)    %矩陣X的條件數(shù)

3.矩陣分解

矩陣分解是矩陣論的重要內(nèi)容。常用的分解形式在MATLAB中都有函數(shù)予以實(shí)現(xiàn)，并且有些分解考慮了多種情況。常見(jiàn)的如：eig()、qr()、schur()、svd()、chol()、lu()等。具體使用的時(shí)候

4.矩陣運(yùn)算

MATLAB默認(rèn)的是矩陣運(yùn)算，所以如果想要按元素依次計(jì)算，在原來(lái)運(yùn)算符前加一個(gè).號(hào)。比如.*表示按元素相乘。

每一個(gè)運(yùn)算符都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)。如：

A+B=plus(A,B)、A-B=minus(A,B)

A*B=mtimes(A,B)、A.*B=times(A,B)

A/B=mrdivide(A,B)、A./B=rdivide(A,B)、A\B=mldivide(A,B)、A.\B=ldivide(A,B)

A^B=mpower(A,B)、A.^B=power(A,B)

A'=ctranspose(A)、A.'=transpose(A)

其中的前綴m自然是表示matrix的意思。沒(méi)有m前綴的就是按元素進(jìn)行的意思。最后那個(gè)轉(zhuǎn)置操作，c前綴表示的是按照復(fù)數(shù)操作進(jìn)行轉(zhuǎn)置。

此外，還有一些比較常用的運(yùn)算：

C=cross(A,B)  

%矢量叉乘。類(lèi)似的，C=dot(A,B)  是矢量點(diǎn)乘
B = prod(A,dim)   

%數(shù)組元素的乘積，默認(rèn)按列計(jì)算。dim=1是列，dim=2是按行。這個(gè)概念很重要?。?br> 類(lèi)似的，B = sum(A,dim)   求數(shù)組元素的和。dim意義和以上同。
expm()   

%矩陣指數(shù)運(yùn)算。與此類(lèi)似的logm(), sqrtm()。其中，funm(A,fun)用來(lái)計(jì)算矩陣A對(duì)通用函數(shù)fun的函數(shù)值。

5.矩陣索引

選擇使用矩陣中的某些元素，就是所謂的矩陣索引了。

A(:,j)   %選取矩陣A的所有行，第j列，同理，A(i,:)是第i行，所有列

A(:,j:k)    %所有行，第j列至第k列（起點(diǎn)和終點(diǎn)均含）

三、Python的處理

Python使用NumPy包完成了對(duì)N-維數(shù)組的快速便捷操作。使用這個(gè)包，需要導(dǎo)入numpy。SciPy包以NumPy包為基礎(chǔ)，大大的擴(kuò)展了numpy的能力。為了使用的方便，scipy包在最外層名字空間中包括了所有的numpy內(nèi)容，因此只要導(dǎo)入了scipy，不必在單獨(dú)導(dǎo)入numpy了！但是為了明確哪些是numpy中實(shí)現(xiàn)的，哪些是scipy中實(shí)現(xiàn)的，本文還是進(jìn)行了區(qū)分。以下默認(rèn)已經(jīng)：import numpy as np 以及 impor scipy as sp

下面簡(jiǎn)要介紹Python和MATLAB處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾個(gè)不同點(diǎn)。1.MATLAB的基本是矩陣，而numpy的基本類(lèi)型是多為數(shù)組，把matrix看做是array的子類(lèi)。2.MATLAB的索引從1開(kāi)始，而numpy從0開(kāi)始。

1.建立矩陣

a1=np.array([1,2,3],dtype=int)   #建立一個(gè)一維數(shù)組，數(shù)據(jù)類(lèi)型是int。也可以不指定數(shù)據(jù)類(lèi)型，使用默認(rèn)。幾乎所有的數(shù)組建立函數(shù)都可以指定數(shù)據(jù)類(lèi)型，即dtype的取值。

a2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]])   #建立一個(gè)二維數(shù)組。此處和MATLAB的二維數(shù)組（矩陣）的建立有很大差別。

同樣，numpy中也有很多內(nèi)置的特殊矩陣：

b1=np.zeros((2,3))    #生成一個(gè)2行3列的全0矩陣。注意，參數(shù)是一個(gè)tuple：(2,3)，所以有兩個(gè)括號(hào)。完整的形式為：zeros(shape,dtype=)。相同的結(jié)構(gòu)，有ones()建立全1矩陣。empty()建立一個(gè)空矩陣，使用內(nèi)存中的隨機(jī)值來(lái)填充這個(gè)矩陣。

b2=identity(n)   #建立n*n的單位陣，這只能是一個(gè)方陣。

b3=eye(N,M=None,k=0)    #建立一個(gè)對(duì)角線是1其余值為0的矩陣，用k指定對(duì)角線的位置。M默認(rèn)None。

此外，numpy中還提供了幾個(gè)like函數(shù)，即按照某一個(gè)已知的數(shù)組的規(guī)模（幾行幾列）建立同樣規(guī)模的特殊數(shù)組。這樣的函數(shù)有zeros_like()、empty_like()、ones_like()，它們的參數(shù)均為如此形式：zeros_like(a,dtype=)，其中，a是一個(gè)已知的數(shù)組。

c1=np.arange(2,3,0.1)   #起點(diǎn)，終點(diǎn)，步長(zhǎng)值。含起點(diǎn)值，不含終點(diǎn)值。

c2=np.linspace(1,4,10)    #起點(diǎn)，終點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)點(diǎn)數(shù)。起點(diǎn)終點(diǎn)均包括在內(nèi)。同理，有l(wèi)ogspace()函數(shù)

d1=np.linalg.companion(a)    #伴隨矩陣

d2=np.linalg.triu()/tril()   #作用同MATLAB中的同名函數(shù)

e1=np.random.rand(3,2)    #產(chǎn)生一個(gè)3行2列的隨機(jī)數(shù)組。同一空間下，有randn()/randint()等多個(gè)隨機(jī)函數(shù)

fliplr()/flipud()/rot90()    #功能類(lèi)似MATLAB同名函數(shù)。

xx=np.roll(x,2)   #roll()是循環(huán)移位函數(shù)。此調(diào)用表示向右循環(huán)移動(dòng)2位。

2.數(shù)組的特征信息

先假設(shè)已經(jīng)存在一個(gè)N維數(shù)組X了，那么可以得到X的一些屬性，這些屬性可以在輸入X和一個(gè).之后，按tab鍵查看提示。這里明顯看到了Python面向?qū)ο蟮奶卣鳌?/font>