數(shù)學(xué)大觀——文科數(shù)學(xué)教學(xué)的一次嘗試

一年以前，北航研究生院希望我為北航文科的研究生開設(shè)一門數(shù)學(xué)課程，課程的內(nèi)容和名稱都由我確定。我雖然上過多年的數(shù)學(xué)課，并且在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會分工負責(zé)文科的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)，組織并參加了幾次有關(guān)的會議，但實在沒有給文科的學(xué)生上數(shù)學(xué)課的經(jīng)歷，因此有興趣借此機會進行一次試驗，獲得一些感性認識。

為了上這門課，首先要解決的問題是：給這些文科的研究生上數(shù)學(xué)課要達到什么教學(xué)目的？如果是經(jīng)濟類的“文科”，學(xué)生在專業(yè)學(xué)習(xí)和研究中本來就需要用到許多具體的數(shù)學(xué)知識，他們可以去學(xué)習(xí)理工科的相應(yīng)的數(shù)學(xué)課。但是，如果是語言、文學(xué)、哲學(xué)這樣“真正意義”的文科，對他們有用的其實不是某些具體的數(shù)學(xué)知識，而是數(shù)學(xué)的思想和觀念。而且，他們中的不少人，當(dāng)初之所以選擇文科而不選擇理工科，很大程度上是由于對數(shù)學(xué)的害怕、討厭甚至仇恨。如果再板著面孔將一些具體的數(shù)學(xué)知識硬灌給他們，不但不可能讓他們掌握這些數(shù)學(xué)知識，反而會強化他們對數(shù)學(xué)的反感和仇視，有什么好處呢？因此，我一開始確定的教學(xué)目標(biāo)就是：1. 展示數(shù)學(xué)的神奇、精彩、美麗的本來面目，在一定程度上贏得文科學(xué)生對數(shù)學(xué)的好感和興趣；即使達不到這一目的，哪怕能夠降低他們對數(shù)學(xué)的反感和仇視也好。2. 讓文科學(xué)生對數(shù)學(xué)的一些重要的思想方法有所了解和體會。

怎樣才能引起文科學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，并幫助他們對數(shù)學(xué)的思想方法有所了解和體會？如果只是說一些贊揚數(shù)學(xué)的華麗詞語，講一些數(shù)學(xué)思想方法的高談闊論，很可能會適得其反，不但不能讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，懂得數(shù)學(xué)，反而使他們對數(shù)學(xué)更反感。我的計劃是通過一些具體的例子來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精彩和美麗、思想和方法。金庸的武俠小說《倚天屠龍記》中張三豐教張無忌太極劍，先是張三豐通過一定的招式來演示，然后張無忌跟著學(xué)習(xí)。張無忌使出來的招式竟然與張三豐的大不相同。張三豐不但不責(zé)怪張無忌離經(jīng)叛道，反而要求張無忌將他所演示的招式徹底忘掉，才算是真正學(xué)會了。這個故事雖然顯得有些離譜，但是卻體現(xiàn)了一種高明的教學(xué)方式：張無忌需要學(xué)的不是太極劍的具體招數(shù)，而是太極劍的意識和理念。然而意識和理念必須通過具體招數(shù)來體現(xiàn)。張無忌透過具體招數(shù)學(xué)到了意識和理念，然后又將這些招數(shù)拋棄，在實戰(zhàn)使用中通過自己隨心所欲使出來的另外的招數(shù)體現(xiàn)了學(xué)到的意識和理念。簡而言之就是：無招勝有招，通過有招學(xué)無招。我設(shè)計的文科數(shù)學(xué)的課程就采用了這樣的思路：通過數(shù)學(xué)中一些重大的問題及其解決的過程，來體現(xiàn)解決問題的思路。尤為重要的是：最關(guān)鍵的最原創(chuàng)的思路往往是最簡單的，因而是最精彩的。我從最簡單的 3+2=5 開始，以此為例說明數(shù)學(xué)的抽象就是“難得糊涂”，就是從不同的事物中忽略不同點而提取共同點。將“3個手指加2個手指”、“3支鉛筆加2只鉛筆”、“3個乒乓球加2個乒乓球”混為一談，忽略了肉做的手指和木頭做的鉛筆的差別、長的和圓的差別，只關(guān)心數(shù)量的多少，這就是“3+2=5”。用字母表示數(shù)，如乘法公式 “(a-b)²=a²+b²-2ab”，字母所代表的數(shù)的多少也忽略了，提取出共同的運算規(guī)律。更高水平的“糊涂”是這個公式中的字母 a,b 甚至可以不代表數(shù)而是代表向量，得到的就是幾何學(xué)中的余弦定理。這只是一個例子。整個課程的目的就是為了傳播理念而不是為了傳授“招數(shù)”，但課程的內(nèi)容全部是由“招數(shù)”組成，這就是“通過有招學(xué)無招”。

“3+2=5”是幼兒園的算術(shù); 用字母表示數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué); 即使再舉一些微積分的例子甚至“有理數(shù)更多還是無理數(shù)更多”這樣的例子，至多也只是大學(xué)本科的數(shù)學(xué)。這樣“低等”的數(shù)學(xué)能作為研究生的數(shù)學(xué)課程嗎？研究生的課程水平當(dāng)然應(yīng)當(dāng)比本科生課程更高。但是對于文科研究生的數(shù)學(xué)課程來說，水平更高不一定體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的難度，而可以體現(xiàn)在思想的深度和哲學(xué)的高度。“抽象就是難得糊涂”，“通過有招學(xué)無招”，說的是“普遍性存在于特殊性之中、抽象存在于具體之中”這樣的哲學(xué)觀點。針對文科學(xué)生的特長，整個課程的各個例子及其敘述方式，既體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)思想，也體現(xiàn)一定的哲學(xué)思想。為了增加本課程的人文氣氛，還舉了不少金庸的武俠小說中的例子來說明這些思想，并且采用了詩歌的語言來體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想。例如，在講復(fù)數(shù)時不是強行定義i²= – 1，而是通過詩句“平方得負豈荒唐，左轉(zhuǎn)兩番朝后方”給出了一個幾何模型：將“左轉(zhuǎn) 90^o ”的變換記作 i ，則 i² 就是“左轉(zhuǎn)兩番”，也就是左轉(zhuǎn) 180^o, 就是向后轉(zhuǎn)，相當(dāng)于用 – 1 去乘。又如，詩句“星移斗轉(zhuǎn)落銀河，月印三潭伴碧波。保短保長皆變換，能伸能屈是幾何”不但給出了線性變換的兩個例子：“星移斗轉(zhuǎn)”（繞軸的旋轉(zhuǎn)）、“月印三潭”（關(guān)于平面的對稱），還體現(xiàn)了關(guān)于幾何變換的不變量的著名的愛爾蘭根綱領(lǐng)。除了有詩歌，還有音樂：利用等比數(shù)列計算了 1,2,3,4,5,6,7, i 各個音的頻率，再利用計算機編程播放出來。其目的，是希望改變數(shù)學(xué)在文科學(xué)生中死板枯燥、恐怖冷峻的成見，代之以既英姿颯爽又和藹可親的本來面目。

這個課程叫什么名稱也使我費了不少心思。既然是“通過有招學(xué)無招”，最先想到的是“數(shù)學(xué)思想概論”、“數(shù)學(xué)的思想與方法”這一類的名稱。但又覺得這樣的名稱過于板著面孔，沒有親切感，缺乏人文氣息。想了好幾個月也沒有想出一個滿意的名稱。直到2005年暑假，我在成都出差，北航研究生院一位工作人員打我的手機催我趕快確定課程名稱。當(dāng)時我還坐在出租車上在熙熙攘攘的大街小巷穿行。也許是受天府之國人杰地靈的人文氣氛的啟發(fā)吧，突然想起念中學(xué)時就背熟了的范仲淹的《岳陽樓記》中的一句“此則岳陽樓之大觀也”，當(dāng)即決定將課程名稱定為“數(shù)學(xué)大觀”，就是說，它是數(shù)學(xué)的一幅寫意畫而不是工筆畫。不敢說這個名字就是最好的。但在后來上課的時候向?qū)W生解釋了我為什么要為這門課程取“數(shù)學(xué)大觀”這個名字，發(fā)現(xiàn)學(xué)生喜歡這個名字。

經(jīng)過近一年的策劃，被我稱為“數(shù)學(xué)大觀”的這門課終于在2006年上半年付諸實施了，每周一次課，上3學(xué)時，共上了6周，總共18學(xué)時。作為一門課程，自然要有一個考試。我沒有按傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課那樣出一些數(shù)學(xué)題讓學(xué)生去解答，而是讓每個學(xué)生寫一篇文章實話實說談他們的感想體會。這既是對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的考試，也是對我的課程設(shè)計及實施的效果的考試。下面附上的是從北航人文社會科學(xué)學(xué)院行政管理專業(yè)一位學(xué)生(學(xué)號：SY0511132)的心得體會《數(shù)學(xué)原來可以如此精彩》中摘錄出來的一部分內(nèi)容：

在經(jīng)過了6周的數(shù)學(xué)大觀課程的熏陶之后，在李老師生動且深入淺出的講授下，令我感觸頗深的是對數(shù)學(xué)這門課程全新的認識，數(shù)學(xué)原來并不是只是為解題和考試服務(wù)，數(shù)學(xué)原來不僅僅是數(shù)字游戲，數(shù)學(xué)原來也不只是一群資深而不茍言笑的專家們所獨占，數(shù)學(xué)原來也是人生觀，數(shù)學(xué)原來也可以是方法論，數(shù)學(xué)原來可以如此精彩。盡管不可能全面、透徹地掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的本質(zhì)，但至少在這短短的時間內(nèi)讓我觸碰到了數(shù)學(xué)這門學(xué)科的根本，讓我觸碰到了真實且真正的數(shù)學(xué)。由于是文科學(xué)生，限于數(shù)學(xué)功底以及基礎(chǔ)的薄弱和自身種種的局限，不能夠?qū)?shù)學(xué)知識做獨到的分析，只能是學(xué)生課后的一些真實的感受和愚見。另外，李老師作為一名自然科學(xué)的教授和學(xué)者，其授課的文采令學(xué)生佩服不已，使得我這個學(xué)習(xí)文科多年的學(xué)生倍感慚愧。

通過數(shù)學(xué)大觀這門課程學(xué)習(xí)后的心得，學(xué)生本人從個人的角度出發(fā)，認為李老師對文科生的數(shù)學(xué)教學(xué)是成功的，并且借鑒和分析李老師的課程的成功因素，對改變高校文科類學(xué)生對數(shù)學(xué)教育的反感，斗膽發(fā)表些許愚見。

首先，是對高校文科類學(xué)生高等數(shù)學(xué)教育的總體定位問題。這是一個首要的宏觀問題，是“戰(zhàn)略”問題，即首先要把高校中的文科類學(xué)生尤其是純文科專業(yè)的學(xué)生當(dāng)作一個特殊的群體來對待，他們有很多與其它理工科類學(xué)生不同的特點，比如前面提到的，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的缺乏、對于數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)對本專業(yè)聯(lián)系的認識方面不到位或不夠深刻等，所以對這個群體的數(shù)學(xué)教育要從宏觀出發(fā)，教育目標(biāo)的定位不應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)知識體系中具體的深刻的細節(jié)領(lǐng)會，而是高等數(shù)學(xué)作為一個整體讓該類學(xué)生領(lǐng)悟其思想。個人認為，李老師的課能夠?qū)ξ矣兴鶈l(fā)，關(guān)鍵在于老師一開始就對該問題的定位相當(dāng)明確，從文科類大學(xué)生普遍的特點出發(fā)，運用了范仲淹的名篇《岳陽樓記》中“此則岳陽樓之大觀也”，具有文學(xué)色彩的“大觀”二字為其數(shù)學(xué)課程命名，而且反復(fù)強調(diào)他所授知識的對象只要具備初等數(shù)學(xué)知識至多也就是高等數(shù)學(xué)的一般基礎(chǔ)知識，因此，李老師對文科類學(xué)生數(shù)學(xué)教育的定位問題至少在“戰(zhàn)略”上是成功的。

其次，是對高校文科類學(xué)生數(shù)學(xué)老師授課方面的過程問題。據(jù)本人的觀察以及和大多數(shù)文科類大學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)，許多高校數(shù)學(xué)老師對文科生的授課手段和技巧方面是缺乏的，從而加大了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的距離，減弱了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信，降低了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情。原因很可能在于這幾個方面。第一，數(shù)學(xué)教師沒有從實際出發(fā)，首先從“戰(zhàn)略”上將文科學(xué)生群體和其他理工科類學(xué)生混同，沒有做到因人而異、因材施教；第二，數(shù)學(xué)教師專業(yè)的局限性，許多數(shù)學(xué)老師多半為科班數(shù)學(xué)專業(yè)出身，在作為學(xué)生階段在研習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中并未關(guān)注數(shù)學(xué)與人文類專業(yè)的關(guān)聯(lián)性，把數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅當(dāng)作純粹傳授數(shù)學(xué)理論的過程，未能讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識對于本專業(yè)影響的良好預(yù)期；第三，數(shù)學(xué)教師自身的綜合素質(zhì)問題，大多數(shù)年輕的缺乏教學(xué)經(jīng)驗的數(shù)學(xué)老師授課“三句不離本行”，他們一般都是數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的專才，但卻是其它領(lǐng)域的“平民”，若要對文科類學(xué)生實施成功數(shù)學(xué)教育，豐富自身的人文修養(yǎng)是必要的。李老師所擁有的淵博的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，多年豐富的教學(xué)實踐經(jīng)驗，令人贊嘆的個人文采以及風(fēng)趣生動的授課技巧，足以讓文科學(xué)生重燃對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，重拾對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

最后，是對高校文科類學(xué)生數(shù)學(xué)教育的最終效果的問題。“效果”二字應(yīng)該是“有效”與“結(jié)果”的合成，受現(xiàn)在社會上盛行的急功近利和浮躁思潮的影響，多數(shù)學(xué)生以追求60分為最現(xiàn)實的目標(biāo)，老師也以完成教學(xué)計劃為主，多數(shù)高校對文科類學(xué)生數(shù)學(xué)教育是只重“（結(jié)）果”而輕“（有）效”，一味追求“癥狀解”而非“根本解”造成的結(jié)果就是本末倒置，導(dǎo)致很多文科大學(xué)生學(xué)完了高等數(shù)學(xué)并且考試及格卻不知何謂“高等數(shù)學(xué)”，最終受害的是學(xué)生和學(xué)業(yè)的學(xué)習(xí)和研究。反觀李老師的課程，正如老師開篇就明確地指出數(shù)學(xué)大觀這門課程最終的目的是讓大家領(lǐng)略數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的精彩，而不是某個具體問題的推導(dǎo)與解析；要大家掌握的是“是什么”，而不是“為什么”；追求的是“根本解”即如何體會、掌握和運用數(shù)學(xué)思維，而不是“癥狀解”即“60分”。記得有堂課，某同學(xué)問到老師課后的心得體會有沒有字數(shù)限制時，李老師的回答卻是“這是一個多么愚蠢的問題啊。”反復(fù)玩味之后得出結(jié)論，“60分”=“一個多么愚蠢的問題??！”。

6個星期的學(xué)習(xí)雖是很短的時間，但時間的長短并不是學(xué)習(xí)知識真諦、領(lǐng)悟知識本質(zhì)的桎梏。這段時間既是我學(xué)習(xí)階段的一個片段和插曲，同時也是開啟我另一個全新學(xué)習(xí)階段的起點。“數(shù)學(xué)大觀”教會了我很多東西，數(shù)學(xué)原來可以如此精彩！

以上這位學(xué)生可以說是收獲不小。如果所有的學(xué)生都有這樣的收獲，那就表明這門課程非常成功了。然而事實上還沒有達到這樣皆大歡喜的程度。整體上看，可以說參加聽課的學(xué)生或多或少地改變了對數(shù)學(xué)的負面看法，有的人對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了新的感受，另外的人減少了對數(shù)學(xué)的反感，這已經(jīng)達到了我所希望的效果。當(dāng)然，我也發(fā)現(xiàn)，所選取的有一部分數(shù)學(xué)素材對一些人來說還是太深了，他們沒有聽懂。而我在第一節(jié)課從精心設(shè)計的比較淺顯的例子開始講的時候，有些學(xué)生由于對課時的安排和本課程的性質(zhì)不太了解而沒有來，失去了一次由淺入深的機會，影響了他們對整個課程的感受。還可以看出，有一些論文的作者并沒有來聽我講課，而是從網(wǎng)上下載了一些贊揚數(shù)學(xué)的話和對數(shù)學(xué)的思想方法的深刻而經(jīng)典的論述，寫成了一篇洋洋灑灑的論文。在互聯(lián)網(wǎng)發(fā)達的今天，要做到這一點并不太難。我認為這也很好，能夠有這樣一個機會讓這些文科的研究生舍得花費一些時間通過網(wǎng)絡(luò)對數(shù)學(xué)重新進行一次認識和了解，也是他們的一種收獲，值得肯定和贊許的。不過，他們?nèi)绻x一讀以上那位同學(xué)的體會，也許會為失去一次欣賞數(shù)學(xué)的機會感到有些遺憾。

后記：本文是2006年寫的。曾發(fā)表于《中國大學(xué)數(shù)學(xué)》（2006年第11期），發(fā)表時作了適當(dāng)壓縮。該課程于2007年上半年再次開設(shè)，選課對象擴大到文科以及工科的一部分本科生。北航的文科本科生在入學(xué)時高考數(shù)學(xué)分數(shù)也都是不低的，他們所學(xué)的數(shù)學(xué)課內(nèi)容與工科學(xué)生差別不大，仍然要較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分等內(nèi)容。既然他們能夠接受得了，那也很好。但是，這樣一個“無招勝有招”的數(shù)學(xué)課程，仍然使他們耳目一新。我現(xiàn)在越來越明確地將《數(shù)學(xué)大觀》定位于“數(shù)學(xué)文化”課，不論是文科還是理工科學(xué)生，不論他們是否學(xué)過傳統(tǒng)的“高等數(shù)學(xué)”的內(nèi)容，都希望他們通過本課程能體會到數(shù)學(xué)的思想方法的精彩與美麗，受到啟迪，得到享受。