應用數(shù)學解決問題的能力既是“數(shù)學課程標準”中的一個重要的課程目標，也是考查學生綜合素質(zhì)的一個重要依據(jù)．2011年安徽省中考數(shù)學試題就有這樣一個特點：不再只是考查學生積累了多少“雙基”，而是考查學生運用“雙基”解決具體問題的辦法與能力．重視對邏輯推理能力的考查，注意適度論證，加強了計算和推理的有機結(jié)合，入口容易，方法多樣，不求繁難，也沒有出現(xiàn)“偏題”、“怪題”．可以說，與前兩年相比，在保持試題難度框架形式相對穩(wěn)定不變的前提下，仍趨向于通過創(chuàng)設新的問題情境，結(jié)合實際問題在運用的過程中考查數(shù)學能力，其根本目的是在考查學生的數(shù)學思想方法．不妨在此作些簡單分析，與大家共同切磋，以利教學．

【試題分析】

2011中考數(shù)學試題繼續(xù)延續(xù)了2010年的命題思路，注重基礎知識、基本能力和數(shù)學思想方法的考查，沒有偏題和怪題，題目難易適中，繼續(xù)堅持 “穩(wěn)中求變，變中求新”這一特點．

首先，試卷整體布局合理，對知識的考查比較合理、全面，注重基礎知識的考查．整張試卷共23道題．其中選擇題共10道題，每題4分；填空題4道題，每題5分；最后三道題分值分別為12分、12分、14分．代數(shù)部分約占48%，幾何部分約占52%．其中代數(shù)部分對基礎知識和基本能力的考查，如簡單的實數(shù)大小比較（第1題）、科學記數(shù)法（第2題）、分式化簡（第15題）、一元二次方程的解法（第8題）、一元一次方程的應用（第16題）、新定義運算（第2、14題）；函數(shù)部分考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第21題）、二次函數(shù)的增減性（第23題的3問）及統(tǒng)計與概率（第5、20題）．幾何部分考查了三角形、四邊形、圓及圖形的變換。其中三角形知識點考查面廣，如三角形的性質(zhì)（第6題）、全等三角形的性質(zhì)與判定（第23題）、相似三角形的性質(zhì)與判定（第9、10、22題）、等腰三角形的性質(zhì)（第22題）、直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形（第13、19題）；四邊形知識點的考查較綜合（第5、6、9題），圓的知識考查了垂徑定理（第13題）、圓周角定理及弧長公式（第7題）；圖形變換考查了旋轉(zhuǎn)、平移、位似（第17、22題）．

其次，試題延續(xù)2010年的平穩(wěn)趨勢，嚴格按照考綱出題，試題難易適中，沒有出現(xiàn)“怪、偏、繁”題，試卷難題分布合適．如第21題、22題和23題考查了幾何推理能力和數(shù)學綜合分析能力，對學生數(shù)學思維能力的考查很全面。第21題是把一次函數(shù)與反比例相結(jié)合，使二次函數(shù)融合在幾何題中，既淡化了這類考題的分量，同時又能考查考生的綜合能力，命題思路較好．第22題是幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)中找角的度數(shù)，線段之間的關(guān)系，題目沒有突破常規(guī)，但是延續(xù)了學生在解數(shù)學題中的思維難點，讓學生“夠一夠能抓到”，是一道訓練思考能力和思想方法的好幾何題。第23題，是在一個基本幾何圖形框架下考查全等三角形及二次函數(shù)的問題，是一道代數(shù)與幾何相結(jié)合的好題．

此外，試卷新增了規(guī)律探索題、淡化了概率的運用、二次函數(shù)和一次函數(shù)的應用等中考熱點問題．規(guī)律探索題是安徽省中考命題的一大特色，在前幾年中考中有著很重的分量，但是2009、2010年的考題基本上是把規(guī)律探索題放在選擇和填空中，而2011年的考題則加大了規(guī)律探索題的分量，且出現(xiàn)在大題中，很明顯，這是著重對數(shù)學能力的考查．

縱觀以上試題結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，試題仍以考查學生的基本知識與基本能力為主，但考查知識點偏重于幾何部分，以凸顯學生的邏輯思維能力，其中第9、10、22題的第（3）問有一定的區(qū)分度．最明顯的是，2011年安徽省中考數(shù)學的閱讀理解題能較好地考查學生的閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又能考查學生獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力，是一大亮點．如第12、14、18、20題，試題背景考生較熟悉，很容易入手，問題設置有創(chuàng)新、有變化也是2011年命題的一大特點．

【考題再現(xiàn)】：

例1（2011安徽省中考數(shù)學第9題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，點P在四邊形ABCD的邊上．若點P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（  ）

A．1      B．2       C．3        D．4

解析：選B。分別過A、C兩點作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由勾股定理得，從△ABD的面積計算可得AB·ADAE·BD，，點P到BD的距離為，因此，在邊AD、AB上可以分別找到一個點P；而,即，亦即，所以，在邊BC、CD上均找不到點P；綜上符合條件的點P的個數(shù)只有兩個，分別在邊AD、AB上各一個．

點評：此題設題較為簡明，思考方法靈活，體現(xiàn)了由一般到特殊的命題特色，能較好地引導學生掌握從一般到特殊的思想方法．

例2（2011安徽省中考數(shù)學第10題）如圖2，點P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點，過點P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點．

設，，，△AMN的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致形狀是（  ）

解析：選C。點P在AC的左半邊移動時，即時，，則，即；當點P在AC的右半邊移動時，即時，，則，即，綜上，選C．

點評：此題圖形較為美觀，包含了很多幾何、代數(shù)知識，能真正考查學生的數(shù)形結(jié)合思想方法及計算能力．但筆者在中考閱卷中也發(fā)現(xiàn)這樣的問題：當點P在AC的左半邊移動時，即時，多數(shù)考生都可以得到函數(shù)的解析式；當點P在AC的右半邊移動時，即時，不少考生產(chǎn)生困難，難以得到函數(shù)解析式，從而難以在B、C兩個選項中抉擇，這反映出有些考生計算能力差的弱點，數(shù)形結(jié)合思想體會也不夠深．

例3（2011安徽省中考數(shù)學第18題）在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其行走路線如圖3所示．

(1)填寫下列各點的坐標：A₄(      ，      )、A₈(      ，      )、A₁₂(      ，      )；

(2)寫出點A_4n的坐標(n是正整數(shù))；

(3)指出螞蟻從點A₁₀₀到點A₁₀₁的移動方向．

解析：（1）A₄(  2    ，   0   )、A₈(   4   ，   0   )、A₁₂(  6    ，  0    )；

     （2）A_4n=(  2n   ，   0   ) ．  

易得規(guī)律為：每4步，則向右行進兩個單位長度，因此橫坐標為2n，且第四步都回到軸，因此縱坐標為0．

（3）向上．因為100是4的倍數(shù)，因此A₁₀₀到點A₁₀₁的移動方向與點A₄到點的移動方向相同．

點評：本題主要考查考生觀察、歸納等數(shù)學推理能力．但若發(fā)現(xiàn)不了第（2）小題的規(guī)律或得出錯誤的規(guī)律后，則影響第（3）小題的解答．自新課程改革實施以來，幾乎每年都會出現(xiàn)數(shù)學歸納推理考查題，不可否認，學生在這方面的能力已經(jīng)增強，但還應繼續(xù)重視．

例4（2011安徽省中考數(shù)學第20題）一次學科測驗，學生得分均為整數(shù)，滿分為10分，成績達到6分以上（包括6分）為合格，成績達到9分為優(yōu)秀.這次測驗中甲乙兩組學生成績分布的條形統(tǒng)計圖如下：

（1）請補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表：

（2）甲組學生說他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們的成績好于乙組.但乙組學生不同意甲組學生的說法，認為他們組的成績要好于甲組，請你給出三條支持乙組學生觀點的理由．

解析：（1）

（2）①乙組的平均分比甲組高；

②乙組的方差比甲組?。?/SPAN>

③乙組學生成績不低于7分的人數(shù)比甲組多．

點評：本題屬于基礎考查題，但在閱卷中發(fā)現(xiàn)考生出現(xiàn)的典型錯誤是：乙組學生成績7分以上的人數(shù)比甲組多．本題由完成成績統(tǒng)計分析表出發(fā)，到探究分析乙組學生不同意甲組學生說法的原因，進而給出三條支持乙組學生觀點的理由，由淺入深，無形之中，既照顧到不同層次的學生，又含有樂趣。這是科學研究、科學探究的重要方法．這種研究、思維模式對學生是十分有益的．學生自我探究后，既有成就感，增強自信心，又可有效地改善、提升思維水平．

例5（2011安徽省中考數(shù)學第21題）如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與軸交于C點，已知A點坐標為（2，1），C點坐標為（0，3）．

（1）求函數(shù)的表達式和B點坐標；

（2）觀察圖象，比較當時，與的大小．

解析：（1）由直線過A、C兩點得： 

解得，∴

將A點坐標代入，∴

設B點坐標為（m，n），

∵B是函數(shù)與圖象的交點，

∴，由題知，此時

∴B的點坐標為（1，2）．

（2）由圖知：

①當時，；

②當時，；

③當時，．

點評：本題屬于基礎考查題，難度適中，重視基礎知識和基本技能的應用．試題立足于學生發(fā)展，體現(xiàn)出人文關(guān)懷，既考查了基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的掌握情況，又考查了學生的基本運算能力、思維能力、創(chuàng)新能力、實踐能力，是一道極富思維含量的好題．此題命題意圖明確，充分體現(xiàn)出數(shù)學學科的應用價值，這對引導學生認清數(shù)學知識的本質(zhì)以及引領(lǐng)初中數(shù)學教與學方面都有著較好的導向作用．

例6（2011安徽省中考數(shù)學第22題）在△ABC中，∠ACB，∠ABC，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為()，得到△A₁B₁C．

  (1)如圖1，當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于點D．證明：△A₁CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接AA₁、BB₁，設△ACA₁和△BCB₁的面積分別為S₁、S₂．求證：S₁∶S₂1∶3；

(3)如圖3，設AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，，連接EP．當        °時，EP的長度最大，最大值為        ．

解析：（1）因為∠ACB，∠ABC，所以∠BAC，所以∠A₁，∠B₁；因為AB∥CB₁ ，所以∠BCB₁∠ABC，所以∠A₁CB∠A₁CB—∠BCB₁，∠A₁DC∠DCB₁∠CB₁D，所以∠A₁∠A₁CB∠A₁DC，所以△A₁CD是等邊三角形．

（２）易證得∽,且相似比為，得證．

（３）；．連接CP，易知，∠A₁CP．當點E，C，P不在同一直線上時，則EC，CP，EP能構(gòu)成三角形，在△ECP中，總有EP＜ECCP，因此，當點E，C，P在同一條直線上時，即EPECCP時，EP最大，且等于．此時，．

點評：第（1）小題的難度不大，不再贅述；第（2）小題的關(guān)鍵有兩處：一是證明等腰△ACA′∽等腰△BCB′，二是發(fā)現(xiàn)相似比等于tan，難度不是很大；最大的問題是在第（3）小題，不少考生找不到等于多少度時，EP長度最大，這反映出兩個問題：一是空間想象能力差，二是平時動手能力差．不少考生根本就想不到去剪下兩個直角三角形轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，只要轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，就會發(fā)現(xiàn)隨著旋轉(zhuǎn)角的不斷增大，EP的長度不斷增大．當旋轉(zhuǎn)角達到時，EP的長度最大，若再旋轉(zhuǎn)下去，EP的長度將減小．由此可見動手操作能力的重要性．

例7（2011安徽省中考數(shù)學第23題）如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃(h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0)．

（1）求證：h₁h₃；

（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：；

（3）若h₁h₂1，當h₁變化時，說明正方形ABCD的面積S隨h₁的變化情況．

解析：（1）過A點作AF⊥分別交、于點E、F，過C點作CH⊥分別交、于點H、G，證△ABE≌△CDG即可．

（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h₁、h₁h₂，四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，所以：

．

(3)由題意，得，所以：

又   解得0＜h₁＜

∴當0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減??；

  當時，S取得最小值；

當＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大．

點評：本題作為壓軸題，其難度在第（2）小題和第（3）小題，看似代數(shù)式的變化，其實倚重于幾何圖形，數(shù)形結(jié)合相當完美．第（2）小題其實就是用、的代數(shù)式來表示正方形的邊長，但這種表示一定要通過圖形來實現(xiàn)，而不是通過代數(shù)式的變形來完成；第（3）題其實就是二次函數(shù)的解析式與增減性問題，只不過是借助幾何圖形這個載體來呈現(xiàn)的。因思維方式多樣，不僅僅局限于由已知探求未知，還促使考生采取由未知到已知的逆向思維方法，既關(guān)注了不同數(shù)學水平學生的解題需要，又突出了題目應有的選拔作用。因此說該試題的命題技術(shù)含量較高，能照顧到考生不同的思維方式和習慣．

【感悟反思】

“數(shù)學課程標準”指出：“初中數(shù)學的基礎知識，主要是概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想方法”．掌握數(shù)學思想方法，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識提升數(shù)學素質(zhì)的必要條件．數(shù)學思想方法很多，最基本的數(shù)學思想方法有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程的思想、函數(shù)的思想等．教學中，突出這些基本的思想方法，就相當于抓住了數(shù)學知識的精髓。因此作為教師，平時一定要遵循數(shù)學教學理念，有意識地在教學中創(chuàng)設發(fā)現(xiàn)問題的情境，這是發(fā)展學生思維能力的關(guān)鍵一環(huán)，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的好途徑，同時又可有效地克服學生的思維定勢．

但由于初中學生認知能力和初中數(shù)學教學內(nèi)容的限制，而對有些數(shù)學思想方法就不宜要求過高，只能將部分重要的數(shù)學思想方法落實到數(shù)學教學過程中．

此外，數(shù)學教學是數(shù)學思維過程的教學，學生學習數(shù)學的過程是頭腦中構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程．而基本知識、基本技能是培養(yǎng)和提高學生數(shù)學素養(yǎng)、發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神的基礎，是學生進一步學習和發(fā)展的必備條件．

因此我們教師應改變學生單純接受的學習方式，使學生會采用探究學習、合作學習、體驗學習等多樣化的學習方式，逐步學會“提出問題──實驗探究──開展討論──形成新知──應用反思”的學習方法．這樣不僅能使學生學習的自主性、探究性、合作性得到加強，而且又能使學生體驗到學習的樂趣．具體有以下幾點建議：

1.繼續(xù)加強數(shù)學思想方法的教學．從2011年安徽省的數(shù)學中考試題來看，對數(shù)學思想方法的考查力度相當大，對題海戰(zhàn)術(shù)的沖擊也是相當大的．要培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，只講解題方法，只講題型訓練是不夠的，要想以不變應萬變，提高學生數(shù)學思維能力，就必須注意數(shù)學思想方法的教學，在培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力上下功夫．

2.繼續(xù)落實過程性教學．過程性教學包含兩個方面：一是課堂教學中不能滿足于學生對所學知識結(jié)論的理解與記憶，要十分重視教學過程，一定要讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，這就要求老師積極引導學生主動參與活動過程，在參與的過程中理解、掌握知識，逐步理解數(shù)學思想方法，并用于指導思維和解題；二是重視平時課堂教學扎實穩(wěn)步推進，想投機取巧靠總復習去突擊是靠不住的。復習只能是在鞏固的基礎上力爭有所提高．

3.繼續(xù)重視歸納推理能力的培養(yǎng)．數(shù)學推理能力包括歸納推理和邏輯推理，新課改以來，年年考查納推理能力，從引起我們注意，到引起我們重視，但具體的落實卻不如人意．縱觀各版本教材鮮有體現(xiàn)，或體現(xiàn)不夠．這的確有難度，因為歸納推理的載體可以貫穿整個數(shù)學知識，甚至生活知識，它難以在某個章節(jié)單獨集中呈現(xiàn)，卻又常常呈現(xiàn)在每個知識環(huán)節(jié)中，這就要求我們教師在平時循序漸進地進行點滴滲透．

4.繼續(xù)重視創(chuàng)新能力的培養(yǎng)．很多考生平時在學校考試成績都不錯，但在解答關(guān)鍵的中考試題后卻不滿意，這是因為平時的試卷陳題舊題較多，按照思維定勢去解決就能完成，而中考試卷都是新題，打破了思維定勢，必須具體問題具體分析，生搬硬套往往就誤入歧途，所以，平時學習最忌套題型，形成慣性思維．

5.重視動腦與動手的有機結(jié)合。數(shù)學是要發(fā)展抽象思維，但并不否定動手操作能力的培養(yǎng)．順便提出的是：動手操作不能流于形式，只注重表面熱鬧，為動手而動手，為操作而操作，其本質(zhì)是在動手的同時要動腦，讓動腦與動手有機結(jié)合．

總之，2011年安徽省中考數(shù)學試題堅持遵循數(shù)學課程標準、體現(xiàn)學業(yè)水平考試的同時，適度體現(xiàn)考試的選拔功能，在注意對基礎知識考查的同時，加大了數(shù)學思想方法的考查力度，加大了對數(shù)學思維能力的考查力度，對當前數(shù)學教學中普遍存在的針對題型進行大量重復的對號入座式的訓練是一個有力的沖擊，對今后的教學起到了較好的導向作用，明確告訴大家：數(shù)學能力取決于數(shù)學思想方法．