問題提出：中國古代有“雞兔同籠”算法和“盈不足術(shù)”，“盈不足術(shù)”在國外又稱“雙假借法”，它們都講授一類問題的固定解法。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提倡發(fā)散思維、一題多解和算法多樣化，但缺乏多題一解的“統(tǒng)一思想”。事實(shí)上，著名的科學(xué)家都是學(xué)術(shù)的集大成者，如愛因斯坦、高斯等，他們都善于做統(tǒng)一理論。本課題在全國率先提出將“統(tǒng)一思想”滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)之中，是一種創(chuàng)新，具有較高的學(xué)術(shù)價(jià)值和教學(xué)實(shí)踐意義。

內(nèi)容提要：小學(xué)數(shù)學(xué)教師善于“一題多解”和“就題論題”，不熟悉課程改革提倡的“建模思想”和“多題一解”。立足于提高師生的解題能力，借鑒中國古代的“盈不足術(shù)”和“雞兔同籠”問題，運(yùn)用函數(shù)思想，構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的“通解”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 應(yīng)用題  通解

正文：盡管小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題型是多種多樣的，但它們的數(shù)量關(guān)系一般都可以用一次函數(shù)f(x)=kx+b表示，而且是f(0)=b,f(n)=kn+b,f(n+1)=k(n+1)+b。因此［f(x)-f(0)］÷［f(n+1)+f(n)］=［kx+b-b］÷［k(n+1)+b-(kn+b)］=（kx）÷k=x

上式為我們構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的“通解”提供了算理依據(jù)。

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都可以這樣去解：先將要求數(shù)假設(shè)為0，與實(shí)際結(jié)果比較構(gòu)造一個(gè)數(shù)量差；然后再探尋要求數(shù)每增加1，上述數(shù)量差的變化規(guī)律；最后看要求數(shù)需要增加到多少，才能使這個(gè)數(shù)量差縮減為0。

這種“設(shè)值比較構(gòu)造差，漸次調(diào)整縮減差”的思維方法實(shí)現(xiàn)了小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的“通解”。它的解題結(jié)構(gòu)是“先始于零，再止于零”，體現(xiàn)了“形式”的和諧美；它的解題思想是“先打破平衡，再重建平衡”，蘊(yùn)含著“發(fā)展”的辯證法。

方法運(yùn)用：

例1 48筐梨和42筐蘋果共重1428千克，已知每筐梨比每筐蘋果少4千克。每筐梨和每筐蘋果各重多少千克？

分析與解：假設(shè)每筐梨的重量為0，那么每筐蘋果重4千克。而48筐梨和42筐蘋果共重4×42=168（千克），比實(shí)際少1428-168=1260（千克）。

每筐梨的重量增加1千克，則每筐蘋果的重量也增加1千克，那么48筐梨和42筐蘋果共增加48+42=90（千克）。即上述數(shù)量差縮減90千克。

每筐梨的重量要增加到多少千克，才能使“1260千克”這個(gè)差縮減為0呢？1260÷90=14（千克）。即每筐梨重14千克，而每筐蘋果則重14+4=18（千克）。

綜合算式：（1428-4×42）÷（48+42）=14（千克）  （梨）

          14+4=18（千克）   （蘋果）

例2 一個(gè)筑路隊(duì)原計(jì)劃20天修完一條路，實(shí)際每天比原計(jì)劃多修45米，結(jié)果15天就完成了任務(wù)。原計(jì)劃每天修多少米？

分析與解：假設(shè)原計(jì)劃每天修的長度為0，那么實(shí)際每天修45米。而實(shí)際修的總長度比原計(jì)劃修的總長度多45×15=675（米）。 （兩者實(shí)際應(yīng)相等）

原計(jì)劃每天修的長度每增加1米，則實(shí)際每天修的長度也增加1米，那么原計(jì)劃修的總長度增加20米，實(shí)際修的總長度增加15米，上述數(shù)量差縮減20-15=5（米）。

原計(jì)劃每天修的長度要增加到多少米，才能使“675米”這個(gè)差縮減為0呢？675÷5=135（米），即原計(jì)劃每天修135米。

綜合算式：45×15÷（20-15）=135（米）

例3 雞比兔多3只，兔腳比雞腳朵6只。雞與兔各有多少只？

分析與解：假設(shè)兔的只數(shù)為0，那么雞有3只，而兔腳比雞腳少2×3=6（只）。實(shí)際上，兔腳比雞腳多26只，兩者相差6+26=32（只）。

兔的只數(shù)每增加1只，則雞的只數(shù)也增加1只，而兔腳增加4只，雞腳增加2只，上述數(shù)量差縮減4-2=2（只）。

兔的只數(shù)要增加到多少只，才能使“32只”這個(gè)差縮減為0呢？32÷2=16（只），即兔有16只，而雞則有16+3=19（只）。

綜合算式：（2×3+26）÷（4-2）=16（只）（兔）

          16+3=19（只）

例4 兩堆煤，甲堆重量是乙堆的3倍，如果甲堆運(yùn)來22噸，乙堆運(yùn)2噸，那么甲堆重量是乙堆的5倍。兩堆煤原來各有多少噸？

分析與解：假設(shè)乙堆原來的重量為0，則甲堆原來的重量也是0，甲堆運(yùn)來22噸，乙堆運(yùn)來2噸后，甲堆重量不是乙堆的5倍，而是比乙堆的5倍多22-2×5=12（噸）。

乙堆原來的重量每增加1噸，則甲堆的重量增加3噸。而運(yùn)來后，甲堆增加3噸，乙堆的5倍增加5噸，上述數(shù)量差縮減5-3=2（噸）。

乙堆原來的重量要增加到多少噸，才能使“12噸”這個(gè)差縮減為0呢？12÷2=6（噸），即乙堆原來有6噸，而甲堆原來則有6×3=18（噸）。

綜合算式：（22-2×5）÷（5-3）=6（噸）  （乙堆）

          6×3=18（噸）  （甲堆）

例5 今年，爺爺90歲，孫子21歲，孫女19歲。多少年前爺爺?shù)哪挲g是孫子孫女年齡和的3倍？

分析與解：假設(shè)向前退的年數(shù)為0，但今年?duì)敔數(shù)哪挲g不是孫子孫女年齡和的3倍，而是比孫子孫女年齡和的3倍少（21+19）×3-90=30（歲）。

每向前退1年，爺爺?shù)哪挲g減少1歲，孫子孫女的年齡和減少2歲，那么爺爺?shù)哪挲g與孫子孫女年齡和的3倍之差減少2×3-1=5（歲），即上述數(shù)量差將縮減5歲。

向前退多少年，才能使“30歲”這個(gè)差縮減為0呢？30÷5=6（年），即6年前爺爺?shù)哪挲g是孫子孫女年齡和的3倍。

綜合算式：【（21+19）×3-90】÷（2×3-1）=6（年）

例6 學(xué)校買來籃球和足球共21個(gè)，籃球借出1/3，足球借出1個(gè)后，剩下的兩種球個(gè)數(shù)相等。兩種球各有多少個(gè)？

分析與解：假設(shè)籃球的個(gè)數(shù)為0，那么足球有21個(gè)，借出后，足球比籃球多剩下21-1=20（個(gè)）。

籃球的個(gè)數(shù)每增加1個(gè)，足球的個(gè)數(shù)則減少1個(gè)，借出后，籃球多剩下1-1/3=2/3（個(gè)），而足球少剩下1個(gè)，上述數(shù)量差將縮減2/3+1=5/3（個(gè)）。

籃球的個(gè)數(shù)要增加到多少個(gè)，才能使“20個(gè)”這個(gè)差縮減為0呢？20÷(5/3)=12（個(gè)），即籃球有12個(gè)，而足球則有21-12=9（個(gè)）。

綜合算式：（21-1）÷（1-1/3+1）=12（個(gè) ）（籃球）

          21-12=9（個(gè)） （足球）

例7 商店以每支10.9元的價(jià)格購進(jìn)一批鋼筆，售價(jià)為每支14元，當(dāng)賣出這批鋼筆的4/5時(shí)，不僅收回了全部成本，而且已獲利150元。這批鋼筆一共有多少支？
分析與解：假設(shè)這批鋼筆的支數(shù)為0，那么賣出4/5時(shí)，收回全部成本，比實(shí)際少獲利150元。

這批鋼筆的支數(shù)每增加1支，則可以多獲利14×(4/5)-10.9=0.3（元）。

這批鋼筆的支數(shù)要增加到多少支，才能使“150元”這個(gè)差縮減為0呢？150÷0.3=500（支），即這批鋼筆一共有500支。

綜合算式：150÷［14×(4/5)-10.9］=500（支）

例8 建南小學(xué)六年級(jí)共有學(xué)生84人，其中男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4共有58人。六年級(jí)男、女生各有多少人？

分析與解：假設(shè)男生的人數(shù)為0，那么女生有84人，而男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4共有84×(3/4)=63（人），比實(shí)際多63-58=5（人）。

男生人數(shù)每增加1人，女生人數(shù)則減少1人。而男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4就減少3/4-5/8=1/8（人）。即上述數(shù)量差將縮減1/8人。

男生人數(shù)要增加到多少人，才能使“5人”這個(gè)差縮減為0呢？5÷1/8=40（人）。即男生有40人，而女生則有84-40=44（人）。

綜合算式：［84×(3/4)-58］÷（3/4-5/8）=40（人）（男生）

          84-40=44（人）

值得說明的是，以上例題皆有其它解題思路，雖然上述方法也并非是每道題的最簡解法，但卻是它們的“通解”。

還有許多應(yīng)用題可以這樣來解，在此不再一一舉例。請(qǐng)讀者運(yùn)用“發(fā)展”的觀點(diǎn)和函數(shù)思想，掌握“通解”的方法，去解答更多更難的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧！

練習(xí)題：

1、一張桌子比一把椅子貴22元，而12張桌子比18把椅子貴204元。一把椅子多少元？

2、一批零件，原計(jì)劃每天加工100個(gè)，實(shí)際每天加工120個(gè)，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。原計(jì)劃多少天完成？

3、雞兔共有100只，而雞腳比兔腳多80只。兔有多少只？

4、師生二人，今年老師是學(xué)生年齡的5倍，6年后，老師的年齡是學(xué)生的3倍。今年學(xué)生多少歲？

5、今年，爸爸44歲，兒子12歲。多少年后爸爸的年齡是兒子的3倍？

6、一艘輪船往返于兩碼頭之間，去時(shí)順流每小時(shí)行42千米，返時(shí)逆流每小時(shí)行30千米，往返一共用18小時(shí)。兩碼頭相距多少千米？

7、兩堆煤，甲堆重量是乙堆的4/5，甲堆用去4噸，乙堆用去6噸，剩下的重量，甲堆是乙堆的5/6。乙堆剩下多少噸？

8、姐妹倆共養(yǎng)羊100只，而姐姐養(yǎng)的7/10比妹妹養(yǎng)的7/8多7只。妹妹養(yǎng)羊多少只？

參考答案；

1、（22×12-204）÷（18-12）=10（元）

2、120×5÷（120-100）=30（天）

3、（2×100-80）÷（2+4）=20（只）

4、（6×3-6）÷（5-3）=6（歲）

5、（44-12×3）÷（3-1）=4（年）

6、18÷（1/42+1/30）=315（千米）

7、［6×(4/5)-4］÷（5/6-4/5）=24（噸）

8、［100×(7/10)-7］÷（7/10+7/8）=40（只）

    創(chuàng)新點(diǎn)：立足于提高師生的解題能力，運(yùn)用課程改革提倡的“建模思想”，提出與“一題多解”完全不同的探究思路——“多題一解”，努力構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的“通解”模式。

實(shí)踐效果及推廣價(jià)值：經(jīng)過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，滲透建模思想和函數(shù)思想，能很快地提高小學(xué)師生解決問題的能力，進(jìn)一步體會(huì)解題策略的多樣化。此研究成果，為開展數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)提供一個(gè)重要的內(nèi)容和方法。

參考文獻(xiàn)：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

課題研究開始時(shí)間：2002年

早期研究成果：

1、例談?dòng)蛔阈g(shù)（1998年《小學(xué)教學(xué)研究》第7期）

2、雙假借構(gòu)造盈虧解應(yīng)用題（1998年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》第7-8期）

3、用函數(shù)思想探求小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題“解”的規(guī)律（2002年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》小學(xué)版第6期）

后期研究成果：

1、編制數(shù)字題解的口訣（2006年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》小學(xué)版第1-2期）

2、破解奇數(shù)階幻方（2007年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》小學(xué)版第1-2期）

3、后延減前伸 差數(shù)除以N——例談?wù)麛?shù)裂項(xiàng)（2007年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》小學(xué)版第4期）

4、類比“兩物假設(shè)置換”構(gòu)建“三物假設(shè)置換”（ 2009年《中小學(xué)數(shù)學(xué)》小學(xué)版第6期）