快樂(lè)課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“有規(guī)律的數(shù)”-華東師范大學(xué)出版社七年級(jí)上冊(cè)

一、  本單元概述

有規(guī)律的數(shù)，就是有理數(shù)。

在中學(xué)，人們把數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等科目歸為理科，這個(gè)“理”就是規(guī)律、規(guī)則的意思。理科的特點(diǎn)，就是規(guī)律性、規(guī)則性很強(qiáng)，學(xué)習(xí)內(nèi)容，就是探究各種各樣的規(guī)律和規(guī)則。抓住規(guī)律和規(guī)則，就學(xué)好了理科，所以理科特別好學(xué)。

語(yǔ)文、英語(yǔ)等文科科目中，也有規(guī)律和規(guī)則，但文、理的規(guī)律和規(guī)則，有著非常明顯的區(qū)分特點(diǎn)：

1、理科的“理”，是把客觀存在的現(xiàn)象，總結(jié)成規(guī)律，把規(guī)律應(yīng)用制定成規(guī)則，要求規(guī)則定得盡可能少、盡可能簡(jiǎn)單，使用范圍盡可能廣。

2、文科的規(guī)則，是根據(jù)人類主觀的需要制定的，理科特征強(qiáng)的人類制定的規(guī)則，就會(huì)比較簡(jiǎn)單、精煉，而理科特征弱的人類，制定的規(guī)則就會(huì)五花八門、多不勝數(shù)。然后再根據(jù)規(guī)則的實(shí)際使用情況，總結(jié)成規(guī)律。

比如：英語(yǔ)中，復(fù)數(shù)的規(guī)則就定得簡(jiǎn)單精煉，一共兩大條3小條，第一大條是不可數(shù)的不變化，第二大條是可數(shù)的根據(jù)發(fā)音變化，再分為2小條，一個(gè)+s，一個(gè)+es。但英語(yǔ)中，這樣“理性的規(guī)律”太少太少，要是多了，不就成理科了嗎？絕大多數(shù)的規(guī)則，是“非理性規(guī)律”，是“主觀硬行的規(guī)定”，這就需要我們大量記性了。同學(xué)們?cè)谖目频膶W(xué)習(xí)中，可以用筆記本，把各種文科規(guī)則，按“理性的規(guī)律”和“主觀硬行的規(guī)定”進(jìn)行分類，“理性的規(guī)律”重在理解，掌握規(guī)則制定的方法，“主觀硬行的規(guī)定”重在記憶，并在記憶中嘗試能否找到一定的規(guī)律，或一部分的規(guī)律。

再比如：語(yǔ)文有白話文和文言文，白話文一開始是沒(méi)有任何規(guī)則的，每一個(gè)寫白話文的人都會(huì)根據(jù)自己的需要和習(xí)慣，自己定一些規(guī)則，然后，這些規(guī)則在傳播的過(guò)程中，慢慢統(tǒng)一。并根據(jù)大家共認(rèn)的、優(yōu)秀的白話文文章，總結(jié)出多種多樣的規(guī)律。好比，“你、我、他、她、它”在最初，有很多種書寫表達(dá)方式，后來(lái)統(tǒng)一成了這幾字。再好比，學(xué)語(yǔ)文課本的每一篇好文章，我們都要總結(jié)出相應(yīng)類別的寫作規(guī)律，寫景的如何能寫好，還要再把景分成“動(dòng)”與“靜”，或分成“山、水、花草”等。

而在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們則可以充分感受到，理科規(guī)則的簡(jiǎn)潔性、通用性。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要特別注意“數(shù)”（數(shù)量關(guān)系）和“形”（空間形式）之間的聯(lián)系、對(duì)應(yīng)，如：數(shù)與數(shù)軸、絕對(duì)值與兩點(diǎn)間距離等。形成“數(shù)形結(jié)合思想”，能用“數(shù)”解釋“形”，能用“形”解釋“數(shù)”。

在有理數(shù)的四則運(yùn)算中，進(jìn)一步體會(huì)，理科規(guī)則的簡(jiǎn)潔、通用；養(yǎng)成“簡(jiǎn)單化”、“直接化”的數(shù)學(xué)意識(shí)，解決問(wèn)題時(shí)，怎么簡(jiǎn)單怎么來(lái)、怎么直接怎么來(lái)。

有理數(shù)的乘方運(yùn)算，要理解運(yùn)算的層次、級(jí)別、各層次級(jí)別，為以后學(xué)習(xí)更高一級(jí)運(yùn)算（冪運(yùn)算）打好基礎(chǔ)。通過(guò)科學(xué)計(jì)數(shù)法，初步體會(huì)乘方的簡(jiǎn)潔表達(dá)方式。并形成數(shù)學(xué)“最簡(jiǎn)”意識(shí)。

二、  從有理數(shù)看數(shù)學(xué)分類

我們最早學(xué)的數(shù)，是自然數(shù)。自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位是“1”。其中，“0”可以表示起點(diǎn)、開始，“1、2、3***”可以表示順序（第1個(gè)，是序數(shù)）。

自然數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算：

自然數(shù)+自然數(shù)=自然數(shù)；大自然數(shù)-小自然數(shù)（或本數(shù)）=自然數(shù)；自然數(shù)×自然數(shù)=自然數(shù)；

自然數(shù)÷自然數(shù)呢？發(fā)現(xiàn)有不能整除的。

因此，定下了“分?jǐn)?shù)”，分?jǐn)?shù)就是兩個(gè)自然數(shù)的比值，分?jǐn)?shù)比自然數(shù)特殊一點(diǎn)，也就有了一個(gè)特殊規(guī)定“分母為能為0”。

但分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，要看分母，分母是幾，計(jì)數(shù)單位就是幾分之一，這太沒(méi)規(guī)律了。

因此，定下了“小數(shù)”，小數(shù)是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一形式，這樣就把計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一到了“1”。

從以上可以看到，小數(shù)，是一種“形式”，在分類時(shí)，不說(shuō)小數(shù)。這樣，在小學(xué)時(shí)，我們學(xué)過(guò)的數(shù)，，按計(jì)數(shù)單位，就分為兩類，一是自然數(shù)，二是分?jǐn)?shù)。

在上面，自然數(shù)的四則運(yùn)算中，加法和乘法（加法的升級(jí)版），都沒(méi)有任何限制，除法也只限制了0不能做分母（除數(shù)），卻在減法中，加了限制，必須是“大-小”或“自已-自己”。

如果，“小-大”怎么辦？

這個(gè)問(wèn)題，就留到了初一來(lái)解決。怎么來(lái)解決？引入“負(fù)數(shù)”。

在這，也能看出，減法的一大功能是“比較數(shù)的大小”。即：兩數(shù)相減，

得時(shí)大于0（為正），是“大-小”；

得數(shù)等于0，是“自己-自己”，兩數(shù)一樣大；

得數(shù)小于0（為負(fù)），是“小減大”。

什么是負(fù)數(shù)呢？就是在自然數(shù)和分?jǐn)?shù)前面，加了一個(gè)“負(fù)號(hào)”的數(shù)。但是，我們?cè)谛W(xué)還遇到過(guò)不是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)，有“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”和“π”。

“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”是根據(jù)小數(shù)的形式，“構(gòu)造”出來(lái)的數(shù)，用自然數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，是得不出“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”的，是一種“構(gòu)造數(shù)”。

“π”稱為圓周率，是一個(gè)圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值，是圖形中客觀存在的，一種“客觀數(shù)”。

這樣，為了準(zhǔn)確定義“負(fù)數(shù)”，建立這樣的命名規(guī)則：

大于0的數(shù)，稱為正數(shù)；小于0的數(shù)，稱為負(fù)數(shù)。

由這個(gè)規(guī)則可知：負(fù)數(shù)，是根據(jù)數(shù)的大小，來(lái)分類的。

現(xiàn)在，把自然數(shù)和由自然數(shù)運(yùn)算出的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為有理數(shù)。這個(gè)有理，就是有規(guī)律，什么規(guī)律？來(lái)自自然數(shù)和自然數(shù)的運(yùn)算。

由此，將有理數(shù)進(jìn)行分類，有兩種分類方式：

一是按大小分，分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。切記：0不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。（按大小分類，必然是三類，大于、等于、小于）

二是按形式分，分為整數(shù)（自然數(shù)加正負(fù)號(hào)）、分?jǐn)?shù)。（小數(shù)，是分?jǐn)?shù)便于比較大小的另一種形式）

兩種分類同時(shí)使用，又可分出更多的小類。

每一個(gè)共同種類的數(shù)，放在一起，就是“數(shù)集”（數(shù)的集合）。“集合”要到高一時(shí)正式學(xué)習(xí)，現(xiàn)在對(duì)集合的初步概念，可當(dāng)做“一種分類”或“一個(gè)范圍”。

集合的表現(xiàn)形式，有三種，分別對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)的“三種語(yǔ)言”：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言。

文字語(yǔ)言，是由語(yǔ)文文字而來(lái)，是最基本的語(yǔ)言。為了“簡(jiǎn)單化”、“直觀化”，數(shù)學(xué)創(chuàng)造了符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。

數(shù)集的純數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要到高一學(xué)習(xí)，現(xiàn)在使用的兩種是，文字+符號(hào)、文字+圖形。

集合的符號(hào)，用“{  }”（大括號(hào)）；集合的圖形，用“橢圓”。分別用文字說(shuō)明集合的名稱。

關(guān)于“三種語(yǔ)言”，我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中，要慢慢體會(huì)，細(xì)細(xì)口味，它們各自的作用和優(yōu)勢(shì)。

到此，我們把數(shù)的范圍，拓展到了有理數(shù)。其實(shí)，也就比小學(xué)的數(shù)，多了一個(gè)“-”。

既然有理數(shù)的拓展范圍，就是多了個(gè)“-”，那不是，只要把“-”的意義和作用搞明白，有理數(shù)、有理數(shù)的計(jì)算，不就全學(xué)會(huì)了嗎？

“-”的正式名稱，是“相反號(hào)”。在具體使用時(shí)，根據(jù)使用情況，使用相應(yīng)的具體名稱。如：

在正數(shù)前加個(gè)“-”，表示負(fù)數(shù)，此時(shí)，“-”是“負(fù)號(hào)”（表示與正數(shù)相反，正數(shù)的“+”號(hào)，根據(jù)“簡(jiǎn)單化”，省略不寫）。如：-5，表示“5的相反數(shù)”。

在兩數(shù)相減時(shí)，“-”是減號(hào)（與加號(hào)相反）。

所以，“負(fù)號(hào)”只能在表示“數(shù)”時(shí)，稱為“負(fù)號(hào)，不能在表示“量”時(shí)，稱為“負(fù)號(hào)”。如：-2千米，就為“反向2千米”；-5攝氏度，讀作零下五攝氏度。

“相反號(hào)”，在以后要接觸的物理、化學(xué)中，有著更廣泛的應(yīng)用。

三、  從數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)的大小比較，看“數(shù)形結(jié)合”

請(qǐng)做填空題：

數(shù)軸是（ ）。（要求只能填一個(gè)名詞）

數(shù)軸是（ ）。（要求填加了一個(gè)定語(yǔ)的一個(gè)名詞）

數(shù)軸是（ ）。（填完整的定義）

通過(guò)這個(gè)填空題，我們要學(xué)會(huì)，學(xué)習(xí)時(shí)抓核心元素的方法和習(xí)慣。

我們之所以讓“形”的“直線”與“數(shù)”中的“數(shù)字”對(duì)應(yīng)，是因?yàn)槎?B style="mso-bidi-font-weight: normal">具有共同的特征：

都具有“無(wú)限性”，直線沒(méi)有端點(diǎn)，數(shù)字沒(méi)有最大、也沒(méi)有最?。蝗我鈨牲c(diǎn)之間，都有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，兩數(shù)之間，不是有無(wú)限多個(gè)數(shù)。

軸數(shù)的核心，是用直線與數(shù)對(duì)應(yīng)，所謂的數(shù)軸三要素，重要的是正方向（即數(shù)軸的箭頭），一般水平數(shù)軸，右為正方向。原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度，可以任意規(guī)定，在畫草圖時(shí)，這二者都可以不畫。

利用“形”，我們可以把“數(shù)”進(jìn)行直觀化，使我們的理解過(guò)程、思考過(guò)程，變得“簡(jiǎn)單化”“直接化”。

用數(shù)軸可以很直觀地、很簡(jiǎn)單地判斷出，兩個(gè)數(shù)的大小。課本上說(shuō)“右邊的大”，多余老師要特別進(jìn)行糾正，應(yīng)該是“正方向一側(cè)的大”，因?yàn)閿?shù)的正方向，并不是只能向右。

相反數(shù)，是一個(gè)“相對(duì)詞”，相對(duì)詞，在使用時(shí)，必須說(shuō)明是相對(duì)與誰(shuí)而言。

比如：“男同學(xué)”就是一個(gè)“絕對(duì)詞”，但“兒子”就是一個(gè)“相對(duì)詞”，你可以說(shuō)“我是男的”，但你不能說(shuō)“你是兒子”，你得說(shuō)明你是誰(shuí)的兒子。

同樣，對(duì)于-5，你只能說(shuō)“5是-5的相反數(shù)”，而不能說(shuō)“相反數(shù)是5”。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“嚴(yán)謹(jǐn)性”和“完整性”。數(shù)學(xué)用語(yǔ)，不能像語(yǔ)文用語(yǔ)，不能產(chǎn)生“歧義”、“多義”。一句數(shù)學(xué)用語(yǔ)，只能產(chǎn)生唯一的意思，而且是完整的，不能有省略語(yǔ)。

相反數(shù)，從符號(hào)語(yǔ)言說(shuō)，就是只有正負(fù)號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；從圖形語(yǔ)言說(shuō)，數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)（0）對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)（數(shù)），是互為相反數(shù)。

在這里，更能體會(huì)到“-”是相反號(hào)的意義了。

絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做a的絕對(duì)值，記作|a|。

絕對(duì)值是“距離”，是“線段的長(zhǎng)度”，所以，絕對(duì)值是“形”的用語(yǔ)，而不是“數(shù)”的用語(yǔ)。絕對(duì)值號(hào)，是“形”的符號(hào)，是性質(zhì)符號(hào)，而不是運(yùn)算符號(hào)，求絕對(duì)值不是數(shù)的運(yùn)算。

由此可知：

絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)（大于等于0）；非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是自己；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)。

絕對(duì)值的拓展：

|a-b|，表示a、b兩點(diǎn)間的距離。其結(jié)果=“大-小”（“正向一側(cè)的點(diǎn)”-“反向一側(cè)的點(diǎn)”）。

數(shù)的大小比較，在前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)了：

一是“形”的方法，看數(shù)軸，正方向一側(cè)的數(shù)大。

二是“數(shù)”的方法，兩數(shù)相減，差大于0，則是“大-小”，差小于0，則是“小-大”。

四、  從有理數(shù)的四則運(yùn)算和乘方，看數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性和規(guī)則的通用性

在小學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)四則運(yùn)算，我們知道：

一是先乘除，后加減，括號(hào)絕對(duì)優(yōu)先。

二是加法和乘法都有交換律、結(jié)合律；乘法和加法混合有分配律。

三是除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

四是乘法的0很特別，0乘任何數(shù)還是0。

五是能簡(jiǎn)便運(yùn)算就簡(jiǎn)便運(yùn)算，簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的，一是消數(shù)，二是湊整。

這些規(guī)則，在現(xiàn)在仍然使用。

由于“除以一個(gè)數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，于是，除法被乘法統(tǒng)一了，看到除號(hào)，就看成分?jǐn)?shù)線。那么，乘除可以統(tǒng)一，加減能統(tǒng)一嗎？當(dāng)然能，用了“相反號(hào)”后，減號(hào)就可以當(dāng)成負(fù)號(hào)，這樣，減法就被加法統(tǒng)一了。看到“-”，全是負(fù)號(hào)。

這樣，有理數(shù)的四則運(yùn)算，就變成了加和乘兩種了

由于，有理數(shù)，就比小學(xué)多了一個(gè)“-”，所以，在有理數(shù)的計(jì)算時(shí)，處理“-”，就成了“優(yōu)先級(jí)”。

1、相乘時(shí)，先看0，有0得0；再看正負(fù)號(hào)，一個(gè)“-”反一次，再“-”，就正過(guò)來(lái)了，即“反反為正”（負(fù)負(fù)得正），擴(kuò)展后成為：正負(fù)號(hào)相乘，看負(fù)號(hào)，偶數(shù)個(gè)為正，奇數(shù)個(gè)為負(fù)。

2、相加時(shí)，能抵消的先抵消（互為相反數(shù)先抵消或正負(fù)數(shù)的整十整百等先抵消），再分類相加，正數(shù)相加得到一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)相加得到一個(gè)負(fù)數(shù)，最后，如是兩個(gè)異號(hào)相加，大-小為正，小-大為負(fù)。

在小學(xué)時(shí)，我們已知道：乘法是加法的升級(jí)版，即乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的運(yùn)算。所以，加法是一級(jí)運(yùn)算，乘法是二級(jí)運(yùn)算。

現(xiàn)在，把乘法再來(lái)一個(gè)升級(jí)版。求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，命名為乘方。乘方是三級(jí)運(yùn)算，即計(jì)算時(shí)，先乘方，再乘除，最后加減。

而乘方的符號(hào)確定方法，與乘法符號(hào)確定方法一樣。

所以，有理數(shù)的運(yùn)算，處理好符號(hào)，余下的就是小學(xué)數(shù)學(xué)了。

五、從科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字，看小數(shù)形式的優(yōu)點(diǎn)

前面，在說(shuō)有理數(shù)時(shí)，已經(jīng)說(shuō)過(guò)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，可分?jǐn)?shù)的大小不便于直接比較，于是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)形式，就可以直接比較大小了。

而且，運(yùn)用乘方，也能將整數(shù)改寫成小數(shù)形式。這就是科學(xué)計(jì)數(shù)法。

科學(xué)計(jì)數(shù)法，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)，都統(tǒng)一成了小數(shù)形式。

為什么要變成小數(shù)形式呢？

一是小數(shù)形式便于直接比較數(shù)的大小。

二是對(duì)于數(shù)位較多、且無(wú)效數(shù)字也多的數(shù)，用科學(xué)計(jì)數(shù)法，書寫“簡(jiǎn)單化”。

由于，現(xiàn)階段，所學(xué)乘方的指數(shù)，只是正整數(shù)，所以還只能用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示大于10的數(shù)。等以后，指數(shù)拓展到所有整數(shù)時(shí)，就可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示所有的有理數(shù)了。

有效數(shù)字，就是從個(gè)位開始，把連續(xù)用于補(bǔ)充數(shù)位的0去掉。如：

0．00302，前面的0．00去掉，有效數(shù)字是3、0、2，共三個(gè)有效數(shù)字。

保留幾個(gè)有效數(shù)字、精確到某個(gè)數(shù)位，都是取近似數(shù)時(shí)，表示精確程度的。

而取近似數(shù)的方法，還是小學(xué)那一套，“四舍五入”或“進(jìn)一”。

總之，有理數(shù)這一單元，比小學(xué)多的就是，“-”、乘方、科學(xué)計(jì)數(shù)法。其余的，還是按小學(xué)的規(guī)則來(lái)。這就是數(shù)學(xué)規(guī)則的“簡(jiǎn)潔性”和“通用性”（或叫“統(tǒng)一性”）。

所以，初一的內(nèi)容真的很簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是：從小學(xué)生到中學(xué)生，轉(zhuǎn)變的是學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，提升的是思維水平。