第16講 巧算24
同學(xué)們可能都玩過“數(shù)學(xué)24”的游戲，它把枯燥的基本數(shù)字計算變得趣味盎然，能大大提高計算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂的智力競賽游戲。
游戲規(guī)則：給定四個自然數(shù)，通過+，-，×，÷四則運算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運算的算式，使最后得數(shù)是24。
“數(shù)學(xué)24”游戲通常是用撲克牌進行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在1～13范圍內(nèi)了。“數(shù)學(xué)24”游戲可以1個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌的點數(shù)代表一個自然數(shù)，其中J，Q，K分別代表11，12和13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進行。最后誰的牌最多誰獲勝。
要想算得又快又準(zhǔn)，這就要靠平時的基本功了。最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運算順序，也可以改變運算符號。
請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。
例1 3，3，5，6。
解一：根據(jù)3×8=24，3已有，將另三個數(shù)湊成8，得3×（5+6-3）=24。
解二：根據(jù)6×4=24，6已有，將另三個數(shù)湊成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。
解三：還是根據(jù)3×8=24，把3和8各分成兩數(shù)，得（6-3）×（3+5）=24。
解四：先把其中兩數(shù)相乘，積不足24的用另兩數(shù)補足，得3×5+3+6=24。
解五：先把其中兩數(shù)相乘，積超過24的用另兩數(shù)割去，得5×6-3-3=24。
例2 2，2，4，8。
解一：根據(jù)8×3=24，得8×[（2+4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。
解二：根據(jù)4×6=24，得4×（2+8÷2）=24。
解三：根據(jù)2×12=24，得2×（2×8-4）=24。
解四：根據(jù)8+16=24，8已有，將另三個數(shù)湊成16，得8+2×2×4=24或8+（2+2）×4=24。
解五：根據(jù)8+16=24，把8和16各分成兩數(shù)，得2×4+2×8=24。
解六：根據(jù)4+20=24，4已有，將另三個數(shù)湊成20，得4+2×（2+8）=24。
具體玩法很多，在這里特別要注意的是：2×12，3×8，4×6是三個最基本的算式，在玩的過程中，你可以先固定某數(shù)為一個因數(shù)，看另三個數(shù)能否湊成相應(yīng)的另一個因數(shù)。你也可以把每一個因數(shù)分別看成由兩個數(shù)湊成。下面，我們借助“乘法分配律”來玩“數(shù)學(xué)24”游戲。
例3 1，4，4，5。
分析：很明顯，我們看到4×（1+5）=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個4沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個4也用進去，怎么辦？怎樣把這個多余的4用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？
解：利用“乘法分配律”：4×（1+5）=4×1+4×5=24。
例4 6，8，8，9。
解：8×（9-6）=8×9-8×6=24。
例5 5，7，12，12。
解：12×（7-5）=12×7-12×5=24。
在例3～例5中，我們利用了：
a×（b+c）=a×b+a×c，
a×（b-c）=a×b-a×c。
例6 2，2，6，9。
分析：很明顯，我們看到2×9+6=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個2沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個2也用進去，怎樣把這個多余的2用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？
解：利用“乘法分配律”：24=2×9+6=2×9+6÷2×2=2×（9+6÷2）。
例7 2，6，9，9。
解： 24=2×9+6=2×9+6÷9×9
=9×（2+6÷9）
例8 2，4，10，10。
解： 24=2×10+4=2×10+4÷10×10
=10×（2+4÷10）。
在例6～例8中，我們利用了
a×b+c＝a×（b+c÷a），
a×b-c＝a×（b-c÷a）。
我們知道，符合“數(shù)學(xué)24”游戲規(guī)則的每個具體算式中，一定要出現(xiàn)四個數(shù)和三個運算符號。也就是說，一定要進行三次運算，出現(xiàn)三個運算結(jié)果。其中前兩次結(jié)果是運算過程中的中間結(jié)果，第三次即最后一次的運算結(jié)果必須是24。
當(dāng)我們還是小學(xué)低年級的學(xué)生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運算結(jié)果是整數(shù)展開討論。當(dāng)我們升入小學(xué)高年級，接觸到分?jǐn)?shù)以后，我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數(shù)這個框框，允許前兩次的運算結(jié)果出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。
例9 1，5，5，5。
由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的2×12，3×8，4×6三個整數(shù)乘法基本算式?，F(xiàn)在我們學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，乘法基本算式就增加了許多：
在這些分?jǐn)?shù)乘法基本算式中，固定的一個因數(shù)只能是5，7，9，10，
至此，應(yīng)用乘法玩“數(shù)學(xué)24”游戲的過程才是完整的。
下面，我們再來看看用分?jǐn)?shù)除法來玩“數(shù)學(xué)24”游戲。
例10 3，3，8，8。
8÷（3-8÷3）=24。
例11 1，4，5，6。
在解題過程中，我們先想到基本算式
成。這是基本的思考辦法。
一般地，應(yīng)用分?jǐn)?shù)除法玩“數(shù)學(xué)24”游戲的思考過程為：
固定的一個自然數(shù)只能是被除數(shù)，除數(shù)恰好由另外三個自然數(shù)湊成。
另外，我們還是要強調(diào)一下分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的相同處與不同處。學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，除法運算可以轉(zhuǎn)化成乘法運算。因此，在玩“數(shù)學(xué)24”游戲的過程中，很多除法算式可以轉(zhuǎn)化到乘法算式中去。但是它們之間還是有區(qū)別
握用分?jǐn)?shù)除法這種工具來玩“數(shù)學(xué)24”游戲是必不可少的。
練習(xí) 16
用給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。
1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；
?。?）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；
?。?）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。
2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；
（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；
?。?）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；
?。?）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。
3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；
?。?）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；
（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，12；
?。?）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。
