幾何：等腰三角形的判定定理及3個推論

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

    代數(shù)：會求及會用根號表示一個數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。

    幾何：理解等腰三角形的判定定理及3個推論。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)

［重點(diǎn)］

    代數(shù)：平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系。

    幾何：判定定理及3個推論的理解。

［難點(diǎn)］

    代數(shù)：開平方屬于一種新的運(yùn)算，并且負(fù)數(shù)不能進(jìn)行這種運(yùn)算。

    幾何：性質(zhì)與判定定理容易混淆。

三. 知識要點(diǎn)

    代數(shù)

  1. 新的運(yùn)算：開平方——求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算。

    互逆運(yùn)算

  2. 平方根

  3. 算術(shù)平方根

  4. 平方根與算術(shù)平方根的比較：

  5. 用計算器求平方根：

    幾何：

  1. 等腰三角形的判定定理：（等角對等邊）

    ——與等腰三角形的性質(zhì)定理互為逆定理（等邊對等角）

    ——作用：把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，常用來證明兩條線段相等。

  2. 三個推論：

    推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。

    推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

    ——作用：把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，用來判定等邊三角形。

    推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

    ——作用：把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可看作銳角等于30°的特殊直角三角形的性質(zhì)。

【典型例題】

  例1. 求值：，其中是4的算術(shù)平方根。

    分析：先化簡再求值，由是4的算術(shù)平方根，可知。

    解：

    ∵x是4的算術(shù)平方根

  例2. 已知：a、b為的平方根，且，求

    分析：帶有絕對值的式子化簡，首先要去掉絕對值符號，怎么去掉絕對值符號，就要知道a、b的關(guān)系。

    解：∵a、b為m的平方根，

    原式

  例3. 如圖，∠BCE=∠CBD，CE=BD，求證：△ABC是等腰三角形。

    證明：在△BCE和△CBD中，

    ∴△BCE≌△CBD（SAS）

    ∴∠CBE=∠BCD（全等三角形對應(yīng)角相等）

    ∴AC=AB（等腰三角形的判定定理）

    ∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形定義）

  例4. 如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，BD，AE交于N，BM⊥AE于M，若AD=CE。

    求證：

    證明：在△BAD和△ACE中，

    ∴△BAD≌△ACE（SAS）

    ∴∠1=∠2

    ∵∠2+∠BAN=60°（等邊三角形性質(zhì)）

    ∴∠1+∠BAN=60°（等量代換）

    ∴∠BNM=60°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

    在Rt△BMN中，

    ∴∠NBM=30°（直角三角形的兩個銳角互余）

    （直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）

【模擬試題】（答題時間：25分鐘）

（一）判斷題

  1. 三個角都相等的三角形是等腰三角形。（    ）

  2. 等腰三角形腰大于底，則一定是銳角三角形。（    ）

  3. 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（    ）

（二）解答題

  1. 如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別是D、E，AB=8cm，求BE。

  2. △ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE是斜邊BC上的中線，DE=4，求AB和BC。

  3. 求值：，分別是25，36的平方根

【試題答案】

（一）判斷題

  1. √                 2. √                    3. √

（二）解答題：

  1. 解：∵AB=8cm

    ∴BC=8cm（等邊三角形定義）

    又∵AD⊥BC

    ∴（等腰三角形底邊中線、高線合一）

    在Rt△BDE中，

    ∠B=60°（等邊三角形定義）

    ∴∠BDE=30°（直角三角形中兩銳角互余）

    ∴（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）。

  2. 解：在Rt△ABC中，

    ∵∠B=60°

    ∴∠C=30°（直角三角形兩銳角互余）

    ∴（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）

    在△BAE中，EB=AB

    ∴∠BEA=∠BAE（等腰三角形的定義）

    又∵∠B=60°

    ∴△BAE是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）

    在Rt△ADE中，∵∠DEA=60°

    ∴∠DAE=30°（直角三角形兩銳角互余）

    ∴AE=2ED=2·4=8（直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）

    ∴AB=8

    BC=8·2=16

  3. 解：原式

    ∵的平方根

    ∴原式