用《幾何畫板》探索冪函數(shù)圖象的教學(xué)案例與研究

                                                                                          安徽省銅陵市第三中學(xué) 柏永紅

一， 教材分析

冪函數(shù)這節(jié)內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)教材中可以說是幾起幾落，由于它的圖象多樣性和復(fù)雜性（圖象有11種），在“減負”的呼聲中幾次被刪除。隨著網(wǎng)絡(luò)計算機的發(fā)展，一些先進的數(shù)學(xué)軟件不斷涌現(xiàn)，利用信息技術(shù)探索冪函數(shù)的圖象成為方便與可能，這也符合新課程倡導(dǎo)的將課程與信息技術(shù)整合的理念。

二， 設(shè)計意圖

《幾何畫板》軟件是一款優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，它具有實時動態(tài)的功能，作圖方便、快捷。該軟件能提供給學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的良好的實驗環(huán)境。冪函數(shù)y=xⁿ(n∈Q)的圖象由n值的不同而不同。讓學(xué)生自已設(shè)定n值來探索圖象規(guī)律, 能培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、總結(jié)規(guī)律的能力。本節(jié)課的設(shè)計，旨在遵循新課程理念，實現(xiàn)課程與網(wǎng)絡(luò)的有效整合。經(jīng)過探索，學(xué)生的自主性得到充分體現(xiàn)，必將引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，而教師也成為“真正的行動研究者”。

三， 學(xué)情分析

教學(xué)實驗是在微機室進行的，一人一臺電腦，班級是我校高一（九）班，該班學(xué)生整體水平屬中等。在知識內(nèi)容上，高一學(xué)生已學(xué)過函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)。為使學(xué)生較方便地運用軟件，之前先花費兩三課時講解有關(guān)軟件應(yīng)用知識，針對軟件中作函數(shù)圖象的功能，只需鍵入函數(shù)表達式立刻得到函數(shù)圖象，學(xué)生掌握也很快。

四， 教學(xué)設(shè)計及過程

共兩課時，第一課時有以下幾個環(huán)節(jié).

1.冪函數(shù)概念講解. 函數(shù)y=xⁿ,n 是有理數(shù)，叫冪函數(shù)

2.提出問題引導(dǎo)探索 冪指數(shù)n可取哪些數(shù)呢？學(xué)生回答：整數(shù)、分數(shù)。之后，要求學(xué)生在計算機上任意選取指數(shù)值，畫出圖象并適當記錄下來，歸納出圖象形狀共有多少種不同類型。

3.學(xué)生探索 本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的主要程序，學(xué)生各自鍵入自已設(shè)定的值，一時間每位學(xué)生的電腦上都顯現(xiàn)出五花八門的圖象。為了使學(xué)生有充足的時間思考，因此多給學(xué)生一些時間，約30分鐘。教師盡量不指導(dǎo)學(xué)生分類方法，讓他們自已探索或相互交流，在不斷反思中調(diào)整自已的數(shù)學(xué)實驗，得到自已所需要的。教師巡視，只給予個別學(xué)生軟件應(yīng)用方面的指導(dǎo)。

4.交流研討 有了自已的探索經(jīng)歷，學(xué)生興趣昂然，互相探討更加強烈，各抒已見。經(jīng)過交流，不少學(xué)生核實了自己的成果，都有一定的成就感，也能及時地發(fā)現(xiàn)自己的不足，并能及時修正再實踐，約10分鐘。

5.歸納總結(jié). 讓學(xué)生適當記錄探索結(jié)果，圖象的各種類型，課后寫出總結(jié)報告及心得體會。

第二課時，根據(jù)學(xué)生的實驗報告，針對一些典型問題進行師生共研，最后歸納出圖象種類和圖象性質(zhì)。

五．個案研究

個案1. 周同學(xué)的探究報告

我決定先分n是正負整數(shù)來探討

（1） n為正整數(shù)時，取n=1、2、3、4得出以下四個圖象

n=1 n=2 n=3 n=4

發(fā)現(xiàn)y=x²與y=x⁴圖象相似。而y=x與y=x³不同,是否n為奇數(shù)時沒有規(guī)律呢？我又鍵入y=x⁵圖象，發(fā)現(xiàn)與y=x³相近，可見，y=x是一個特殊的類型，其余n為奇數(shù)時，圖象相近，n為偶數(shù)時也相近。

（2） n為負整數(shù)時,取n=-1、-2、-3、-4得出以下圖象

n=-1 n=-2 n=-3 n=-4

很明顯n取-1、-3時圖象類似,n取-2、-4時圖象類似。圖象的形狀與n的奇偶性密切相關(guān)。結(jié)合n為正數(shù)的情況,我猜想當n為奇數(shù)時圖象在一、三象限，n為偶數(shù)時圖象在一、二象限。再畫幾個圖象,果然驗證了我的猜想是正確的。并且第一象限圖象過點（1，1）,第二象限圖象過點（-1，1）。

（3） n為正分數(shù)時,取n=0.1、0.2、0.3、0.4得出如下圖象

n=0.1 n=0.2 n=0.3 n=0.4

發(fā)現(xiàn):n為正奇數(shù)時只有一條曲線，分布在第一象限，而n為正偶分數(shù)（注：該同學(xué)對此概念說法有誤）時有兩條曲線

（4） n當為負分數(shù)時,取n=-0.1、-0.2、-0.3、-0.4得出如下圖象

n=-0.1 n=-0.2 n=-0.3 n=-0.4

發(fā)現(xiàn)n取負奇分數(shù)時圖象相同，在第一象限。n取負偶分數(shù)時圖象相同在一三象限。我忽然想起還有n=0的情況。鍵入n=0，圖象是一條直線。

總結(jié)：冪函數(shù)圖象共有10種不同形狀的圖象。

評析：周同學(xué)的實驗過程基本上探索了冪函數(shù)的圖象類型，有猜想、有驗證，但分類不夠清晰、全面，出現(xiàn)正、負奇偶分數(shù)這樣的錯誤概念。在n取分數(shù)時不具有一般性，致使討論不完整。在取n=0.1、0.3即 時圖象只出現(xiàn)在第一象限，該同學(xué)歸納出了類型卻沒有進一步研究其原因何在？喪失了一次探究冪函數(shù)圖象與定義域相關(guān)連的良好機會。這也是教師需要點撥和引導(dǎo)的地方所在。

個案2. 齊同學(xué)的探究報告

首先討論n為整數(shù)的情況

當n=2時,圖①, n=3時圖②, n=-2時圖③, n=-3時圖④

① ② ③ ④

觀察比較后,猜想n為偶數(shù)時圖象關(guān)于y軸對稱（在第一二象限）。n為奇數(shù)時圖象 在一三象限,關(guān)于原點對稱。我又畫了n=±4,±5的圖象,猜想得到驗證。

其次，討論n為分數(shù)的情況

設(shè) (a>0,b>0) ，當 時圖⑤, 時圖⑥, 時圖⑦, 時圖⑧ ， 時圖⑨, 時圖⑩

           ⑤                       ⑥                    ⑦                      ⑧

                 ⑨                            ⑩

初看圖⑤、⑥時發(fā)現(xiàn)很奇怪，為什么它們的圖象只在第一象限，并且彎曲的模樣還不一樣呢？仔細研究發(fā)現(xiàn)圖⑤中冪函數(shù)式為 圖⑥中冪函數(shù)式為 兩式中x不能取負數(shù)！所以圖象只是在第一象限。而a<b時圖象與a>b時圖象上升的快慢不一樣，也就是彎曲的形狀不一樣了。

對于圖⑦⑧⑨⑩,猜想是因為a、b取奇偶數(shù)有關(guān)，也與a、b的大小有關(guān)。

再設(shè) (a>0,b>0) 取 圖⑾ , 圖⑿ 圖⒀,等等。

              ⑾                        ⑿                       ⒀

從a、b的大小與奇偶性兩方面來研究。發(fā)現(xiàn)a、b的大小對圖象影響不大。只是a、b取奇偶數(shù)對圖象的形狀起到主導(dǎo)作用。

最后，還有一些特殊值 n=1,0,-1，得圖⒁,⒂,⒃

⒁                    ⒂                    ⒃

綜上，研究冪函數(shù)應(yīng)從兩方面著手，一是指數(shù)大小（包括正負情況）二是指數(shù)奇偶性。概括前面的研究，共有圖①、②、③、④、⑤、⑥、⑧、⑩、⑾、⒁、⒂、⒃12種不同類型的圖象。

評析：該同學(xué)先大致地對指數(shù)n進行了分類，再從圖象的不同類型找到了指數(shù)n的分類方法，指出二點：一是以n值大小，二是以n值是奇偶數(shù)的情況。整個探索在歸納圖象類型的同時闡述了冪函數(shù)圖象性質(zhì)，并能從這些特性反過來指導(dǎo)圖象分類。思維嚴謹、有序，且探索思考細致。如對 與 作了進一步研究，得到定義域?qū)D象的影響的一項結(jié)論，而其它情況均具有圖象對稱性（從而聯(lián)系了奇偶函數(shù)圖象對稱性的知識）。美中不足的是，把n=-1當作特殊值。其實，n=-1與一開始取n=-3時圖象類似，也許是初中學(xué)過反比例函數(shù) ,造成思維定勢的原故。在研究a>b或a<b的圖象上翹、下翹時沒能把a=b（即n=1）及時地加入進行對比研究。當然,一節(jié)課的時間畢竟有限，能研究到如此程度已相當不易。

由此，冪函數(shù)共有11種不同類型的圖象，可歸納成拋物線型、雙曲線型和直線型，而 n的值可分為 ：n<0,n=0,0<n<1,n=1,n>1五個范圍來研究，先得出第一象限的圖象是上升（n>1 時上翹、0<n<1時下翹）還是下降，再根據(jù)對稱性得到其它象限的圖象。這些歸納總結(jié)還需要教師在第二節(jié)課時加以引導(dǎo)，這樣才能使學(xué)生思維得以升華。

六．教學(xué)反思

1．一點思考

（1）探索實驗?zāi)芊从硨W(xué)生認識問題的角度和程度

有同學(xué)對冪函數(shù)圖象的形狀比較關(guān)注，得出只有n=0和n=1時是直線，而其余均為曲線的結(jié)論；有同學(xué)對圖象所在象限比較關(guān)注，分析得出只在第一、二、三象限；少數(shù)同學(xué)對第四象限為什么沒有圖象作了進一步探究，意識到一個正數(shù)的任意次方永遠為正的道理，等等?？芍^百花齊放，百家爭鳴，就連平時成績很差的同學(xué)，在實驗報告里也有一定的分析成果，對提高自己的自信心有極大的幫助。教師掌握了學(xué)生們的認識情況之后，就能更好地教，必然會產(chǎn)生良好的效果。

（2）探索實驗?zāi)芴岣邔W(xué)生分析、歸納、鑒別能力

經(jīng)過猜想、驗證，每位學(xué)生都在檢測了自己的判斷分析能力，經(jīng)過交流研討，每位學(xué)生又從其它同學(xué)處學(xué)到了相關(guān)知識，發(fā)現(xiàn)了自己的不足，提醒了自己，激發(fā)了自己，更能提高自己，我想這也是新課程理念所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式吧！

2．來自學(xué)生的感受

周同學(xué)：我在第一次做這樣的探究時，感覺n值有很多情況，而在探究或在與同學(xué)交流中才逐漸補全。使我自己意識到我對參數(shù)分類不夠嚴謹，平時的學(xué)習(xí)不夠認真所致。經(jīng)過這次探究活動，檢查到我的弱項。我覺得多做這樣的探究可以使我的邏輯思維更嚴謹，而且對冪函數(shù)印象深刻，如果單純聽老師講解，聽起來可能苦澀難懂，而且容易遺忘。在實踐探討中不斷推測、假想、提問，然后隨著探究深入，得到驗證，發(fā)現(xiàn)了很多有趣的事實，受益很多。

陳同學(xué)：這次探究非常有意思，開拓了我的視野，拓展了我的思維，將知識感觀化，實現(xiàn)了自己探究數(shù)學(xué)的奧秘。充滿趣味性和挑戰(zhàn)性。剛開始時，無從下手，有的猜想是對的，有的猜想是錯的，這樣的實驗做多了，問題便迎刃而解，思路也活躍不少，加強了我的邏輯思維能力及總結(jié)歸納能力，科學(xué)不能靠主觀意斷行事，必需經(jīng)過實踐的檢驗才能下結(jié)論，希望老師多給我們上機實踐的機會。

胡同學(xué)：這種探索學(xué)習(xí)的方法非常好，我們可以自已思考、自已探索，提高了我們的探究能力?？梢愿鶕?jù)我們所思考的問題進行探究，激發(fā)我們的求知的欲望，俗話說“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。通過這種方法來學(xué)習(xí)，我們可以不“罔”也不“殆”了。

2009.9安徽省電化教育館、安徽省電化教育協(xié)會 二等獎