［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 掌握二次函數(shù)的概念，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，定義域。

    特別地，時(shí)，是二次函數(shù)特例。

  2. 能由實(shí)際問題確定函數(shù)解析式和自變量取值范圍，明確它有三個(gè)待定系數(shù)a，b，c，，需三個(gè)相等關(guān)系，才可解。

  3. 二次函數(shù)解析式有三種：

    （1）  一般式

    （2）  頂點(diǎn)式；  頂點(diǎn)

    （3）  雙根式；是圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)。

  4. 二次函數(shù)圖象：拋物線

    分布象限，可能在兩個(gè)象限（1），三個(gè)象限（2），四個(gè)象限（3）。

  5. 拋物線與拋物線形狀、大小相同，只有位置不同。

  6. 描點(diǎn)法畫拋物線了解開口、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值。

    （1）a決定開口：

    開口向上，開口向下。

    表示開口寬窄，越大開口越窄。

    （2）頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最值為。

    （3）對(duì)稱軸

    （4）與y軸交點(diǎn)（0，c），有且僅有一個(gè)

    （5）與x軸交點(diǎn)A（），B（），令則。

    ①△＞0，有，兩交點(diǎn)A、B。

    ②△＝0，有，一個(gè)交點(diǎn)。

    ③△＜0，沒有實(shí)數(shù)與x軸無交點(diǎn)。

  7. 配方可得

    向右（）或向左（）平移個(gè)單位，得到，再向上向下平移個(gè)單位，便得，即。

  8. 五點(diǎn)法作拋物線

    （1）找頂點(diǎn)，畫對(duì)稱軸。

    （2）找圖象上關(guān)于直線對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）。

    （3）把上述五個(gè)點(diǎn)連成光滑曲線。

  9. 掌握二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

    重點(diǎn)掌握二次函數(shù)定義、解析式、圖象及其性質(zhì)。

    難點(diǎn)是配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，只要堅(jiān)持配完后看看與原二次函數(shù)是否相等即可。

【典型例題】

  例1. 已知拋物線，五點(diǎn)法作圖。

    解：

    ∴此拋物線的頂點(diǎn)為

    ∴對(duì)稱軸為

    令，即解方程

    ∴拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0）

    令則，得拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，）

    又C（0，）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D

    將C、A、M、B、D五點(diǎn)連成光滑曲線，此即為拋物線的草圖。

  例2. 已知拋物線如圖，試確定：

    （1）及的符號(hào)；

    （2）與的符號(hào)。

    解：（1）由圖象知拋物線開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，過A（1，0）與y軸交于B（0，c），在x軸上方

    ∵拋物線與x軸有兩交點(diǎn)

    （2）∵拋物線過A（1，0）

  例3. 求二次函數(shù)解析式：

    （1）拋物線過（0，2），（1，1），（3，5）；

    （2）頂點(diǎn)M（-1，2），且過N（2，1）；

    （3）與x軸交于A（-1，0），B（2，0），并經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）。

    解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    由題意

    ∴所求二次函數(shù)為

    （2）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵頂點(diǎn)M（-1，2）

    ∵拋物線過點(diǎn)N（2，1）

    ∴所求解析式

    即

    （3）設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（2，0）

    ∵拋物線過M（1，2）

    ∴所求解析式

    即

  例4. 已知二次函數(shù)在時(shí)，y取最大值，且拋物線與直線相交，試寫出二次函數(shù)的解析式，并求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

    解：∵二次函數(shù)有最大值

    即

    ∴拋物線為

    由題意

    ∴拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是與

  例5. 已知函數(shù)，它的頂點(diǎn)為（-3，-2），與交于點(diǎn)（1，6），求的解析式。

    解：二次函數(shù)的解析式可化為：

    ∵已知頂點(diǎn)為，可得：

    又點(diǎn)（1，6）在拋物線上，得：

    由<1>、<2>、<3>可解得：

    又點(diǎn)（1，6）在直線上

  例6. 拋物線過（-1，-1）點(diǎn)，它的對(duì)稱軸是直線，且在x軸上截取長度為的線段，求解析式。

    解：∵對(duì)稱軸為，即

    ∴可設(shè)二次函數(shù)解析式為

    ∵在x軸上截取長度為

    ∴拋物線過與兩點(diǎn)

    又∵（-1，-1）在拋物線上

    由<1>、<2>解得：

    ∴解析式為

    即

【模擬試題】（答題時(shí)間：35分鐘）

一. 選擇題。

  1. 用配方法將化成的形式（    ）

    A.               B.

    C.                      D.

  2. 對(duì)于函數(shù)，下面說法正確的是（    ）

    A. 在定義域內(nèi)，y隨x增大而增大

    B. 在定義域內(nèi)，y隨x增大而減小

    C. 在內(nèi)，y隨x增大而增大

    D. 在內(nèi)，y隨x增大而增大

  3. 已知，那么的圖象（    ）

  4. 已知點(diǎn)（-1，3）（3，3）在拋物線上，則拋物線的對(duì)稱軸是（   ）

    A.           B.               C.               D.

  5. 一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象（    ）

  6. 函數(shù)的最大值為（    ）

    A.             B.           C.             D. 不存在

二. 填空題。

  7. 是二次函數(shù)，則____________。

  8. 拋物線的開口向____________，對(duì)稱軸是____________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________。

  9. 拋物線的頂點(diǎn)是（2，3），且過點(diǎn)（3，1），則___________，____________，____________。

  10. 函數(shù)圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位，再沿x軸向右平移3個(gè)單位，得到函數(shù)____________的圖象。

三. 解答題。

  12. 拋物線，m為非負(fù)整數(shù)，它的圖象與x軸交于A和B，A在原點(diǎn)左邊，B在原點(diǎn)右邊。

    （1）求這個(gè)拋物線解析式。

    （2）一次函數(shù)的圖象過A點(diǎn)與這個(gè)拋物線交于C，且，求一次函數(shù)解析式。

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. A            2. C        3. C        4. D        5. C        6. C

二. 填空題。

  7. 1

  8. 下；；

  9.

  10. 大，1

  11.

三. 解答題。

  12. （1）

    又∵m為非負(fù)整數(shù)

    ∴拋物線為

    （2）又A（-1，0），B（3，0）

    設(shè)C點(diǎn)縱坐標(biāo)為a

    當(dāng)時(shí)，方程無解

    當(dāng)時(shí)，方程

【勵(lì)志故事】

神奇的皮鞋

    多明尼奎·博登納夫，是法國一位年輕的企業(yè)家、藝術(shù)家。他所經(jīng)營的公司歷來就是發(fā)展美術(shù)業(yè)，但始終都是沒有看到興旺的一天。

    一天，他在徒步回家的路上，突然，感到腳下有什么絆了一下，低頭一看，原來是一只破舊皮鞋，他剛想抬起腳將它踢開，卻又發(fā)現(xiàn)這只鞋有幾分像一張皺紋滿布的人臉。一個(gè)藝術(shù)的靈感剎那間在他腦海里閃現(xiàn)，他如獲至寶，于是趕忙將破舊皮鞋拾起，迫不及待地跑回家，將其改頭換面，變成了一件有鼻有眼有表情的人像藝術(shù)品。

    以后，博登納夫又陸續(xù)撿回一些殘舊破皮鞋，經(jīng)過他那豐富的想象力和神奇的藝術(shù)之手再加工，一雙雙被遺忘的“廢物”先后變成奇妙諧趣的皮鞋臉譜藝術(shù)品。后來，博登納夫在巴黎開設(shè)了皮鞋人像藝術(shù)館，引起了轟動(dòng)，生意異常興隆。

    看來，在現(xiàn)實(shí)生活中，在許多人不屑一顧的小小事情里，往往都隱藏著成功的契機(jī)。當(dāng)然，要獲得成功，得靠用心發(fā)掘。博登納夫的這一成功，無疑就在于他比別人多了一個(gè)“藝術(shù)”心眼。