上小學(xué)的趙亮放學(xué)回家說：“今天的作業(yè)是剪圖形，老師讓剪三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形…，還讓把剪好的圖形拼成新的圖形．”

在幫孩子完成作業(yè)的同時，我發(fā)現(xiàn)剪拼圖形也挺有意思的做了一些研究，下面拿出來與大家分享．

注　這里講的“剪”，只能沿直線剪；這里講的“拼”，指圖形拼完后不能有重疊部分，也不能有剩余部分．

　　１．平行四邊形剪拼成一個三角形．

　　用“面積不變”的思想，平行四邊形變?nèi)切斡袃纱箢惙椒?，每一大類都有無數(shù)種拼法．如圖3，圖7．

1.1一般的方法：

如圖１，找出ＡＢ邊中點Ｅ，作射線DA、射線CE，兩條射線交與點D′．易證△AED′≌△BEC,將△BEC繞點Ｅ旋轉(zhuǎn)180°，就和△AED′重合．這樣將平行四邊形ABCD沿CE剪開就可以拼成一個三角形（△DCD′）．

如圖２，也可以在ＢＣ邊上找中點，作法同上．

圖１　　　　　　　圖２

那么是否只有這兩種做法呢？當(dāng)然不是，它的做法有無數(shù)種呀！下面我們來看一看．

1.２以動態(tài)的觀點看問題：

如圖３，找出AD、BC的中點G、H,而D′點是AB上任意一點（動點），作射線D′G和射線D′H，分別交DC所在的直線于E、F，易證△DGE≌AGD′,△HBD′≌△HCF, 這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個三角形（△EFD′）．

當(dāng)點D′在AB上移動時，產(chǎn)生的△EFD′也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個三角形△EFD′也就有無數(shù)種剪拼方法．

圖３　　　　　　　　　　　　圖４

圖５　　　　　　　　　　　　　　　圖６

1.2.1當(dāng)點D′在AB上運動到圖4位置時，△EFD′為銳角三角形．

1.2.2當(dāng)點D′在AB上運動到圖5位置時，△EFD′為直角三角形．

1.2.3當(dāng)點D′在AB上運動到圖6位置時，△EFD′為等腰(鈍角)三角形．

1.2.4當(dāng)點D′在AB上運動時，△EFD′能否為等邊三角形？若不能什么條件下能？

　1.３同樣以動態(tài)的觀點看問題，又有以下方法：

該方法實際上是1.1方法的一般化．

利用剪拼后“面積不變”Ｓ=ah＝a（2h）還可以有如圖７作法．D′點是AB上任意一點（動點），過D′點作D′A′平行且等于DA，易證△EAD≌ED′A′,△FA′D′≌△FCB, 這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個三角形（△DCA′）．

當(dāng)點D′在AB上移動時，產(chǎn)生的△DCA′也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個三角形△DCA′也就有無數(shù)種剪拼方法．

同理，也可以將動點D′選在BC(或AD)上，方法原理同上面一樣．

圖７

　　２．平行四邊形剪拼成一個特殊四邊形．

2.1平行四邊形剪拼成長方形．

如圖8,過A點作AF⊥DC與F．易證Rt△ADF≌Rt△BCE,將△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了長方形．

　　　　圖８

2.2平行四邊形剪拼成正方形．

平行四邊形剪拼成正方形的過程較復(fù)雜，要先將平行四邊形拼成長方形，再把長方形拼成正方形．下面通過圖像來說明怎么把長方形剪拼成正方形的方法．

用“面積不變”的思路，我們可以將給定的矩形剪拼成正方形，如圖９所示．請大家探討有沒有更好的方法．

2.3平行四邊形剪拼成梯形．

同樣以動態(tài)的觀點看問題，有下述方法．

用“面積不變”的思路平行四邊形變梯形的方法．如圖10所示．

點E為BC的中點，F為AB上一動點（Ｆ不與A、B兩點重合，思考為什么？），易證△FBE≌△GCE,將△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形．（因為是動態(tài)的所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．）

2.3.1當(dāng)F點移動到A點位置時可拼成為三角形即1.1的情況．

2.3.2當(dāng)F點移動到圖11位置時可拼成為直角梯形．

2.3.3當(dāng)F點移動到圖12位置時可拼成為等腰梯形．

2.3.4如圖13，另外以點E為AB的中點，G為BC上一動點，G在BC上運動（不包括B、C兩點），原理同上也可以剪拼梯形．因為G在BC上運動，所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．特別的當(dāng)Ｇ運動到圖13位置時，能剪拼成直角梯形．

2.４平行四邊形剪拼成任意四邊形．

如圖14，在平行四邊形ABCD的AC邊上任取一點E（或者說點E是AC上一動點）,過Ｅ點作AB的平行線，交BD于點F．在線段EF上任取兩點G、H（或者說點G、H是線段EF上兩個動點，不能到點E、點F的位置）．分別過G、H作AC的平行線，交CD于K,交AB于L，作H點關(guān)于AB的反射點H′, 作G點關(guān)于CD的反射點G′,易證圖中的相關(guān)三角形全等，從而得以剪拼成功．（因為是動態(tài)的所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．）

　　3．任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法．

將2.4的過程反過來則就成了將任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法了．

　　４．任意四邊形剪拼成長方形的方法．

只需要圖14中，GG′⊥EF,　HH′⊥EF剪拼的結(jié)果就是矩形．

　　５．梯形的剪拼．

5.1梯形剪拼成平行四邊形．

如圖15,點H是BC上的中點，過點H作AD的平行線交AB的延長線于E,交DC于G,易證△HEB≌△HGC, 將△HGC繞H旋轉(zhuǎn)180°到△HEB的位置，就剪拼成了平行四邊形．同理可以像圖16那樣剪拼．

5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法．

如圖17，作梯形中位線的中垂線，沿中垂線將梯形對折（作點D關(guān)于中垂線的對稱點G）H為腰BC的中點，射線GH交AB的延長線于E點，易證△BEH≌△CGH,AD=EG從而可以剪拼成功．

同理，圖18那樣也可以．

5.3梯形變長方形．

可以先將梯形剪拼成平行四邊形，再將平行四邊形剪拼成長方形．或者用前面（４．任意四邊形剪拼成長方形的方法．）講的方法．

5.4特殊梯形的特殊變化．

例如：底角都是60°的等腰梯形變等邊三角形．這要有特殊的方法，有興趣大家可以研究一下．

如圖：從圖19到圖24是剪拼的過程，供大家研究．

　?。叮畠蓚€正方形剪拼成一個正方形．

這個問題簡稱“兩方拼一方”，人教版八年級課本上有這樣一個閱讀．方法不止一種，下面我寫幾種供大家欣賞．

圖25中，邊長分別為a、b兩個正方形連成一體，你能否在上面劃兩條直線，沿線把圖形分成幾塊，然后拼成一個正方形而無剩余．

6.1方法一：

用剪拼后“面積不變”的方法，可知剪拼后的正方形邊長為，那么只需要在圖中找到兩條這樣的線剪開就可以了．如圖26到圖32是剪拼過程示意圖．

以D點為圓心小正方形的邊長b為半徑作圓，交DC于H,如圖27，則AH=FH=,易證圖28中甲、乙兩個三角形和圖29中甲、乙兩個三角形全等．將圖28中的甲、乙放到圖29的位置即完成了剪拼，圖31是完成剪拼后的圖形．（不做過多論述，看圖．）

6.2方法二：

如圖32,易證DG=,易證圖33中的甲、乙、丙、丁分別和圖34中的甲、乙、丙、丁全等．將圖33中的甲、乙、丙、丁分別放到圖34的位置即完成了剪拼，圖35是完成剪拼后的圖形．（不做過多論述，看圖．）

　　6.3方法三：請大家看圖36，不做詳細(xì)介紹．

請大家繼續(xù)探討其它方法．

在看似簡單的剪拼問題中，充滿了數(shù)學(xué)思考和智慧，親愛的讀者朋友你會了嗎？