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　　【話題1】統(tǒng)計(jì)知識(shí)很實(shí)在，統(tǒng)計(jì)觀念太虛無(wú)。該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念？
　　1.關(guān)于知識(shí)與觀念
　　◆知識(shí)：人們?cè)诟脑炜陀^世界的實(shí)踐中所獲得的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的總和。
　　◆觀念：思想意識(shí)；客觀事物在人腦里留下的概括的形象（有時(shí)指表象）。
　　◆統(tǒng)計(jì)知識(shí)固然重要，但更重要的是引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生用數(shù)據(jù)說(shuō)話的意識(shí)，形成統(tǒng)計(jì)觀念。
　　◆統(tǒng)計(jì)觀念主要指：能產(chǎn)生利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)；能從統(tǒng)計(jì)角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問(wèn)題；能根據(jù)數(shù)據(jù)作出合理的決策；能對(duì)數(shù)據(jù)的來(lái)源、收集和描述數(shù)據(jù)的方法及由數(shù)據(jù)得到的結(jié)果提出合理的質(zhì)疑。
　　◆觀念的形成離不開(kāi)知識(shí)的學(xué)習(xí)，需要在親自經(jīng)歷的過(guò)程中逐步形成。
　　2.利用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解九宮圖
　　第一步，算出和為15。
　　第二步，統(tǒng)計(jì)和為15的所有算式中，各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)。
　　1+9+5 1+8+6
　　2+9+4 2+8+5 2+7+6
　　3+8+4 3+7+5
　　4+6+5
　　數(shù)字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　　次數(shù) 2 3 2 3 4 3 2 3 2
　　第三步，確定中心，確定角上的數(shù)字。
　　變式：關(guān)于九宮的變式。
　　3.用統(tǒng)計(jì)知識(shí)破解街頭游戲
　?。?）游戲規(guī)則：每玩一次交1元錢。
　　第一步，選定順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较颉?br>　　第二步，從1~10、J（11）、Q（12）、K（13）這13張牌中任意抽出1張牌。
　　第三步，抽到幾就從外圈的幾開(kāi)始，按選定的方向，從下1格開(kāi)始數(shù)幾，到了哪1格，就獲得哪一格內(nèi)圈對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金。到了“謝謝”這一格，就給攤主5元錢。
　　
　　
　　
　　
　　
　?。?）破解
　　牌面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
　　順向 2 5 1 5 3 5 5 5 6 5 4 5 7
　　逆向 5 3 5 1 5 2 5 7 5 4 5 6 5
　　【話題2】統(tǒng)計(jì)與概率有什么關(guān)系？
　　1.統(tǒng)計(jì)與概率的初步認(rèn)識(shí)
　?。?）統(tǒng)計(jì)
　　◆主要內(nèi)容是數(shù)據(jù)處理，包括收集（“正”字統(tǒng)計(jì)法、分類統(tǒng)計(jì)、象形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)）——整理（歸類記數(shù)、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)表征形式等）——呈現(xiàn)（列表法、借助統(tǒng)計(jì)圖表呈現(xiàn)等）——分析（借助平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量，或統(tǒng)計(jì)圖表的變化規(guī)律分析數(shù)據(jù)）——利用（作出選擇、分析發(fā)展趨勢(shì)等）的過(guò)程。
　?。?）概率
　　◆主要內(nèi)容是認(rèn)識(shí)可能事件，包括體驗(yàn)不確定現(xiàn)象（拋硬幣等游戲）——體會(huì)可能性有大有?。颉⑥D(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤、拋圖釘）——認(rèn)識(shí)等可能性（列出簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果，判斷游戲的公平性）——用分?jǐn)?shù)表示可能性的大?。ü诺涓判椭R(shí)的學(xué)習(xí)）。
　　2.典型的概率模型
　　◆古典概型
　　條件：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)（記為n個(gè)）；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。
　　公式：事件A（包含k個(gè)基本事件）發(fā)生的概率P(A) =k /n。
　　實(shí)例：硬幣的正反兩面、骰子的6個(gè)面、從撲克牌中抽牌。
　　◆幾何概型
　　條件：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（3）每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（或面積或體積）成比例。
　　公式：事件A發(fā)生的概率P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）/ 全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）。
　　實(shí)例：以轉(zhuǎn)盤為例，指針指向紅色區(qū)域的概率P（紅）= 紅色區(qū)域的面積 / 圓面積。
　　◆統(tǒng)計(jì)概型
　　條件：（1）通過(guò)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算事件發(fā)生的頻率，重復(fù)做n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率為m/n；（2）隨著n逐漸增大，頻率m/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，且滿足大數(shù)定律。
　　公式：數(shù)值p稱為事件A發(fā)生的概率。
　　實(shí)例：拋圖釘釘尖觸地的概率、交通事故發(fā)生的概率、某產(chǎn)品的次品率。
　　說(shuō)明：（1）幾何概型實(shí)際上是古典概型的推廣，其主要區(qū)別在于古典概型通常是離散的、可數(shù)的，而幾何概型通常是連續(xù)的、不可數(shù)的。（2）一般情況下，求古典概型和幾何概型以外事件發(fā)生的概率用統(tǒng)計(jì)概型。（3）當(dāng)以實(shí)驗(yàn)-統(tǒng)計(jì)的方式來(lái)確定古典概型和幾何概型中事件發(fā)生的概率時(shí)，古典概型和幾何概型也可以看做是統(tǒng)計(jì)概型。如我們從分析的角度確定硬幣正面出現(xiàn)的概率為1/2時(shí)，采用的是古典概型；而我們通過(guò)統(tǒng)計(jì)得出出現(xiàn)正面的頻率穩(wěn)定在1/2附近時(shí)，采用的是統(tǒng)計(jì)概型。
　　3.統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系
　　◆分類是統(tǒng)計(jì)的常用方法，也是求古典概型的基礎(chǔ)。
　　◆實(shí)驗(yàn)是連接統(tǒng)計(jì)與概率的橋梁。
　　◆統(tǒng)計(jì)概型中事件發(fā)生的概率只能通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)來(lái)確定，即只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)頻率確定概率。
　　◆古典概型和幾何概型中事件發(fā)生的概率是理論概率，可以通過(guò)大數(shù)次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率來(lái)刻畫(huà)，即在大數(shù)定律的支持下實(shí)驗(yàn)頻率最終和理論概率趨于一致。
　　【話題3】學(xué)生說(shuō)：“我一定會(huì)考上大學(xué)。”教師該如何應(yīng)對(duì)？
　　◆概率中的“一定”是指事情必然發(fā)生，“不可能”指一定不會(huì)發(fā)生的事件，但生活中的“一定”、“不可能”常常只表示主觀愿望的程度，如“我一定會(huì)考上大學(xué)”、“你必須完成這項(xiàng)工作”。
　　◆概率中的“可能”用來(lái)描述即將發(fā)生的隨機(jī)事件的發(fā)生情況，生活中的“可能”有時(shí)表示對(duì)已然事實(shí)的不確定性判斷，如“我可能比你大”。
　　◆會(huì)用“一定”或“可能”說(shuō)一句話≠理解了事件發(fā)生的確定性和不確定性。
　　◆對(duì)于某一客觀事件來(lái)說(shuō)，它發(fā)生的確定性與不確定性與個(gè)人的愿望無(wú)關(guān)。
　　【話題4】從7個(gè)紅球3個(gè)白球中摸10次球，有個(gè)學(xué)生摸出了9次白球。該怎么辦？
　　◆隨機(jī)現(xiàn)象：（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)；（2）其結(jié)果具有至少兩種可能性；（3）每次試驗(yàn)前，無(wú)法預(yù)言將出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，但在大量的試驗(yàn)中某結(jié)果的出現(xiàn)具有規(guī)律性。
　　◆隨機(jī)事件具有偶然性與規(guī)律性。偶然性的通俗解釋就是，知道它可能會(huì)出現(xiàn)，但永遠(yuǎn)無(wú)法肯定它會(huì)出現(xiàn)。規(guī)律性的通俗解釋就是，不知它何時(shí)會(huì)出現(xiàn)，但知道大數(shù)次實(shí)驗(yàn)后，它發(fā)生的頻率較穩(wěn)定。
　　◆實(shí)驗(yàn)的目的不是為了驗(yàn)證某事件發(fā)生的概率到底有多大，也不是為了驗(yàn)證學(xué)生的猜測(cè)是否準(zhǔn)確，其主要價(jià)值在于，讓學(xué)生在親歷活動(dòng)的過(guò)程中體會(huì)、理解隨機(jī)事件的兩面性：與所猜吻合或接近，說(shuō)明它具有規(guī)律性的一面；與所猜不吻合，正好說(shuō)明它具有不確定性的一面。
　　【話題5】同時(shí)拋兩枚硬幣，出現(xiàn)一正一反的可能性為什么不是1/3？
　　1.認(rèn)識(shí)事件
　　◆隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，如同時(shí)拋兩枚硬幣時(shí)的隨機(jī)事件有“兩正”、“兩反”、“一正一反”三種。
　　◆有些隨機(jī)事件還可以繼續(xù)分解為更小的事件，如“一正一反”這一事件還可以分為“甲正乙反”和“甲反乙正”兩個(gè)事件。無(wú)法分解的事件，稱為基本事件，如同時(shí)出現(xiàn)兩正或兩反的事件。
　　◆并不是所有的基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，發(fā)生的可能性大小相等的事件稱為等可能事件。
　　◆用古典概型計(jì)算事件發(fā)生的可能性大小時(shí)，必須在等可能的條件下借助基本事件完成。
　　2.教材中關(guān)于事件的階段性特點(diǎn)
　　◆教材中的事件既有一般事件，也有基本事件。如：北師大版三年級(jí)下冊(cè)第76頁(yè)“討論”呈現(xiàn)的內(nèi)容為“從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黃球的盒子里，一次摸出2個(gè)球，可能出現(xiàn)哪些結(jié)果”，教材要求學(xué)生填出2個(gè)黃球、2個(gè)白球、黃球和白球各1個(gè)這3種情況；人教版五年級(jí)上冊(cè)第103頁(yè)“你認(rèn)為用‘石頭、剪子、布’決定誰(shuí)先跳公平嗎”，教材要求學(xué)生列出9種基本事件。
　　◆不同階段對(duì)列出所有事件的要求是不同的：第一學(xué)段只要求列出一般事件，感受事件發(fā)生的可能性有大有??；第二學(xué)段則要求列出所有基本事件，體驗(yàn)等可能事件，并借助分?jǐn)?shù)刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性大小。
　　【話題6】5個(gè)簽中有2個(gè)一等獎(jiǎng)，先抽的人抽中一等獎(jiǎng)的可能性更大嗎？
　　◆觀點(diǎn)：只有在甲抽完后把獎(jiǎng)券放回去再抽才公平嗎？
　　◆證明：甲抽中一等獎(jiǎng)的可能性是2/5；乙抽中一等獎(jiǎng)的可能性為2/5×1/4+3/5×2/4，計(jì)算并化簡(jiǎn)得2/5，即甲乙抽中的可能性一樣大。
　　◆思考：怎樣引導(dǎo)學(xué)生接受甲乙抽中一等獎(jiǎng)的可能性大小相等？
　?。?）反問(wèn)：按照你的觀點(diǎn)，甲抽中二等獎(jiǎng)的可能性是不是也比乙大；如果甲沒(méi)有抽中二等獎(jiǎng)，乙抽到一等獎(jiǎng)的可能性就比甲大嗎？學(xué)生覺(jué)得甲抽到一等獎(jiǎng)的可能性大，是因?yàn)樗蛔⒁獾郊壮闀r(shí)一等獎(jiǎng)“比較多”，而忽略了甲抽時(shí)二等獎(jiǎng)也多，或只注意到甲抽中了一等獎(jiǎng)后，乙再抽中一等獎(jiǎng)的可能性只有1/4，而沒(méi)有注意到甲沒(méi)有抽中一等獎(jiǎng)后，乙再抽中一等獎(jiǎng)的可能性是2/4。因此，教師可根據(jù)學(xué)生的發(fā)言相機(jī)提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生的思維沖突。
　?。?）實(shí)驗(yàn)：組織學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)若干次，讓學(xué)生親歷體驗(yàn)，在抽簽活動(dòng)中體驗(yàn)規(guī)則的公平性，再對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在分析數(shù)據(jù)時(shí)深化體驗(yàn)。
　?。?）分析：把一等獎(jiǎng)的兩張券分別記為A1、A2，二等獎(jiǎng)的三張分別記為B1、B2、B3，列出甲乙抽到的獎(jiǎng)券的20種情況。甲乙抽到一等獎(jiǎng)的都有8種情況，即中獎(jiǎng)率都為8/20，化簡(jiǎn)后為2/5。
　?。ˋ1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）；
　?。ˋ2，A1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）；
　?。˙1，A1），（B1，A2），（B1，B2），（B1，B3）；
　?。˙2，A1），（B2，A2），（B2，B1），（B2，B3）；
　?。˙3，A1），（B3，A2），（B3，B1），（B3，B2）。
　　【話題7】能這樣教學(xué)《用分?jǐn)?shù)表示可能性大小》嗎？
　　案例：某教師執(zhí)教《用分?jǐn)?shù)表示可能性大小》時(shí)的主要環(huán)節(jié):
　?。?）從2張撲克牌（1張紅桃1，1張紅桃2）中任意摸一張，摸到紅桃A的可能性是幾分之幾？
　?。?）從3張撲克牌（增加1張紅桃A）中任意摸1張，摸到紅桃A的可能性是幾分之幾？
　?。?）從4張撲克牌中（增加1張黑桃2），摸到紅桃A的可能性時(shí)幾分之幾？
　?。?）從5張撲克牌中（增加1張黑桃3），摸到紅桃A的可能性是幾分之幾？你還能想到哪些表示可能性大小的分?jǐn)?shù)？
　?。?）再增加1張牌（學(xué)生不知道增加的是什么牌），從中任意摸1張，摸到紅桃A的可能性是幾分之幾？你是怎樣想的？
　　思考：
　?。?）用分?jǐn)?shù)表示可能性大小的前提條件是什么？
　?。?）用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小與用分?jǐn)?shù)表示陰影部分有什么區(qū)別？
　　【話題8】預(yù)測(cè)，只要有理就行嗎？
　　2009年某縣小學(xué)畢業(yè)會(huì)考中的統(tǒng)計(jì)題：請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)第一車間七月份產(chǎn)值如何?并說(shuō)出理由。
　　
　　1.預(yù)測(cè)：從不同角度預(yù)測(cè)，會(huì)得到不同的結(jié)果。
　?、倏蹿厔?shì)。1~3月產(chǎn)值下降，4~6月上升，說(shuō)明技術(shù)已改良，因此產(chǎn)值會(huì)越來(lái)越高。
　　②看平均數(shù)。1~6月平均產(chǎn)值是35萬(wàn)元，因此7月份的產(chǎn)值可能是35萬(wàn)元。
　?、劭礃O值。上半年和下半年的產(chǎn)值可能差不多，1月40萬(wàn)元，2月就降到33萬(wàn)元，6月又是40萬(wàn)元，因此7月可能會(huì)下降到33萬(wàn)元。
　　④看范圍。1~6月的最低值是28萬(wàn)元，最高值是40萬(wàn)元，因此7月的產(chǎn)值在28~40萬(wàn)元之間。
　?、菘刺鞌?shù)。7月是大月，比6月多1天，因此產(chǎn)值會(huì)上升。
　?、蘅醇竟?jié)。7月天氣太熱了，工人不愛(ài)出門在廠里上班，產(chǎn)值會(huì)上升；7月天氣比較熱，工人可能會(huì)請(qǐng)假回家休息，因此產(chǎn)值會(huì)下降。
　?、呖幢尘啊?月孩子都放暑假，大人比較安心工作，因此產(chǎn)值上升；現(xiàn)在金融危機(jī)，經(jīng)濟(jì)不景氣，因此產(chǎn)值會(huì)下降。
　　⑧看市場(chǎng)。7月天氣熱，空調(diào)需求量多，因此產(chǎn)值上升；7月是收割的季節(jié)，農(nóng)民會(huì)在5~6月份提前購(gòu)買機(jī)械，因此5~6月份產(chǎn)值上升，7月份產(chǎn)值下降。
　　2.思考：基于統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)和基于常情的預(yù)測(cè)一樣嗎？
　　◆預(yù)測(cè)，就是根據(jù)歷史情況或現(xiàn)實(shí)狀況來(lái)推斷其未來(lái)的狀況，其前提是假設(shè)過(guò)去存在的變化規(guī)律和當(dāng)下?tīng)顩r，將來(lái)仍然會(huì)繼續(xù)保持或延續(xù)。
　　◆不同角度預(yù)測(cè)同一事件發(fā)展趨勢(shì)，可能得出不同的預(yù)測(cè)結(jié)果。
　　◆不論以何種角度預(yù)測(cè)，都是合情推理行為，因此預(yù)測(cè)結(jié)果不可絕對(duì)化，應(yīng)用多“可能是”、“也許是”等詞語(yǔ)。
　　◆基于常情的預(yù)測(cè)，不看統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)、事件背景、主觀心向等進(jìn)行預(yù)測(cè)。
　　◆基于數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，借助數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律，做出合理的推斷和預(yù)測(cè)。
　　3.總結(jié)：突出基于統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)的主要地位，適度關(guān)照基于常情的預(yù)測(cè)。
　　◆預(yù)測(cè)的理由和過(guò)程比結(jié)果更重要，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生借助數(shù)據(jù)思考問(wèn)題、作出決策的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生做到“言之有理”、“推之有據(jù)”。
　　◆統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的預(yù)測(cè)應(yīng)該是基于數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，而不是基于生活常情的預(yù)測(cè)。因此，呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)應(yīng)有較強(qiáng)的規(guī)律性，而不能是規(guī)律不明顯的。
　　◆當(dāng)學(xué)生游離于基于數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)時(shí)，教師既要肯定學(xué)生結(jié)合常情預(yù)測(cè)的合理性，也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)。
　　◆基于數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)警惕數(shù)據(jù)可能產(chǎn)生的誤導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的辨證意識(shí)。如根據(jù)近四屆我國(guó)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)預(yù)測(cè)第30屆的金牌數(shù)。（1988年 5，1992年 16，1996年 16，2000年 28，2004年 32，2008年51。）
　　【話題9】為什么學(xué)生找不到眾數(shù)和中位數(shù)？
　　案例
　　北師大版五年級(jí)下冊(cè)第89頁(yè)“練一練”中的習(xí)題3：某商店銷售5種領(lǐng)口尺寸分別為38cm，39cm，40cm，41cm，42cm的襯衫，為了了解各種領(lǐng)口尺寸襯衫的銷售情況，商店統(tǒng)計(jì)了某月的銷售情況（見(jiàn)下表）。
　　領(lǐng)口尺寸/cm 38 39 40 41 42
　　售出件數(shù) 13 19 34 15 9
　　你認(rèn)為商店應(yīng)多進(jìn)哪種襯衫？
　　現(xiàn)象：學(xué)生找不到眾數(shù)和中位數(shù)了。
　　配套的《教師教學(xué)用書(shū)》是這樣敘述的：“本題實(shí)際上已經(jīng)進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理，統(tǒng)計(jì)表中呈現(xiàn)了每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)。40cm的襯衫有34件，也就是40cm出現(xiàn)的次數(shù)最多，40就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到40是眾數(shù)，34不是眾數(shù)。”但絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下問(wèn)題：①不知道是該在“領(lǐng)口尺寸”還是該在“售出件數(shù)”中找眾數(shù)。②認(rèn)為“銷售件數(shù)”中沒(méi)有眾數(shù)。③認(rèn)為“領(lǐng)口尺寸”沒(méi)有眾數(shù)。但耐人尋味的是，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該多進(jìn)領(lǐng)口尺寸為40cm的襯衫，因?yàn)檫@種型號(hào)的襯衫賣得好。雖然，學(xué)生最終也給出了“正確”答案，但其思維過(guò)程顯然不是我們預(yù)期的。某教師讓學(xué)生結(jié)合這一情境找中位數(shù)，結(jié)果幾乎沒(méi)有學(xué)生找對(duì)中位數(shù)。
　　思考：為什么學(xué)生會(huì)求教材例題中的眾數(shù)和中位數(shù)，但不會(huì)求本題中的眾數(shù)？
　?。?）北師大版教材分析。北師大版教材從人們找工作時(shí)最關(guān)心的工資問(wèn)題入手，讓學(xué)生意識(shí)到當(dāng)平均數(shù)因受極值影響而不能很好地代表某組數(shù)據(jù)的一般水平時(shí)，需要引入新的統(tǒng)計(jì)量——中位數(shù)和眾數(shù)。接下來(lái)，教材給出了中位數(shù)、眾數(shù)的定義，并在“試一試”中單獨(dú)介紹數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)中位數(shù)的求法。“例題”中的數(shù)據(jù)都是原始的、且是有序的；而習(xí)題中的數(shù)據(jù)，除習(xí)題1中是按順序呈現(xiàn)的原始數(shù)據(jù)外，習(xí)題2呈現(xiàn)的是無(wú)序數(shù)據(jù)，習(xí)題3呈現(xiàn)的是表格式的數(shù)據(jù)。對(duì)比例題和習(xí)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解習(xí)題3時(shí)出現(xiàn)諸多問(wèn)題的關(guān)鍵在于多數(shù)教師忽略了有序與無(wú)序、原始數(shù)據(jù)與表格數(shù)據(jù)的銜接，導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)斷鏈。
　?。?）人教版教材分析。人教版五年級(jí)下冊(cè)第122頁(yè)《眾數(shù)》的“例題”編排：例1以選拔參加集體舞比賽的隊(duì)員為情境引入，此時(shí)的數(shù)據(jù)是原始的、有序的；例2（“做一做”）結(jié)合學(xué)生左眼視力的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)眾數(shù)的理解和應(yīng)用，先呈現(xiàn)40個(gè)無(wú)序排列的原始數(shù)據(jù)，再要求學(xué)生將其整理成具有9個(gè)項(xiàng)目的表格數(shù)據(jù)。這樣的編排突顯了將原始數(shù)據(jù)整理成簡(jiǎn)約數(shù)據(jù)的過(guò)程。
　?。?）對(duì)比分析。北師大版教材明顯壓縮了過(guò)程，過(guò)快地指向眾數(shù)的定義和求法，省略了將原始數(shù)據(jù)整理成簡(jiǎn)約數(shù)據(jù)或?qū)⒑?jiǎn)約數(shù)據(jù)還原為原始數(shù)據(jù)的過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)眾數(shù)沒(méi)有產(chǎn)生深刻的體驗(yàn)，沒(méi)有掌握眾數(shù)求法的形成過(guò)程。
　　建議：讓學(xué)生充分經(jīng)歷將原始數(shù)據(jù)整理成簡(jiǎn)約數(shù)據(jù)的過(guò)程，溝通原始數(shù)據(jù)與簡(jiǎn)約數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)量的聯(lián)系。
　　◆第一層次，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷將無(wú)序數(shù)據(jù)整理成有序數(shù)據(jù)的過(guò)程，重在調(diào)整數(shù)據(jù)的順序。如教學(xué)北師大版時(shí)，可先教學(xué)例題1和“試一試”，再呈現(xiàn)類似“2、8、4、5、6、3、2、3、4、2、5、3、2的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少”的練習(xí)，由學(xué)生先將數(shù)據(jù)整理成“2、2、2、2、3、3、3、4、4、5、5、6、8”，再解決問(wèn)題。
　　◆第二層次，引導(dǎo)學(xué)生將原始數(shù)據(jù)整理成有序的、簡(jiǎn)約的數(shù)據(jù)形式，重在對(duì)已整理出順序的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)化表示。如上述數(shù)據(jù)既可整理成“2出現(xiàn)了4次、3出現(xiàn)了3次、4出現(xiàn)了2次、5出現(xiàn)了2次、6出現(xiàn)了1次、8出現(xiàn)了1次”，也可整理成如下表的形式。
　　出現(xiàn)的數(shù) 2 3 4 5 6 8
　　出現(xiàn)的次數(shù) 4 3 2 2 1 1
　　◆第三層次，引導(dǎo)學(xué)生尋找原始數(shù)據(jù)與簡(jiǎn)約數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的聯(lián)系，知道原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了哪些數(shù)，每個(gè)數(shù)出現(xiàn)了多少次。尤其是面對(duì)表格式的數(shù)據(jù)時(shí)，要知道表格中的統(tǒng)計(jì)項(xiàng)、統(tǒng)計(jì)結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的關(guān)系，如上表中第一行中的項(xiàng)是原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，第二行中的項(xiàng)是原始數(shù)據(jù)中不同數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，原始數(shù)據(jù)不是“2，3，4，5，6，8”這6個(gè)，而是“2、2、2、2、3、3、3、4、4、5、5、6、8”這13個(gè)，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，眾數(shù)是2。
　　【話題10】能總結(jié)出什么時(shí)候用哪種統(tǒng)計(jì)量嗎？
　　問(wèn)題：選誰(shuí)去參加比賽更合適？為什么？
　　一個(gè)射擊隊(duì)要從兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一名參加比賽。兩人在選拔賽上各打了10發(fā)子彈，成績(jī)?nèi)缦拢?br>　　甲 9.5 9.8 9.5 9.4 9.7 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
　　乙 10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
　　分歧：甲乙的平均成績(jī)一樣，無(wú)法通過(guò)比較平均數(shù)確定誰(shuí)去。產(chǎn)生的分歧有：
　　（1）堅(jiān)持用中位數(shù)。甲的中位數(shù)是9.5，乙的中位數(shù)是9.8，因此應(yīng)該選乙去。
　?。?）堅(jiān)持用眾數(shù)。甲的眾數(shù)是9.5，乙的眾數(shù)是10，說(shuō)明乙“多數(shù)情況”比甲強(qiáng)，因此應(yīng)該讓乙去。
　?。?）綜合分析。雖然乙的眾數(shù)大、中位數(shù)也大，但甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮明顯比乙更穩(wěn)定，因此應(yīng)該派甲去。
　　建議：統(tǒng)計(jì)量只是供人們解決問(wèn)題時(shí)的參考指標(biāo)，并不具備絕對(duì)意義，不能僵化地運(yùn)用，前面提到的兩種觀點(diǎn)都有道理，也都比較片面，因?yàn)樗麄兌贾豢紤]了己方隊(duì)員的情況而沒(méi)有考慮對(duì)手的情況。比賽除了實(shí)力，還要講求策略：①9.4及以上，甲9次，乙7次，且甲穩(wěn)定。如果對(duì)手的多數(shù)成績(jī)不到9.5，甲去更適合。②9.5及以上，甲乙各7次，且乙高于9.5的次數(shù)多。如果對(duì)手的多數(shù)成績(jī)?cè)?.5左右，乙去更適合。③9.6及以上，甲2次，乙6次。如果對(duì)手的多數(shù)成績(jī)達(dá)到9.6及以上，乙去更適合。當(dāng)然，這些也只是針對(duì)對(duì)手的多數(shù)成績(jī)而言的，具體問(wèn)題還得具體分析。就本題而言，重點(diǎn)不是讓學(xué)生選出結(jié)果，而是讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和分析，說(shuō)出自己的理由，發(fā)展統(tǒng)計(jì)意識(shí)和統(tǒng)計(jì)思想。
　　延伸：中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都是表示一組數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計(jì)量，但又有區(qū)別。
　　（1）平均數(shù)是一個(gè)“算”出來(lái)的“虛擬”的數(shù)，與這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，能夠最充分地反映這組數(shù)據(jù)所包含的信息，能反映一組數(shù)據(jù)的總體水平，應(yīng)用最廣泛，其缺點(diǎn)是計(jì)算比較繁，而且受極端特異數(shù)的影響比較大。通俗地理解，平均數(shù)是“見(jiàn)者有份”。
　?。?）中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間位置，反映了這組數(shù)據(jù)的中間水平，不易受極端數(shù)據(jù)影響，其求法比較靈活，其缺點(diǎn)是涵蓋的數(shù)據(jù)信息較少。通俗地理解，中位數(shù)是“分水嶺”。
　?。?）眾數(shù)著眼于對(duì)不同數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)的考察，關(guān)注的是出現(xiàn)次數(shù)多的數(shù)據(jù)，但其“眾”只是相對(duì)的（比如100個(gè)數(shù)據(jù)中，只有一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)過(guò)2次，其它都只出現(xiàn)1次），所以可靠性較小。通俗地理解，眾數(shù)是“人氣指數(shù)”。
　　究竟該采用哪種統(tǒng)計(jì)量描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)更好，并不是絕對(duì)的、唯一確定的。教師應(yīng)注意避免受“確定的數(shù)學(xué)”思想的影響，結(jié)合具體的情境（含數(shù)據(jù)信息）靈活分析、解決問(wèn)題。