梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因?yàn)槿呤侨N偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號(hào)分別記作如下：

從符號(hào)中可以獲得這樣的信息：

①求梯度是針對(duì)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個(gè)矢量函數(shù)。這里φ稱為勢(shì)函數(shù)；

②求散度則是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；

③求旋度是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的還是一個(gè)矢量函數(shù)。

這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動(dòng)方程具有如下的形式

                               (1)

其中a為一實(shí)數(shù)，于是可以設(shè)想，對(duì)于一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)說(shuō)，要求得它的波動(dòng)方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計(jì)算式：

                         (2)

                          (3)

                           (4)

旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場(chǎng)理論，來(lái)討論前面幾個(gè)“X度的X度”。

I.梯度的散度：

根據(jù)麥克斯韋方程有：

而

                                  (5)

則電勢(shì)的梯度的散度為

這是一個(gè)三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作

                                 (6)

稱為泊松方程，而算符▽2稱為拉普拉斯算符。事實(shí)上因?yàn)槎x

所以有

當(dāng)然，這只是一種記憶方式。

當(dāng)空間內(nèi)無(wú)電荷分布時(shí)，即ρ=0，則稱為拉普拉斯方程

當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時(shí)，比如電荷均勻分布的無(wú)限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場(chǎng)，我們知道該電場(chǎng)只有一個(gè)指向，場(chǎng)強(qiáng)處處相等，于是該電場(chǎng)滿足一維拉普拉斯方程，即

這就是說(shuō)如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點(diǎn)處的電壓與該點(diǎn)距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。

II.散度的梯度：

散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會(huì)比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因?yàn)閺柠溈怂鬼f方程可以看出空間某點(diǎn)處電場(chǎng)的散度是該點(diǎn)處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說(shuō)清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個(gè)濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)散電流。

散度的梯度這個(gè)概念其實(shí)不常用，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜，但在后面講用它來(lái)推導(dǎo)一個(gè)矢量恒等式。

III.梯度的旋度：

對(duì)于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有

由于勢(shì)函數(shù)在空間一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說(shuō)梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。

比如一個(gè)人從海平面爬到一座山上，無(wú)論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對(duì)他所做的功總是相等的，即力場(chǎng)的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)，這樣的場(chǎng)稱為保守場(chǎng)，而保守場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。再比如繪有等高線的地圖，如果某點(diǎn)只有一個(gè)一根等高線穿過(guò)，那么該點(diǎn)有一個(gè)確定的相對(duì)高度。如果該點(diǎn)有兩條或以上的等高線穿過(guò)，則這個(gè)點(diǎn)處在懸崖邊上，這個(gè)點(diǎn)處是不可微，也就沒(méi)有求梯度的意義。

IV.旋度的散度：

求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令

                            (7)

則

從而

將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說(shuō)旋度的散度為零，這就意味著一個(gè)散度場(chǎng)任意疊加上一個(gè)有旋場(chǎng)不會(huì)改變其散度，也就是說(shuō)光憑矢量場(chǎng)的散度無(wú)法唯一地確定這個(gè)矢量場(chǎng)。而光憑矢量場(chǎng)的旋度也無(wú)法唯一地確定這個(gè)矢量，這是因?yàn)橛行龍?chǎng)可以疊加上這么一個(gè)矢量場(chǎng)而不改變其旋度，而這個(gè)矢量場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。

V.旋度的旋度：

旋度的旋度將是本文的重點(diǎn)。若所研究的空間范圍內(nèi)是無(wú)源的，即ρ=0，J=0，則根據(jù)麥克斯韋方程有：

                                (8)

                             (9)

                                   (10)

                               (11)

對(duì)(9)式兩端取旋度

                          (12)

再將(8)式代入(12)式有

                             (13)

看到這里容易讓人想到式(1)，前面說(shuō)式(1)的方程為一維波動(dòng)方程，那么跟(13)式有什么聯(lián)系呢？棘手的問(wèn)題是算旋度已經(jīng)夠復(fù)雜了，算旋度的旋度豈不是更費(fèi)周折？幸好有矢量恒等式可以利用來(lái)幫助簡(jiǎn)化計(jì)算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：

                          (14)

這里拉普拉斯算子作用于一個(gè)矢量函數(shù)時(shí)，意義變得不明確了，它和前面的幾個(gè)“X度的X度”都不一樣，實(shí)際上它有這樣的定義：

                        (15)

為了驗(yàn)證式(14)還是要對(duì)計(jì)算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令

則

于是

               (16)

而令

             (17)

兩式相減有

               (18)

類似地有

由于所關(guān)心的空間內(nèi)是無(wú)源的，所以式(13)變成

                             (19)

這個(gè)方程很重要，稱為三維波動(dòng)方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開(kāi)后比較復(fù)雜，實(shí)際上我們無(wú)法繪制出一個(gè)向四面八方傳播的波的振動(dòng)圖像，但好在可以畫(huà)出一維和二維的波，從而了解波的性質(zhì)。有些事物我們無(wú)法在現(xiàn)實(shí)世界中呈現(xiàn)，或繪制出圖形，但是數(shù)學(xué)上卻可以計(jì)算且有確切的物理意義，比如高于三維的空間，不得不感嘆數(shù)學(xué)的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。

VI.幾個(gè)矢量恒等式：

前面已經(jīng)介紹了一個(gè)矢量恒等式，還有其他幾個(gè)重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場(chǎng)合可以把▽當(dāng)做一個(gè)普通的矢量來(lái)處理，但并不總是正確的，這一點(diǎn)需要引起注意。

①

②

這里“×”乘的優(yōu)先級(jí)高于“·”乘對(duì)于普通三個(gè)不共面的矢量A、B、C則有A·B×C=C·A×B=B·C×A。得到的結(jié)果是令三個(gè)矢量共起點(diǎn)，以三個(gè)矢量的模為棱構(gòu)成的六面體的體積或它的負(fù)值。但是對(duì)于▽算子，則一般

但是一般有

實(shí)際上上面的矢量恒等式就是上式的擴(kuò)展

上兩式相減有

記憶上式的方法是記住下標(biāo)的順序是xyz，yzx和zxy。

③

這個(gè)等式相對(duì)容易證明，但前提是要在直角坐標(biāo)下。