前幾天我們談了一些科研入門的注意事項(xiàng)，從今天起，我想與青年朋友一起探討自然科學(xué)研究中的常用方法和要領(lǐng)。就從闡述“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”開(kāi)始，我認(rèn)為這是從事理工科基礎(chǔ)研究的一種常規(guī)武器，一把利劍。文中對(duì)“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”作一般描述，并述及若干經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題。

1978年，著名應(yīng)用數(shù)學(xué)家、力學(xué)家林家翹教授（中科院外籍院士）提出了解決實(shí)際問(wèn)題的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”，我在1979年他到訪清華大學(xué)時(shí)第一次聽(tīng)他詳細(xì)講述了相關(guān)內(nèi)容。他指出，在研究數(shù)理科學(xué)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用：

搜集實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)資料→建立數(shù)學(xué)模型→發(fā)明數(shù)學(xué)工具或沿用已有方法解決模型中的問(wèn)題→驗(yàn)證所得到的結(jié)果→總結(jié)出普遍規(guī)律。

這就是所謂“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”。自然科學(xué)中，許多基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、解析和描述，都或多或少地運(yùn)用了應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程。

后來(lái)，Brown大學(xué)的謝定裕教授到我所講學(xué)，談及治學(xué)之道時(shí)，也講授了這一應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程。并用牛頓建立三大定律為例子加以闡釋，牛頓搜集伽利略關(guān)于落體運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和行星運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，特別是了解了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒定律，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系有了清晰的認(rèn)識(shí)；在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型（物體運(yùn)動(dòng)方程）：F=ma等；并發(fā)明了微積分，求得了運(yùn)動(dòng)方程的解；這些解在實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)中得到了驗(yàn)證，最后總結(jié)出牛頓三大定律。這是一個(gè)完美的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”。1987年，謝定裕先生把上述看法寫進(jìn)了《流體力學(xué)》（南開(kāi)大學(xué)出版社）的序言中了。

在此后的研究生教學(xué)和本科生教學(xué)中，我一再向?qū)W生們介紹了這一“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”，在關(guān)于科研方法的講座中，也包含了這方面內(nèi)容。例如，在給研究生講授流體力學(xué)時(shí)，我花費(fèi)很多時(shí)間來(lái)闡明納維-斯托克斯方程的導(dǎo)出過(guò)程，強(qiáng)調(diào)這是在流體力學(xué)中實(shí)踐應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程的絕好例子，特別是其中的數(shù)學(xué)建模的思路值得效仿。

在實(shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程中，至關(guān)重要的是：掌握了足夠的實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)數(shù)據(jù)后，從千頭萬(wàn)緒的現(xiàn)象中進(jìn)行梳理、簡(jiǎn)化，掌握其中的本質(zhì)要旨，建立合理和可解的數(shù)學(xué)模型，這是最為艱巨的工作。因此，我們追溯牛頓的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)時(shí)，經(jīng)常把他建立牛頓三大定律放在最重要的地位。

經(jīng)我留意觀察，初涉科研的人們，有不少人不自覺(jué)地實(shí)施了應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程，而且做得相當(dāng)出色。如果說(shuō)有不足之處，主要問(wèn)題是對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程認(rèn)識(shí)不清晰和執(zhí)行得不完整。正如謝定裕教授所指出的，“現(xiàn)代科學(xué)的迅速發(fā)展，已使一個(gè)人很難獨(dú)立完成某項(xiàng)有意義的工作的整個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程，……，所以，一個(gè)人往往只能從事這一過(guò)程的一個(gè)或兩個(gè)環(huán)節(jié)的工作，……。然而，我們不應(yīng)忘記整個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程，應(yīng)當(dāng)明了應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程各個(gè)環(huán)節(jié)的相對(duì)重要性。”

人們?cè)趯?shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程中所出現(xiàn)的問(wèn)題主要有：

1.      沒(méi)有充分掌握所研究的問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)數(shù)據(jù)。盡管由于分工不同，我們不一定親歷親為地去作實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，但必須通過(guò)各種調(diào)研掌握必要的實(shí)際觀測(cè)資料，并進(jìn)行仔細(xì)剖析，了解工程或科學(xué)問(wèn)題的第一手材料，抓住其中的本質(zhì)性的東西，為數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2.      對(duì)于作沿用的數(shù)學(xué)模型不了解其源頭。人們?cè)诳蒲兄谐＠矛F(xiàn)成的模型，但不少年青人對(duì)所用模型的來(lái)龍去脈不甚了了。例如，在流體力學(xué)研究中要用納維-斯托克斯方程，但不了解這組方程賴以成立的基本假設(shè)（三個(gè)本質(zhì)的假設(shè)、三個(gè)重要的假設(shè)以及其它次要假設(shè)），不顧實(shí)際情況拿來(lái)就用，往往會(huì)岀岔子；

3.      不善于獨(dú)立建模。對(duì)有些問(wèn)題，沒(méi)有現(xiàn)成的模型可供借鑒，必須自己按實(shí)際問(wèn)題來(lái)建模。不少年青人的建模能力較差，需要磨練（日后細(xì)談）；

4.      不重視結(jié)果的驗(yàn)證。有些年青人給出了問(wèn)題的解后就“開(kāi)小差”了，沒(méi)有在結(jié)果的驗(yàn)證上下功夫，也就是說(shuō)，忽視應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程的第四個(gè)環(huán)節(jié)。有些作理論分析的朋友認(rèn)為，我已經(jīng)給你解答了，結(jié)果的應(yīng)用和驗(yàn)證是別人的事情。這種想法很要不得，因?yàn)樵谇蠼膺^(guò)程中，你引進(jìn)了各種近似假設(shè)，結(jié)果是否成立？何時(shí)成立？研究者必須責(zé)無(wú)旁貸地給出明確的說(shuō)法。

5.      不重視總結(jié)規(guī)律。我們不是牛頓，也許總結(jié)不出牛頓定律那樣的大規(guī)律，但總能發(fā)現(xiàn)一些小規(guī)律吧！經(jīng)常見(jiàn)到年青人的習(xí)作中，把公式、數(shù)據(jù)、圖表等一一列出后就“溜之乎也”，這實(shí)在是一個(gè)壞習(xí)慣，也往往會(huì)糟蹋了好工作、好結(jié)果。我在樂(lè)乎博客中已多次提及這一點(diǎn)。最近重讀《李政道傳》，我發(fā)現(xiàn)，他在得到重要問(wèn)題一些基本結(jié)果后，分析、討論、總結(jié)規(guī)律的時(shí)間甚至長(zhǎng)于演繹結(jié)果的時(shí)間。

必須指出，“應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程”是應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)界前輩學(xué)者總結(jié)出來(lái)的一種提法，實(shí)際上在其它學(xué)科門類中可能有類似的提法。我們主要領(lǐng)會(huì)其中的精神實(shí)質(zhì)。

總而言之，應(yīng)用數(shù)學(xué)過(guò)程是理工科科學(xué)研究中的一種常規(guī)武器，希望青年朋友門好好體會(huì)、運(yùn)用，而且在實(shí)踐中逐步形成良好的科研習(xí)慣。

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