第22講 用割補(bǔ)法求面積
在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計(jì)算它們的面積，常常需要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計(jì)算面積，有時(shí)也要用到割補(bǔ)的方法。
例1求下列各圖中陰影部分的面積：
分析與解：（1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
?。?）在題圖虛線分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓。
如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中。可以看出，原題圖的陰影部分正好等于一個(gè)正方形的面積，為5×5=25。
例2在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。
分析與解：陰影部分是一個(gè)梯形。我們用三種方法解答。
（1）割補(bǔ)法
從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將這兩個(gè)直角三角
?。?）拼補(bǔ)法
將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形（下頁(yè)左上圖）。
積和平行四邊行面積同時(shí)除以2，商不變。所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面
?。?）等分法
將原圖等分成9個(gè)小三角形（見右上圖），陰影部分占3個(gè)小三角形，
注意，后兩種方法對(duì)任意三角形都適用。也就是說(shuō)，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。
例3如左下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長(zhǎng)5厘米、下底長(zhǎng)9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。
分析與解：因?yàn)椴恢捞菪蔚母?，所以不能直接求出梯形的面積。可以從等腰直角三角形與正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形（上頁(yè)右下圖），圖中陰影部分是邊長(zhǎng)9厘米與邊長(zhǎng)5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。
例4在左下圖的直角三角形中有一個(gè)矩形，求矩形的面積。
分析與解：題中給出了兩個(gè)似乎毫無(wú)關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無(wú)法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個(gè)直角三角形再拼補(bǔ)上一個(gè)相同的直角三角形（見右上圖）。因?yàn)锳與A′，B與B′面積分別相等，所以甲、乙兩個(gè)矩形的面積相等。乙的面積是4×6=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。
例5下圖中，甲、乙兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘米2。求乙正方形的面積。
分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（見左下圖）。
把C割下，拼補(bǔ)到乙正方形的上面（見右上圖），這樣A，B，C三塊就合并成一個(gè)長(zhǎng)20厘米的矩形，面積是40厘米2，寬是40÷20=2（厘米）。這個(gè)寬恰好是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差，由此可求出乙正方形的邊長(zhǎng)為（20-2）÷2=9（厘米），從而乙正方形的面積為9×9=81（厘米2）。
練習(xí)22
1.求下列各圖中陰影部分的面積：
?。?） （2）
2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個(gè)半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長(zhǎng)4厘米，求圖中陰影部分的面積。
3.在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求下底和高。
4.在右上圖中，長(zhǎng)方形AEFD的面積是18厘米2，BE長(zhǎng)3厘米，求CD的長(zhǎng)。
5.下圖是甲、乙兩個(gè)正方形，甲的邊長(zhǎng)比乙的邊長(zhǎng)長(zhǎng)3厘米，甲的面積比乙的面積大45厘米2。求甲、乙的面積之和。
6.求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD的面積。
