5月8日，在浙江省衢州高級中學參加“中學數(shù)學核心概念與思想方法教學設計”課題研討會，聽了四位老師精彩的研究課，其中兩節(jié)課分別是浙江省衢州高級中學何豪明老師和浙江省黃巖中學李柏青老師上的“數(shù)學歸納法”。通過這次研討，對數(shù)學歸納法的教學加深了認識，本文對此內(nèi)容的一些教學問題作探討。

一、數(shù)學歸納法教學難點分析

數(shù)學歸納法是證明數(shù)學命題的一種方法，但數(shù)學歸納法的教學一直是高中數(shù)學教學的一個難點，究其原因，也許是由于在教學中沒有把這種方法在邏輯上講得很清楚，從而導致學生對于理解和運用這種數(shù)學方法的困難。許多學生只是借助于像多米諾骨牌這樣的事例作類比來認識這種方法的可靠性，但沒有認識到方法在邏輯推理上的嚴格性。不少學生則是在沒有比較好地理解基礎上機械地運用數(shù)學歸納法的兩個步驟去證明數(shù)學結(jié)論，從而導致證明過程中出現(xiàn)表述上的種種錯誤。從詞意上分析，“數(shù)學歸納法”名稱中有“歸納法”三個字，那么這種方法到底是不是“歸納法”呢？從推理論證角度認識，歸納法常常用于數(shù)學結(jié)論的“猜想”，而不能用于“證明”數(shù)學結(jié)論。那么，第一方面，數(shù)學歸納法與歸納法有什么聯(lián)系呢？另一方面，在數(shù)學論證中，只能用演繹法證明數(shù)學結(jié)論，數(shù)學歸納法能夠用于證明數(shù)學結(jié)論，那么，數(shù)學歸納法就應該納入演繹法的范圍中，但這又怎樣去理解呢？另外，從學生數(shù)學學習心理的角度看，在數(shù)學歸納法的第二個步驟“歸納遞推”中用了“假設”一詞，學生會想，既然是一種假設，怎么就可以作為進一步證明結(jié)論的一個基礎呢？以上種種疑惑，都是導致形成高中學生理解數(shù)學歸納法的困難的原因。

要解決以上的種種認識問題，就應該適度地闡明，數(shù)學歸納法本質(zhì)上是一種演繹法，或者準確地說，是在推理過程、敘述形式上被約縮了的演繹法.實際上，在數(shù)學歸納法中隱含著一連串的三段論。其中第一個三段論是：

大前提：

如果命題P(n)對n=k成立，那么命題P(n)對n=k+1也成立；（這個大前提在數(shù)學歸納法的第二個步驟“歸納遞推”中得到證明）

小前提：

命題P(n)對n=1成立；（這個小前提在數(shù)學歸納法的第一個步驟“歸納奠基”中也得到證明）

結(jié)論：

命題P(n)對n=2成立。

于是，有第二個三段論式：

大前提：

如果命題P(n)對n=k成立，那么命題P(n)對n=k+1也成立；

小前提：

命題P(n)對n=2成立；（這個小前提是前一個三段論中已經(jīng)證明的結(jié)論）

結(jié)論：

命題P(n)對n=3成立。

于是，又有第三個三段論，從中得到命題P(n)對n=4成立。

……

這樣，每一個三段論都得到命題鏈中的一個命題的證明，直至無窮，從而得到所要證明的數(shù)學命題（可以看成是由無窮個命題組成的命題）的證明。

以上就說明了數(shù)學歸納法與演繹法之間的本質(zhì)聯(lián)系。上面的分析還說明了能用數(shù)學歸納法證明的命題系列的結(jié)構關系：

命題P(1)→命題P(2)→命題P(3)→······→命題P(n)→······

命題系列的結(jié)構與正整數(shù)之間的關系結(jié)構具有一致性：

1→2→3→······→n→······

所以，數(shù)學歸納法不能用于證明樹狀結(jié)構的命題系統(tǒng)，如幾何課程中的命題系統(tǒng)。

在應用數(shù)學歸納法證明數(shù)學結(jié)論的邏輯結(jié)構中，第二步“歸納遞推”證得的命題“P(K)P(K+1)”處于核心的地位，實際上就是以上邏輯結(jié)構中被反復應用的大前提。人們常常通過對于命題序列“命題P(1)→命題P(2)→命題P(3)→······→命題P(n)→······”中前面幾個特殊命題間關系的分析研究，從中歸納得到一般的兩個相鄰命題間的推出過程“P(K)P(K+1)”的方法，這是一個從特殊到一般（實際上是從“特殊推理”到“一般推理”）的歸納過程，這也許能夠說明早先稱這種方法為“數(shù)學歸納法”的原因。這樣理解是否正確，尚待考證。

數(shù)學歸納法證明數(shù)學結(jié)論具有以下的邏輯結(jié)構圖景:

對以上的邏輯結(jié)構圖景作少許的變化，就可以得到數(shù)學歸納法的幾種變式方法。法國著名數(shù)學家彭加勒稱現(xiàn)在所說的數(shù)學歸納法為“循環(huán)推理法”，這與上述的螺旋式的循環(huán)模式圖景恰好相符。彭加勒在他的著作《科學與假設》中論述了這種方法:“循環(huán)推理法的主要特性是在它能包含無數(shù)的三段論，而集中在可認為唯一的公式中。”“在循環(huán)推理法中，人們僅限于陳述第一三段論的小前提，以及含有以一切大前提為特例的普遍公式。因此這一串永無止境的三段論可縮減為幾行的語詞”。這是他對于數(shù)學歸納法邏輯本質(zhì)的比較準確的描述。

二、對數(shù)學歸納法教學的一個建議

目前，數(shù)學歸納法的教學常常借助于多米諾骨牌游戲讓學生對數(shù)學歸納法有一個直觀的認識，這是一種很好的教學設計。為了判斷實際教學中學生是否真正理解了數(shù)學歸納法，從教學評價的角度分析，建議教學中可以提出以下的問題：“你是怎樣理解數(shù)學歸納法的？”準確地說，就是要問學生“與多米諾骨牌游戲類似，請你自己提出一種能反映數(shù)學歸納法方法原理的實際情景。”如果學生能夠比較準確地說出這類實際背景的例子，并清楚實際情景中的現(xiàn)象怎樣對應數(shù)學歸納法中相應的證明步驟，就說明學生對于數(shù)學歸納法已經(jīng)有了較好的理解。實際上，學生也許能夠提出他們更為熟悉的能夠有助于理解數(shù)學歸納法的實際背景。以下問題可供參考。

例1：同學排隊問題：有許多已經(jīng)編號的同學（號碼依次為1，2，3，4，5，6，·····）（有限人數(shù)，或無限人數(shù)），要求按號碼順序排成一隊，可以按照以下的兩個步驟來達到目標：

1.第一人能按照要求排好隊；

2.人人遵守以下規(guī)則：如果第n號學生按照要求排好隊，那么第n+1號學生也一定能按照要求排好隊。

以上兩條做到了，則所有同學就都能按要求排成一隊了。

例2：火車順利開動（整列火車，包括火車頭，后續(xù)各節(jié)車箱順利開動）的條件：

1.火車頭開動；

2.火車頭與后續(xù)車箱、各節(jié)車箱之間的很好連接。

俗話說“火車跑得快全靠車頭帶”，此話只說對了一半，聯(lián)系數(shù)學歸納法，比較完整的說法：“火車跑得快，一靠前面車頭帶，二靠后面車箱都能跟上來”。

三、教學設計的一款設想

課堂教學是藝術，所以課堂教學就可以有不同款式的設計。實際教學中，就目前對于數(shù)學歸納法的認識，對于引入數(shù)學歸納法的教學就有以下的教學過程設想。

首先引入一個具體計算問題：

當然，如果學生們對與此有關的數(shù)學變形方法非常熟悉，則此問題就不能使用了，可以考慮采用其他的類似的問題，如求前n個正整數(shù)的立方和問題，選擇問題的原則是應該使問題的研究具有探究性，從中可以體現(xiàn)歸納、遞推的分析過程，在教學中應根據(jù)學生實際情況預備適當?shù)囊雴栴}。這里僅僅仍用以上這個相對簡易的問題說明設計的教學基本過程。由于以上求和式中加數(shù)的項很多，很難逐項相加得到要求的和，學生就會希望能夠找到一個求和的規(guī)律性方法，也就是希望最好能得到解決問題的一個一般性公式。從分析、歸納中可以發(fā)現(xiàn)，實際上解決原來的問題就可以轉(zhuǎn)化成解決以下具有普遍價值的一般性數(shù)學問題：

后面再逐漸展開分析，讓學生自然地逐漸形成數(shù)學歸納法的證明方法，并類比多米諾骨牌游戲等理解數(shù)學歸納法。個人認為，這樣的教學過程也許更能讓學生認識引入數(shù)學歸納法的必要性，并也許能夠說明，數(shù)學歸納法與“歸納法”又有什么聯(lián)系。在數(shù)學歸納法中，不作一系列（一般說是無限個）特殊的遞推步驟，而代之以一個一般性的“遞推步驟”，即第二步“歸納遞推”步驟，而這一般性的遞推步驟證明的方法常常是從最先幾個特殊遞推中得到啟發(fā)而來的，這是從特殊到一般的方法的運用，也正是歸納法的思想的運用。不過，這只是數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題過程中的一部分，并不是數(shù)學歸納法的全部，也說明了數(shù)學歸納法的方法中確實蘊涵著歸納法的成分，但又不同于一般的歸納法，故命名為“數(shù)學歸納法”。浙江省金華市教研室張耀光老師指出“數(shù)學歸納法是有歸納成分的演繹法”，這個認識是有道理的。

四、數(shù)學歸納法用于證明有限序列的數(shù)學命題

一般地說，用數(shù)學歸納法可用于證明涉及正整數(shù)的無限個命題的數(shù)學結(jié)論（當然，這個涉及正整數(shù)的無限個命題的數(shù)學結(jié)論本身也可以看成是單個的數(shù)學命題，實際上數(shù)學命題的單位并沒有嚴格的標準），但從上面的分析看，這也是不絕對的。用數(shù)學歸納法也可用于證明涉及正整數(shù)的有限個數(shù)學命題的數(shù)學結(jié)論，只要兩個步驟(特別是遞推步驟)在有限步內(nèi)能夠?qū)嵤?。真如?shù)列有有限數(shù)列和無限數(shù)列之分，函數(shù)的定義域可以被限定在一個閉區(qū)間內(nèi)一樣，我們也可以把要證明的數(shù)學結(jié)論所涉及的正整數(shù)n限定在有限集內(nèi)，這是容易做到的，只需要對n作一個恒等變換，把它的變化范圍作出限制就可以。以下就是兩個只涉及有限個正整數(shù)的數(shù)學命題，它當然也可以應用數(shù)學歸納法的方法加以證明，只是在歸納遞推步驟中變量需要滿足一定的限制條件。

例1：證明：

例2：證明：

實際上，以上的對于n的恒等變換方法具有一般性。

參考文獻：

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