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歷年中考數(shù)學(xué)“例析一次函數(shù)開(kāi)放型問(wèn)題”
在解有關(guān)一次函數(shù)的開(kāi)放型題時(shí)，要充分利用一次函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)，同時(shí)還要選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，并注意分類討論等方法的使用。下面以中考試題為例，歸類介紹有關(guān)的開(kāi)放型問(wèn)題，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。 1. 條件開(kāi)放類（根據(jù)一次函數(shù)增減性補(bǔ)充條件） 例1. 已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_______________________，使y隨x的增大而減小。 解析：根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)有：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。此題要使“y隨x的增大而減小”，因此k<0。所以k為任意負(fù)數(shù)時(shí)均能滿足題意，例如可填 點(diǎn)評(píng)：這是一道補(bǔ)充條件的開(kāi)放型題，類似的問(wèn)題還有“已知關(guān)于x的一次函數(shù) 2. 結(jié)論開(kāi)放類（根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解析式） 例2. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則一次函數(shù)的解析式可以為__________（填一個(gè)即可）。 解析：畫(huà)出滿足條件的函數(shù)圖象，利用圖象的性質(zhì)找出函數(shù)解析式。 根據(jù)已知條件可畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，如圖1所示。
圖1 設(shè)一次函數(shù)的解析式為 點(diǎn)評(píng)：此題中，一次函數(shù)解析式是不唯一的，只要根據(jù)條件分別賦予k、b一個(gè)值，就可以確定出一個(gè)一次函數(shù)。 3. 條件、結(jié)論全開(kāi)放類（根據(jù)一次函數(shù)圖象編題） 例3. 觀察函數(shù)圖象（如圖2所示），根據(jù)所獲得的信息解答問(wèn)題。 （1）若折線OAB表示某個(gè)函數(shù)的圖象，請(qǐng)你編寫(xiě)一種符合圖象意義的實(shí)際情景。 （2）根據(jù)你所給出的實(shí)際情景，分別指出x軸、y軸所表示的意義，并寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 （3）求出線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系的解析式，并注明x的取值范圍。
圖2 解析：本題條件、結(jié)論均開(kāi)放?，F(xiàn)舉兩例： 1. （1）一容器深8m，往里注滿水用去5min，接著打開(kāi)底部的排水管放完全部的水，用去10min。 （2）x軸表示時(shí)間（單位：min），y軸表示容器里面水面的高（單位：m），A（5，8），B（15，0）。 （3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（5，8），B（15，0）代入，解得 2. （1）小冬從家跑步到離家800m的學(xué)校，用了5min；接著步行回家，用了10min。 （2）x軸表示時(shí)間（單位：min），y軸表示小冬離家的距離（單位：m），A（5，800），B（15，0）。 （3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（5，800），B（15，0）代入，解得 點(diǎn)評(píng)：此題要求先依據(jù)函數(shù)圖象編寫(xiě)符合圖象意義的實(shí)際情景，再解決與其有關(guān)的問(wèn)題。這種提出問(wèn)題的方式具有一定的開(kāi)放性，可謂條件、結(jié)論全開(kāi)放。此題既體現(xiàn)了新課標(biāo)中“能舉出函數(shù)的實(shí)例”的要求，又靈活考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。 ——關(guān)于《與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題》 “拋磚引玉”為拋出磚去，引回玉來(lái)。比喻用自己不成熟的意見(jiàn)或作品引出別人更好的意見(jiàn)或好作品。本人認(rèn)為在教學(xué)中“拋磚引玉”，是一種教學(xué)手段，“拋磚”作為對(duì)解決問(wèn)題的鋪墊與引入, “引玉”是一節(jié)課的中心亮點(diǎn)。在教學(xué)中，相信如果充分有效地利用這一教學(xué)策略，相信課堂效果會(huì)比較好。 《一次函數(shù)》是北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材第十五章的內(nèi)容。本章的教學(xué)在初中的教學(xué)體系中有其重要的地位，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，又是綜合知識(shí)的一個(gè)載體，同樣也是初三《二次函數(shù)》學(xué)習(xí)的一個(gè)鋪墊。本節(jié)課我所講的內(nèi)容是《與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題》，教學(xué)目標(biāo)是：掌握求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸形成的圖形面積基本方法；以及坐標(biāo)系中點(diǎn)與線段之間的轉(zhuǎn)化。通過(guò)問(wèn)題的解決培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)問(wèn)題的解決，感受知識(shí)之間的普遍聯(lián)系。 拋磚 拋磚一： 師：通過(guò)多媒體展示習(xí)題。 1、求一次函數(shù)解析式及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 (1)已知一次函數(shù)y=kx-3的圖像過(guò)點(diǎn)（2，－1）， ①則k__________ ②與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A____________、B____________， ③直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是______________。 師問(wèn)：有哪位同學(xué)解答這個(gè)問(wèn)題？ 生A：k=1 師問(wèn)：你是怎樣解答的？ 生A：因?yàn)?/span>一次函數(shù)y=kx-3的圖像過(guò)點(diǎn)（2，－1），所以點(diǎn)（2，－1）滿足解析式，將其代入構(gòu)造成關(guān)于k的一元一次方程，求得k=1。 師：很好!那你能解決后面的兩個(gè)問(wèn)題嗎？ 生A：可以，與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(3,0)、B（0，-3），求與x軸的交點(diǎn)，首先設(shè)y=0，求得x=3，與y軸交點(diǎn)，設(shè)x=0，求得y=-3。所以寫(xiě)成坐標(biāo)的形式為A(3,0)、B（0，-3）；第三問(wèn)中的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積實(shí)質(zhì)是上問(wèn)中所求的直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、B和原點(diǎn)O組成的三角形ABC，由三角形的面積公式得出面積為4.5。 師：很好，作為老師沒(méi)什么送給你的，就給你點(diǎn)掌聲吧?。ㄒ?yàn)檫@個(gè)學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)較差，能有如此表現(xiàn)，我很高興） 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決，班級(jí)的大部分學(xué)生解決起來(lái)沒(méi)有難度，在這里設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是讓學(xué)生熟悉解決問(wèn)題的基本方法，再一個(gè)是讓學(xué)生體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系：方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，一次函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的變量關(guān)系，當(dāng)函數(shù)中的一個(gè)變量確定時(shí)，就可以用方程確定另外一個(gè)值。 拋磚二： 師：通過(guò)多媒體展示習(xí)題。 2、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題 (2)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出一次函數(shù)y1=-x+1與y2=2x-5的圖象， 并根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題： ①寫(xiě)出直線y1=-x+1與y2=2x-5的交點(diǎn)P的坐標(biāo)． ②求兩直線與x軸圍成的三角形的面積 因?yàn)楸绢}的做題思想與上題的思想比較類似，加上再已有認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上學(xué)生解決起來(lái)不是很困難。所以我直接拿了一個(gè)在巡視過(guò)程中有點(diǎn)問(wèn)題的同學(xué)的學(xué)案，在投影儀上進(jìn)行展示，并更正錯(cuò)誤。這樣做的目的是讓全體學(xué)生體會(huì)書(shū)寫(xiě)過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，再一個(gè)就是讓他們規(guī)范書(shū)寫(xiě)，養(yǎng)成一個(gè)良好的解題習(xí)慣。 另外本題的核心目的是讓同學(xué)們體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程組之間的聯(lián)系。 拋磚三： 3、距離與坐標(biāo)的互化問(wèn)題 (3)已知：點(diǎn)A在x軸上且到原點(diǎn)距離是3，則點(diǎn)A坐標(biāo)________。 (4)已知：點(diǎn)A（0,3），點(diǎn)B（-4,0）， ①計(jì)算AB＝_____ ②若點(diǎn)C在y軸上，△ABC是以AB為腰的等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)_______。 對(duì)于本題，學(xué)生很容易能解決，但對(duì)于這個(gè)題的設(shè)計(jì)我很清楚，學(xué)生雖然可以解決，但是能否形成方法是我本節(jié)課所要答到的目標(biāo)。在這里主要是體現(xiàn)出平面直角坐標(biāo)系與幾何圖形的綜合，通過(guò)學(xué)生的回答結(jié)合我的引導(dǎo)，讓他們充分的體會(huì)到勾股定理是在坐標(biāo)系中求線段長(zhǎng)的基本工具，并且對(duì)于等腰三角形的形成過(guò)程我們可以從利用作圓的思想進(jìn)行解決。 對(duì)于以上三個(gè)問(wèn)題：即求一次函數(shù)解析式及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題、距離與坐標(biāo)的互化問(wèn)題就是我本節(jié)課給同學(xué)們拋的“磚”，就是想在這幾個(gè)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)之上進(jìn)一步研究有關(guān)的綜合性問(wèn)題，從而答到拋磚引玉的效果。從以上幾個(gè)問(wèn)題的解決來(lái)看，同學(xué)們表現(xiàn)的很精彩，我想我要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)已經(jīng)完成了一半，就看后面的問(wèn)題解決了。在以往同學(xué)們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這種情況，即使把問(wèn)題的解決方法教給他們，但是在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)很難把學(xué)過(guò)的方法應(yīng)用到問(wèn)題的解決當(dāng)中。這也是我很擔(dān)心的地方，他們還是像以往一樣嗎？我只能期望著會(huì)好一點(diǎn)。 引玉 引玉一： 例1、已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上， △ABO的面積是3 （1） 求B點(diǎn)坐標(biāo) （2） 求直線AB的解析式及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)。 （3） 點(diǎn)A作直線AN交坐標(biāo)軸于N，且使AN=OA，求N點(diǎn)坐標(biāo)及△ABN的面積 師問(wèn)：哪位同學(xué)可以解答第一問(wèn)？ 生B：這個(gè)問(wèn)題和我們前面解決的問(wèn)題比較類似，首先從△ABO的面積是3出發(fā)，由題意可知，可以先求出線段OB的長(zhǎng)，這樣把線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系中的點(diǎn)。所以S=1/2*3*OB，所以O(shè)B=2，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）。 師：很好，請(qǐng)坐。剛才生B對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決很好，說(shuō)明我們?cè)谇懊孀龅匿亯|已經(jīng)有了很好的理解。那在學(xué)生B解決問(wèn)題得基礎(chǔ)上，哪位同學(xué)可以解答第二個(gè)問(wèn)題？ 生 C：求直線AB的解析式我們需要直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，A（2，3）B（-2，0）。這樣利用待定系數(shù)法求的直線的解析式為y=3/4x+3/2，點(diǎn)C是直線與y軸的交點(diǎn)，所以令x=0，得出y=3/2，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3/2）。 師：好，非常好，請(qǐng)坐?，F(xiàn)在哪位同學(xué)可以解決第三問(wèn)呢？（無(wú)聲，持續(xù)10多秒鐘）看來(lái)同學(xué)們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決有點(diǎn)難度，我們大家不要泄氣，想一想我們?cè)谇懊娴膯?wèn)題解決當(dāng)中是用什么樣的方法。大家也可以小組商量一下。（在同學(xué)們的討論中，我也在不斷地巡視著，看著他們解決問(wèn)題的方法，心中有成功的喜悅，但同時(shí)也有一種失落感，還有一部分同學(xué)解決不了這個(gè)問(wèn)題。這也正常，每個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)能力不同，基礎(chǔ)不一樣，形成的結(jié)果肯定也是不一樣的，這可能也是我們老師一直想突破的難題，讓每個(gè)同學(xué)都把知識(shí)學(xué)會(huì)。我想我只能做到讓每個(gè)同學(xué)學(xué)有所得。）在生D的解答下，我們很順利的解決了這個(gè)問(wèn)題。到這里我很高興，從同學(xué)們的表現(xiàn)來(lái)看我這節(jié)課的設(shè)計(jì)似乎很完美，把上面的“磚”理解的比較透徹。雖然這塊“玉”有一點(diǎn)瑕疵，但是我的心里也是熱乎乎的。
引玉二： 例2、如圖，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，另一條直線經(jīng)過(guò) 點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).（1）求直線的解析式；（2）若△APB 的面積為3，求的值.（3）若直線l2與軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,0），在直 線l1上是否存在一點(diǎn)C,使得若存在，求出點(diǎn)C坐標(biāo)， 不存在，說(shuō)明理由。 對(duì)于這塊玉的雕飾真是費(fèi)了很大的勁，特別是在第三問(wèn)中，很多同學(xué)不能看出這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)性的東西在哪，找不到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，沒(méi)有答到我拋給他們的“磚”的目的，所以我感覺(jué)到這塊“玉”的雕飾真的不完美，我又想，世上有完美的“玉”嗎？換句話說(shuō)，作為教師把知識(shí)教給學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都會(huì)，我們能夠答到這個(gè)理想的狀態(tài)嗎？很顯然這是不可能的。所以說(shuō)“拋磚”一定能“引玉”嗎？我想我不敢肯定的去答這個(gè)問(wèn)題，但針對(duì)我這節(jié)課而言，我想我的“拋磚引玉”這個(gè)教學(xué)策略實(shí)施的不是完美，與我之前所想的有很大的差距，這也是作為教師的我應(yīng)該著重思考的問(wèn)題。 教師的教學(xué)方式要適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，應(yīng)更多地從學(xué)生的角度來(lái)思考“教什么”和“怎樣教”。充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。對(duì)于這節(jié)課，雖然結(jié)果不是讓我很滿意，但對(duì)于我來(lái)說(shuō)也是一種收獲，一種啟發(fā)。我采用從“拋磚”到“引玉”這種教學(xué)手段是否適合學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，還需要一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間地摸索與驗(yàn)證。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，怎樣使他們學(xué)而所獲，又學(xué)而所樂(lè)呢？我想就是讓他們知道自己，了解自己，體會(huì)學(xué)習(xí)過(guò)程給自己帶來(lái)的快樂(lè)。給自己一個(gè)展示個(gè)性、享受成功的機(jī)會(huì)。學(xué)生的學(xué)習(xí)很可能存在困難，降低自己學(xué)習(xí)的自信心，這就需要教師適時(shí)鼓勵(lì)，及時(shí)在方法上進(jìn)行引導(dǎo)和指導(dǎo)，既要“拋磚”還要“引玉”，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)思想，掌握方法，享受到成功的喜悅。
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