《人民教育》從“小用”到“大用”——談我們需要怎樣的數(shù)學教育

一、生活之用只是數(shù)學的“小用”

近些年來，在強調(diào)數(shù)學與生活的聯(lián)系中，出現(xiàn)了“過度生活化”的錯誤傾向，人們試圖用日常生活中的應(yīng)用來支撐“為什么學數(shù)學”。

例如，很多數(shù)學教師常用的如買門票、租船、賣貨等聯(lián)系生活的素材，雖然都是數(shù)學問題，但它們并不是例題、習題、作業(yè)和考試命題的好題材。太“實惠”了！簡單地強調(diào)“學是為了生活之用”，尤其是以“學是為了省錢”來引導學生學習數(shù)學，這種“功利”、“實惠”的思想會給學生帶來很大的負面影響。

舉例來說，IMO（國際數(shù)學奧林匹克競賽）是培養(yǎng)數(shù)學家、科學家的搖籃，歷史上許多參加IMO的人后來都成了國際知名的科學家，如1898年IMO的獲勝者馮·卡門，后來成為航空航天領(lǐng)域最杰出的一位元老；1982年IMO的獲勝者佩雷爾曼，于40歲時破解了世界七大數(shù)學難題中的龐加萊猜想，被授予菲爾茨獎；1988年IMO的獲勝者、澳籍華裔數(shù)學家陶哲軒，于31歲時獲得了菲爾茨獎，在美國《探索》雜志評選出的40歲以下最聰明科學家中位居榜首……但遺憾的是，中國的學生自參加IMO以來，25次參賽，16次獲得團體第一，個人奪冠者不少，可他們都沒有取得像陶哲軒或佩雷爾曼那樣杰出的成就，有些人甚至遠離了數(shù)學。這里有我國科研根基不足的原因，也有數(shù)學競賽與數(shù)學研究風格不同的原因。但總的來說，一個不可忽視的原因就是中國的孩子自小就受到了功利、實惠思想的熏陶。為什么高中畢業(yè)后，大量的高分考生紛紛涌向最有“錢途”專業(yè)？為什么大學畢業(yè)后，那么多精英，那么多本來應(yīng)該是搞高科技的人才，甚至是IMO的獲勝者，都堆積在了金融行業(yè)？他們選擇走這條路，就跟教育推崇眼前的實際效益有關(guān)系。

事實上，從知識學、哲學認識論的角度說，數(shù)學之“用”應(yīng)有三層：一是生活之用，比如買菜算賬；二是應(yīng)用數(shù)學之用，即在自然科學、社會科學與人文科學里的“應(yīng)用”，比如，前蘇聯(lián)最終認定《靜靜的頓河》確實是肖洛霍夫?qū)懙?，方法是?yīng)用概率論對原文詞匯的使用頻率進行測算；三是純數(shù)學之用，即用作繼續(xù)研究純數(shù)學的基礎(chǔ)。這三層中，最后一層是大用——它甚至是所有科學方法論、哲學乃至最根本的人類思維方式的基本源泉之一；科學中的應(yīng)用是中用；日常生活之用只是小用而已。其實，對于平常人來說，真正能用到數(shù)學的地方，也就只有算算賬了。如果過于強調(diào)“小用”、“中用”，則可能掩蓋“大用”，使數(shù)學教育遠離本質(zhì)。雖然激發(fā)了學生的學習興趣，卻喪失了科學精神，這實在得不償失。

一、數(shù)學教育要體現(xiàn)大用之“用”o

摒棄數(shù)學飽含的科學思想，僅把“生活之用”作為數(shù)學教育的目標，不符合數(shù)學學科的本質(zhì)。數(shù)學教育要達到更高的層次，教師應(yīng)重新審視數(shù)學知識，挖掘知識的背景，從人類認識數(shù)學的過程、各個數(shù)學分支創(chuàng)立的動機、數(shù)學發(fā)展的瓶頸和轉(zhuǎn)折點、數(shù)學知識的原理、數(shù)學知識發(fā)展的歷史與規(guī)律等角度，自上而下地把人類獲得的高度概括的知識傳授給學生，使學生感受到先有直觀思維再給出形式化描述的艱難，真正體會數(shù)學之美，從而發(fā)展其數(shù)學思維與科學精神。數(shù)學教育要體現(xiàn)大用之“用”，需從以下三個方面著手：

1．知識學習上重視核心概念和內(nèi)在聯(lián)系。

任何學科教育都面臨一個矛盾——如何在符合學科規(guī)律、兒童心理與科學發(fā)展原則的前提下，于有限的時間內(nèi)高度概括地、精煉地重演該學科在歷史上的發(fā)展？對于數(shù)學學科而言，這要求教師在教學時做到重點突出，脈絡(luò)分明。

所謂重點突出，就是指教師在教學時要抓核心概念、原理。如數(shù)、形概念是小學數(shù)學教學內(nèi)容的“主干”，其他知識建立在概念的基礎(chǔ)上，是概念的應(yīng)用，教師教學時在“主干”上要舍得花時間、下功夫，切切實實讓學生理解。

所謂脈絡(luò)分明，就是指教師要把握知識的來龍去脈、前后聯(lián)系以及蘊含的思想方法。例如，在最開始教學“數(shù)的認識”時，教師以“十進制”的起源滲透“滿十進一”的規(guī)律，讓學生知道：人類最初是用手指頭來計數(shù)，而人類的手指頭不多不少剛好只有10個，所以他們數(shù)完10之后就不得不借助其他東西來計數(shù)。接下來教百、千、萬和小數(shù)時，教師再逐步運用“滿十進一”來教，自然就會水到渠成。

在學生掌握了一定的數(shù)學概念后，教師就要幫助學生整理知識，發(fā)展概括能力，循序掌握概念系統(tǒng)，把書讀“薄”。這包括引導學生認識概念之間的“縱向聯(lián)系”和“橫向聯(lián)系”。如四邊形一平行四邊形一長方形一正方形，依次包含，構(gòu)成從屬關(guān)系，也就是“縱向聯(lián)系”；而正整數(shù)按約數(shù)的個數(shù)，分為1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)，這是“橫向聯(lián)系”。最后，教師要引導學生溝通概念之間的縱橫聯(lián)系，形成概念系統(tǒng)，編成綱要圖表。如此一來，學生方能獲得概括化、系統(tǒng)化的知識，產(chǎn)生廣泛的遷移，使知識向能力轉(zhuǎn)化。

2．靈活地發(fā)展思維能力。

數(shù)學是思維的體操。不論與哪門課程相比較，數(shù)學所包含的思維在豐富性、嚴謹性、細膩性上都要強得多。數(shù)學思維既具有思維的一般特征，又具有數(shù)學本身的個性，通常有三種：抽象思維、形象思維、直覺思維。

抽象思維是數(shù)學思維的核心，從整個數(shù)學科學來看，多數(shù)數(shù)學問題的解決，單純運用抽象思維。在小學數(shù)學中，有很多數(shù)學問題的解決，也單純運用抽象思維。

形象思維在很多情況下是數(shù)學思維的導入，很多數(shù)學問題的解決，先依據(jù)具體的圖形和形象的情境進行形象思維，然后進行抽象思維，使問題得以解決。

直覺思維是建立在扎實的形象思維與抽象思維經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的思維跳躍與升華，是創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的工具。

在特定的情境中，它們有時相對獨立，有時又會相互交叉。在教學中，教師應(yīng)想方設(shè)法給學生提供有效訓練三種思維能力的數(shù)學問題，依據(jù)學生的思維特點，將三種思維融會貫通，從而真正將“培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力”這一核心教學目標落到實處。

例如，有這樣一個算式：“100-50-20=”。這是一個抽象的算式，在小學二年級，如果教師非常抽象地對學生說：“這叫連減，第一個數(shù)叫做被減數(shù)，我們現(xiàn)在就是要從被減數(shù)中減去第一個減數(shù)，然后用它們的差減去第二個減數(shù)，再得到它們的差?！边@就把一個簡單的問題搞復(fù)雜了。教師應(yīng)該非常靈活地對學生說：“你可以把它看成是你生活中的一個小例子，你媽媽帶你上超市，帶了100元錢，買了一箱蘋果，花了50元；又給你買了一個玩具，花了20元。那么還剩下多少錢呢？”這樣一解釋，學生馬上就明白了，因為學生有相關(guān)的生活經(jīng)驗，他們把這個算式與頭腦中的形象記憶聯(lián)系起來了，就會很容易理解這一知識。

進而，如果要進一步教學“算式中減50再減20，也可以把50和20加起來再減”，教師又可以這樣說：“我們?nèi)コ匈I東西，超市是怎么收銀的呢？是一次性收的，先把你買的所有東西的錢全部加起來以后，用100元去減這個數(shù)，這個一起減的過程就是找錢的過程。”教師這樣一說，學生又很容易就懂了。

這還不夠，教師在學生理解題意之后還應(yīng)進一步講解：“這個題目問的是還剩多少錢，因此它和人物、地點就沒有關(guān)系了。‘媽媽’、‘你’、‘超市’可以刪去，也可以改為‘爸爸’、‘小明’、‘商店’。因為是問還剩多少錢，所以這與買的什么東西也不相關(guān)，題中的‘蘋果’、‘玩具’可以刪掉，也可以改為‘橘子’、‘書籍’?！边@樣通過其一，了解其二、其三，以至無窮，就可以使學生舉一反三，掌握“100-50-20”這個算式的抽象含義了。

3．在科學方法中熏陶科學精神。

數(shù)學在大部分人心目中都是枯燥乏味的，甚至不少數(shù)學教育工作者也這么認為。其實，那是因為他們沒有去挖掘數(shù)學知識的背景、科學原理和科學思想。哲學家羅素說：“數(shù)學，如果正確地看她，不但擁有真理，而且也具有至高的美。數(shù)學提供了一種精確、簡潔、通用的科學語言，數(shù)學語言正是以她的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容上的完美給人以美的感受。”一個對數(shù)學知識有領(lǐng)悟的教師是不會讓學生死記硬背的，他會挖掘數(shù)學知識中蘊藏的科學之美，讓學生耳濡目染數(shù)學給人類帶來的關(guān)于嚴謹、有序、結(jié)構(gòu)的美，獲得對科學的崇高和敬畏之感，從而喜歡數(shù)學，崇尚科學。比起以“小用”來吸引學生學習數(shù)學，這才是使學生喜歡學數(shù)學的科學途徑。

例如，小學一年級教數(shù)字1，幾乎所有的教師都認為：1還用教嗎？家長教了，學生都會，教師覺得沒有什么可教的。他們沒有想過，其實1是所有數(shù)中最重要的數(shù)，人類形成l這個概念經(jīng)歷了痛苦的十萬年，非常不容易。當l產(chǎn)生的時候，數(shù)的概念也就產(chǎn)生了，學生正應(yīng)通過教師講授1獲得抽象能力。對數(shù)學有研究的教師會有意識地掌握這一點，一個房子、一個杯子、一棵樹、一個人、一雙襪子、一組球員、一群小鳥，這些屬性根本不同的事物居然有共同的東西，這個共同的東西是什么呢？就是1（其中，一雙襪子、一組球員、一群小鳥這樣用1表示一個整體而非數(shù)量上為1的一個事物的例子，尤其需要引起教師注意，為什么分數(shù)比較難學？原因之一就是學生沒理解“被均分的東西不論多少都只是‘整體1"’）。要讓學生理解，原來1并不那么簡單，并且在這個基礎(chǔ)上幫助學生去抽象2，這就是培養(yǎng)學生的抽象能力。這樣來看就不容易了，拋開所有屬性，只留下一個屬性，而這個屬性沒有什么實在體，這種方法需要通過教師有意識地在課堂上教授給學生。這種思想學生的家長不懂，學生自己探究不出來，課本上也反映不出來，只有通過教師有意識地講解，學生才會獲得。如果學生只是找出了1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，

最后卻不懂得它們抽象出來的含義，不知道這里面包含著思想上的飛躍、人的能力上的飛躍，那教學就失敗了。

又如數(shù)學中的質(zhì)數(shù)，數(shù)學教師通常會對學生說：質(zhì)數(shù)就是除了1和自身以外，沒有其他約數(shù)的數(shù)。其實，這樣平鋪直敘地把概念倒出來并不是學生想要的。學生真正想知道的是，質(zhì)數(shù)究竟是什么？它有何重要性？教師若能多挖掘一些數(shù)的意義，就會這樣告訴學生：質(zhì)數(shù)就是不可再分的數(shù)，是組成一切自然數(shù)的基本元素0 12是由兩個2和一個3組成（相乘得到）的，正如水分子H20是由兩個氫原子和一個氧原子組成的一樣。和化學世界不同的是，算術(shù)世界的元素有無窮多個。算術(shù)世界內(nèi)的一切對象，都是由這些基本元素組成的。這才是質(zhì)數(shù)為什么那么重要的原因，教師言傳身教之下，也會培養(yǎng)學生追尋本質(zhì)的思維習慣。

再如數(shù)學中的猜想法，是探索數(shù)學規(guī)律時一種常用的策略。經(jīng)過猜想得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的。并且，即使找到1億個例子符合猜想，也不能確定猜想的正確性，這是歸納法的軟肋：只經(jīng)過有限次歸納、未經(jīng)嚴格證明得出的結(jié)論不能斷定就是正確的。1640年，費爾馬提出了一個猜想，然而，在1732年，著名數(shù)學家歐拉舉出一個反例，宣稱了費爾馬猜想不正確。數(shù)學教師在引導學生通過“猜想——驗證”得出結(jié)論的同時，可否順勢講出上述思想，讓學生體會歸納的軟肋、猜想的局限？在教學“無理數(shù)”時，又可否順勢講出歷史上第一次數(shù)學危機爆發(fā)時引發(fā)的恐慌，讓學生體會數(shù)學之嚴謹？要知道，讓學生相信不容易，讓學生不輕易相信、不盲從更不容易。講交換律時，教師說a+b=b+a，如果通過教師的培養(yǎng)，學生在學到這里的時候問：“你怎么知道的？”教師回答：“你試一試就知道了。”學生說：“我試過了，永遠試不完，我不認為a+b=b+a?！蹦敲矗處熅统晒α?。學生不輕易承認靠有限次歸納得到的結(jié)論，當他不承認這一點時，他的內(nèi)心就萌生了要證明、要說明的要求，這正是科學精神使然。

越是基礎(chǔ)的東西，越是重要，越是蘊含了深刻的道理。數(shù)學知識的背景和原理，教科書上沒有，教輔書上也沒有，需要教師追根究底地廣泛閱讀、深入研究才能獲得。這些富含科學精神的寶貴財富，家長不知道，學生探究不出來，只有教師有目的地引導和講授才能使學生獲得。它們實是數(shù)學知識中最珍貴的東西，值得數(shù)學教師花費畢生精力去探索。教師應(yīng)養(yǎng)成一個習慣，在教案中加入一條——知識背景，把教學目標寫得簡短一些，畢竟一節(jié)課只有45分鐘；把知識的原理和背景講得詳細一些，因為這才是你這堂課的底氣。