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第二講：觀點分享
一、關于估算教學的思考
在估算教學中，我們分成三個層面進行討論。首先是對估算價值的認識，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學習中有怎樣的作用。其次，在課堂教學這個層面當中，如何培養(yǎng)學生的這種估算的意識，幫助學生選擇合適的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何對學生的估算結果進行客觀公正的評價，即估算的評價標準。
1.估算的價值
（1）估算在日常生活中有著廣泛的應用
隨著現在科技的飛速發(fā)展，很多事實際上不可能也不需要都來進行準確計算。通過對家長的訪談，我們看到從事各種職業(yè)的人士，都認同估算的價值。曾經有一個學者做過一個統(tǒng)計，一個人在日常生活當中精確計算，和粗略估計算的機會來比，后者多得多。例如，我們每個家庭要計劃自己家庭的收入和支出，這就需要估計；一個商場，它的營業(yè)額是多少，它的利潤如何，這要進行大致的預測，這也是估計；企業(yè)對經營的產品或者銷售額也要進行估計；又如現在北京市公交車輛特別多，那么公交部門的運輸能力到底是多少，不一定很精確計算，也需要大致做估計；再比如，現在大城市流動人口很多，到底流動人口是多少，我們在做統(tǒng)計時也要做一些估計，一般來講尾數就省略不計了。綜上所述，我們可以得出生活離不開估算。因此，估算作為數學計算教學方面的一個新內容，或者說一個重要的方面提出來，是有道理的。
（2）估算為判斷計算器、口算和筆算結果是否合理提供了依據
估算為判斷計算器計算得是否準確，包括孩子們口算、筆算的結果是否合理，提供了重要的依據。小學生開始使用計算器，計算器按出來一般的結果都是準確的，但有時候由于操作失誤可能會出現問題，如果學生有了估算的意識和能力，就能很快發(fā)現計算器計算結果的取值范圍是否合理，可以馬上改過來。
過去我們要用加減法的互逆關系和乘除法的互逆關系來驗算，現在就可以用估算的方法來檢驗結果。這也是估算的重要應用。
（3）估算有利于人們事先來把握運算結果的范圍，是發(fā)展學生數感的一個重要的途徑
估算是發(fā)展學生數感的有效途徑之一，也是保證計算正確的重要環(huán)節(jié)，尤其對提高學生的計算能力很有益處，計算前進行估算，可以估計出大致結果，為計算的準確性創(chuàng)設條件；計算后進行估算，能判斷計算有無錯誤并找出錯誤的原因，及時糾正。在學生的日?？谒愫凸P算過程中，無論是計算前估算或者是計算后估算，都有一定的價值，比如說拿到一道題，還沒算之前，先估算一下，大概它的范圍是多少，這有利于學生進行合理的判斷。另外從思維角度來講，對培養(yǎng)孩子快速的判斷和推理能力，也有一定的好處。
（4）估算對學生后續(xù)的數學學習有重要作用
估算在學生后續(xù)的數學學習中占有一個非常重要的位置，并且是數學的一個基本思想，通常我們叫近似或者逼近。比如在初中，我們都學了一個數的平方等于2，那么這個數就是叫做
 ，那么是一個實數，但是我們在日常生活中，總不能說一個人的身高是，那么通常我們總說它是1.4～1.41，這樣別人可以了解你的這個具體的身高，所以說在數學的應用中，包括在數學的計算中，常常會需要用近似，用估計來解決問題，并且它這個估計的結果符合我們實際的要求。確實在我們數學的發(fā)展過程當中，估算也占有重要的地位，對學生的數學學習有重要的幫助，特別是發(fā)展學生近似的意識，估算的這種意識的培養(yǎng)，也是非常重要的。
總之，作為數學教師，我們只有更加深刻地去感受，去領悟估算在我們生活工作中的價值，我們才能自覺地在我們的教學當中，很好地去培養(yǎng)學生的這種估算的意識，估算的能力，很好地去發(fā)展學生在這方面的一些創(chuàng)造能力。
附：家長訪談
新藥研發(fā)工作者：我覺得估算價值挺大的，因為我是做新藥研發(fā)的，一個新藥大概要投資下十億到十五億美元這樣一個范圍，風險很大，所以一定要有一個大概的估計，而且中國人是那種直覺性思維方式非常好的，估計性的能力相對來說可能是比較強的，我覺得或多或少的會用到估算，就是你在確定方向的時候，覺得很有用。
幼兒園工作者：我覺得應該有吧，比如吃飯，我經常會遇到這種情況，因為有時候開的發(fā)票不是很準確，你又希望這個價格很準確，但是大腦運作得又太慢，加菜單的時候太慢，所以我覺得這個應該挺有價值的，就是從生活角度。有時候你不可能當著朋友面算算算半天，擱那兒摳摳半天，但是也確實那個餐廳也有過這種情況，他可能給你寫一個價格，但是他最后的結果他比你要高出，有這種情況，所以為了避免這種損失，應該有一個大概的一個估算，不會差得太大。
商人：我的職業(yè)是做出口生意，最基本的還是每天的零售，零售這個流水多少錢，那么估算在我這兒應該是每天、每月、每年都應該用的，因為有的時候，你計算的沒有那么多時間，或者今天把今天的這個三次結完賬，或者兩個店的營業(yè)額流水有多少，估算一下，這個應該在生活當中是用的非常多的。
2.估算教學的策略
目前“估算”從學生角度來講的主要問題有兩個：一是學生不知道什么選擇用估算，往往學生一看見有“大約”，就開始估了。二是學生不知道在什么情況下選擇用什么樣的估算策略，也就是估算策略怎么能夠合理地進行應用。為此，給大家提供一些估算教學的策略，希望能有所啟發(fā)。
（1）培養(yǎng)估算意識
估算教學，不是單純地教給學生記住一種估算的方法，應當是通過估算的教學，來培養(yǎng)學生這種近似的意識，這種估算的意識，他不是被動地、機械地去記住一種估算方法，而是通過課堂教學，讓學生逐步地去理解估算的意義，去發(fā)展學生的估算意識，在這個過程中，應當多增加一些學生的體驗，不斷地豐富學生這方面的經驗，積累他的經驗。下面提幾條具體的教學建議。
①教師要重視估算，并把估算意識的培養(yǎng)作為重要的教學目標
在教學設計時，首先要考慮教學目標，如果把目標定位在做一些機械的訓練，可能就會給學生形成一種錯誤的定勢。而我們要培養(yǎng)學生估算的意識、近似的意識，這是我們數學教學本身發(fā)展應該關注的問題，也應該作為我們重要的教學目標來實施。
②要選好題目，提出好問題，讓學生去體會估算的必要性
作為教師，在教學設計中，首先要選好題目，提出好問題，提出有估計價值的問題，這對老師是個挑戰(zhàn)。比如，三位數除以兩位數，你估一估這道題，它的商是幾位數？這個問題就有價值。另外，只有選好題目、提出好問題學生才能自覺體會到估算的價值，學生具備了對估算價值的體驗后，他的估算意識才能不斷增強。提到選擇好的題目，一位老師碰到了這么一件事，一家三口去吃飯，當時點了一些飯菜，價錢分別是42元、56元，19元、33元、25元，9元，當時就大致地估了估，大約不夠200元。服務員收費時卻報出了226元。這顯然是錯誤的。經查證服務員將42記了兩次，正好多收了42元。由于有了估算的意識才避免了服務員的錯收費。這就是估算的應用啊！
在我們的生活當中需要估算的地方確實很多，那么能夠設計一個這樣體現估算價值的情境，讓學生在解決問題中，去體會估算的必要性。久而久之，學生估算的意識就會不斷加強。
③要鼓勵學生，利用估算來驗證計算結果，來養(yǎng)成好的習慣
比如現在學生用計算器計算，再比如學生的精確筆算，那么結果對不對呢，特別是積的位數、商的位數，準確不準確呢，可以先用估算的方法，來確定一下它大致的取值范圍，這樣就幫助學生來驗證計算的結果。估算意識的培養(yǎng)，應該從點點滴滴做起，使學生逐步地養(yǎng)成一種習慣，形成這種良好的習慣以后，他會自覺地進行估算。
有這樣一個例子，8241÷41，學生算的結果商是21，他馬上發(fā)現8000多除以40多，商不可能是兩位數，肯定是算錯了，他就去進一步檢查哪里發(fā)生錯誤?？梢钥闯稣驗樗幸粋€好的估算習慣，才能夠及時糾正自己的錯誤。還有一個例子，231加上416，有位學生得500，當時同桌給他看的時候，說你這肯定不對，一個200多加一個400多，肯定得600多，怎么它也不能得500多?？梢?，讓孩子感覺到估算的必要性，并養(yǎng)成好的估算習慣，是很有必要的。學生通過不斷地體會估算給他帶來的幫助和好處，從而不斷地提升他們估算的意識。
④要引導學生在問題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積累這方面的經驗
作為數學教師，我們要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問題情境當中讓學生去感受，哪些問題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問題解決一定要算出精確值，比如像剛才我說的那個題，“全家吃飯”的例子就是估算，大約是200元，這就是估算。當然沒有必要精確地計算了，在這種情況下，我們就選擇用估算，而不選擇用精確計算。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。
估算教學，是一個新的內容，我們沒有積累更多的經驗。雖然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的還多，可是真正好的例子，能夠搬到課堂上來用的，并不很多。特別是適合兒童的、貼近兒童的現實生活的例子就顯得有些不足。為學生創(chuàng)設好情境，提出好問題需要我們不斷地去積累鮮活的例子，這正是給老師們提出了一個新的挑戰(zhàn)。
2．形成估算策略
首先，我們結合北京市石景山區(qū)古二小王靜燕老師的課例來談學生估算策略培養(yǎng)。
【案例1】估算教學片段
片段一：創(chuàng)設情境，感受估算價值。
1）老師在海報上看中了幾樣商品，準備去超市購買，請同學們幫我想一想：帶100元錢夠不夠？
保溫杯：9.80元
巧克力：23.60元
牛奶：16.60元
清潔劑：9.70元
面粉：14.00元
餅干：25.20元
2）學生用湊整的方法進行估算。（學生回答略）
3）收銀員怎樣來計算這些商品的總價錢的？
學生回答：輸機。
教師追問：能不能像前邊同學那樣對于某件商品只取一個與它近似的整數進行輸機呢？（不能）現在我們就來進行一下收銀員的工作，精確地這些商品到底價值多少錢？
9.80+23.60+16.60+9.70+14.00+25.20=98. 90（元）
4）請大家思考：顧客和收銀員同是計算這些商品的總價錢，那么在具體做法上有什么不同？
5）生活中有很多問題都是用估算的方法來解決的，回想一下我們的生活，在哪些時候用到過估算。
6）小組討論之后反饋。
片段二：展現不同的估算方法。
1）看來大家對于估算有一定的經驗，下面我們就來試一試：
這是我們古城二小五年級六個班的人數統(tǒng)計：
你能估算出五年級大約一共有多少名學生嗎？
2）反饋
生1：把這六個數都看成30，30×6=180（人），我估算的結果大約是180人。
生2：把這六個數都看成40，40×6=240（人）。
生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，40×4＋30×2=220人。
生4：這六個數都在35上下，如果把這六個數平均一下大約就在35，所以可以把35看作中間數，35×6=210（人）
3）教師評價：同學們的估算方法都有一定的道理。老師在同學們估算的同時悄悄的算出了精確結果，你們想不想看一看？
4）公布年級實際的總人數：211人，看到這個結果你們有什么新的想法？
5）學生開始結合精確結果和自己的估算結果進行比較
生1：我都看成30，所以就估少了，用中間數的方法最接近。
生2：都看成40，就估高了，要比240少。
生3：都看成30，每個數都少了，所以就比實際結果少；都看成40，每個數都多了，所以就比實際結果多，所以結果在這兩個數之間。
這個課例中，王老師給孩子出示的問題情境很巧妙，使學生產生了估算需要。更為可貴的是，教師能在課堂教學過程當中，追問學生：生活當中還哪兒用到估算，這個就是對學生這種估算意識的一種培養(yǎng)，久而久之學生這種估算意識就會慢慢地形成了。
這節(jié)課的后半段也是非常精彩，學生用了那么多種不同的策略來進行估算，可謂是精彩紛呈。特別是老師又拋出了一個精確值，讓孩子用自己估算的結果和這個精確值去比較，然后又把這個問題再放下去，讓孩子又有了二次的交流和反思。
下面就估算策略問題，提出一些建議。
⑴鼓勵學生解釋估算的思路和理由
鼓勵每個學生盡可能地能夠表述自己的思路和理由，適當地鼓勵學生總結估算的策略，因為這確實是一個經驗的積累過程，要善于總結，靈活地使用，凡是合理的估算策略，我們應當給予肯定。經驗積累是重要的，有時候不是老師講會的，需要學生自己不斷地反思和調整原有的認識。
⑵教師要積極地引導學生在對估算和精確計算結果的比較當中，讓學生學會傾聽、反思，加強體驗，積累經驗，不斷地提高估算的能力
以上面估算這節(jié)課為例，一般老師看到了學生用多樣的方法、策略，來進行估算，往往就滿足了，一般情況下在這兒就要收尾了。多樣化也體現出來了，策略的變化也體現出來了。而王老師此時卻提了一個很有價值的問題：“在你們估算時，老師已經悄悄地把準確的結果計算出來了?？吹竭@個準確結果，你們有什么想法？”這樣又一次引起了同學們熱烈地討論，當學生把自己的估算結果和精確值進行比較的時候，同時也和其他同學的估算結果進行比較的時候，就發(fā)現了精確結果的大致范圍。學生進行二次反思，對不斷提高判斷能力、選擇能力和估算能力，是有重要的幫助。
⑶教師可以適當第總結具體的估算的策略
估算策略主要有：
① 湊整的方法。如湊成一個整十整百的數。
② 取一個中間數。比如32 37 30 39這四個數求和，這些數都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數35，直接用35×4，就大約地計算出這幾個數相加的結果。
③ 利用特殊的數據特點進行估數。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
④ 尋找區(qū)間。也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結果就是它至少是多少，“進一”就是首位加一，假如說278，我們就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區(qū)間范圍。
⑤ 兩個數，一個數往大了估，一個數往小了估，或者一個數估一個數不估。
⑥ 先估后調。
學生根據不同的情況，采取不同估計的策略，這是對學生估算能力的一種很好地培養(yǎng)過程。在這里我們只是提了六種具體的策略，其實還有很多，一線的老師們有很多豐富的經驗，希望你們不斷地完善估算策略，并且在適當時候幫助學生進行總結。
三、估算的評價
關于估算評價，可以把估算分為兩種情況：一種是根據實際問題來估算，一種是脫離實際問題的情境——純算式的估算。
1．根據實際問題的需要，選擇合理的估算策略
學生只要能夠解決實際問題，那這個估算就應該是合理的，這是針對著解決實際問題來說的。只要你估算的結果，和實際要求解決問題的結果是一致的，就應當算正確。
2．純試題的估算，只要結果落在合理的區(qū)間內，就可以認為是正確的
有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，不能簡單地把估算結果是否與精確值最接近作為唯一的標準，只要能夠落在區(qū)間內，就視為是合理的。
同時不同年齡的學生，要有不同的評價標準。如低年級學生剛剛接觸估算，它的估算結果落在區(qū)間內，但是范圍比較大，我們覺得也可以。高年級的學生已經有了一定的估算經驗，就要引導他不斷地進行再反思，再調整，把估算的結果能落在更趨于合理的位置上。舉個例子來說：78×365積大約是多少，剛開始學習的時候，學生可能這樣估70×300，或者80×300，或者80×400，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算技能以后，老師要引導學生不斷地進行反思，還可以估成80×350。
3．注重對估算結果數量級中的把握
數量級也就是十、百、千，萬……，換句話說就可以用10的n次方表示。如TIMSS測試題很有意思，史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學生從下面選項中選擇答案。
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
這考查了學生對數量級的把握。
關于評價問題，我們認為學生們估算的策略不同，只要是合理的，就應當鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀點，交流自己的看法。在這個過程當中，肯定會有很多有價值的東西會在課堂中涌現出來，老師要小心翼翼地去呵護住學生們的這份探究精神，不要輕易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學會調整，不斷地學會反思，提升孩子這種判斷的能力。教師要不斷地站在學生的角度去思考、去挖掘這些方法的思維價值。不斷地培養(yǎng)孩子的估算意識，利用這種近似的意識來發(fā)展孩子的數學思維。
另外，從命題的角度，能不能讓題目更適合學生用估算的方法來解答。希望老師們能夠嘗試著出一些好題目，提出一些好問題，有利于學生估算意識的培養(yǎng)，有利于學生估算策略的選擇，不斷地提升學生的估算的能力。比如說在估算的題目當中，鼓勵學生進行二次的調整、選擇，這些策略都可以在和學生的交流和嘗試中不斷地讓學生去積累經驗。關于如何去評價估算的結果問題，需要我們不斷探索和研究的問題。
二、科學培養(yǎng)學生的運算技能
1．算理和具體計算方法的關系
一些教師認為，計算教學沒有什么道理可講，學生只要把法則牢記于心，反復“演練”就可以達到正確、熟練的要求。我們不能想像一個連基本的計算原理和方法都模糊不清的學生能夠靈活、簡便地進行計算，會具有較強的計算能力；
一些教師認為，算理非常重要，在計算過程中讓學生會說一整套的程序化的語言，以表明學生對算理的理解，這種任意拔苗助長的做法也是不可取的。因為這樣做不符合孩子的認知規(guī)律，也不可能讓小學生一下子說那么多？說那么多，他就是真的理解嗎？
學生在小學階段學過的定律有加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律五個運算定律。實際上從小學階段到中學，一直到實數范圍它是通行無阻的。從理論上講只有運用了運算定律，才能保證某些計算結果的嚴密性。以前我們只把運算定律用到簡算上，其實運算律不僅僅在此，更重要的是它能夠保證整個計算的正確性，取得唯一的結果。
⑴ 整數加法的算理
324+324=648，它的算理是什么呢？
324+324
=（300+20+4）+（300+20+4）
=（300+300）+（20+20）+（4+4）
=600+40+8
=648
在這里既運用了交換律、結合律，還利用了整數十進制計數法，最后算出來和是648。運用運算定律能夠保證計算結果的唯一性，這就是算理。而運算法則是人們進行計算的一個基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。運算法則，來自于算理；學生在做計算的時候是基于運算法則的，法則通常又要滿足運算律，這就是我們平時講課時應做到明確算理，掌握法則。
當學生沒有學習交換律和結合律時，怎樣能夠保證計算結果正確呢？老師根據學生的實際，用操作和教具演示等方法。如學生在做加法時，大塊和大塊的放在一起，小塊和小塊的放在一起，單根和單根放一起，很直觀，實際上就是把算理具體化和形象化的過程。
⑵小數乘法的算理
“0.3× 0.2”的算理是什么？有一部分老師認為就是把0.3和 0.2同時擴大10倍，積是6，然后再把6縮小100倍，最后結果是0.06。誤把這樣一個計算的過程當作了算理。
我們是這樣理解0.3× 0.2算理的：
0.3× 0.2
=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）
=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）
= 6× 0.01
= 0.06
計算中根據小數的意義，并利用乘法的交換律與結合律，保證了計算結果的正確性。
算理是四則運算的理論依據，它是由數學概念、運算定律、運算性質等構成的；具體的計算方法（主要指計算法則）是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律。所以，算理為法則提供理論依據，法則又使算理具體化。
現在計算教學淡化了程式化地敘述算理和計算法則，重在讓學生經歷計算方法的獲得過程，重在展示計算方法的形成過程，重在暴露學生的思維過程，讓學生真正理解算理，掌握具體的計算方法，形成計算技能。在教學中，既要使學生知道怎么算，又要知道為什么這樣算。學生明確了算理和具體的方法，才能靈活、簡便地進行計算，才可能產生多樣的算法。
⑶關于0.3× 0.2這個案例的討論
具體到0.3×0.2，孩子們做了各種推理，上面的這些方法都是把算理和法則融合在一起，有很高的思考價值。
畫圖的解法運用了數形結合的思想，也就是在一個邊長為1米的正方形中，長0.3米是3小格，寬0.2米是2個小格，畫出來以后就是在一百格里面有6個，所以是0.06。這種方法非常直觀，通過陰影部分與整個圖的關系得出陰影占百分之六，百分之六就是0.06。這說明學生能夠借助前面的經驗來解決問題的，而且學生的形象思維比較豐富。在具體直觀的圖中，學生理解了算理。
其余幾個孩子的想法，他們都有邏輯推理的過程：像 0.3乘0.2，他只把0.2擴大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再縮小10倍，就是0.06，他是在原有舊知識——0.3乘2已經掌握的基礎上，探究0.3乘0.2的，最后得出結果是0.06。
學生的這些方法都是很可貴的，具有思維價值，值得教師很好地挖掘。這些做法已經把算理和具體的計算方法有機地融合在一起了，不必單獨拿出來給學生講算理。作為教師，在課堂上，應該好好地保護學生這種可貴的創(chuàng)造精神。
在案例的探索過程中，有的老師不禁要問：“要不要在這兒花那么多工夫？”回答是肯定的。在新的數學知識學習過程中，如小數乘小數學生第一次接觸，一定要幫助學生在解決問題過程中，理解計算的道理，包括利用直觀圖、老師對學生的分析講解等；讓學生在理解的過程中，掌握具體的計算方法。
小數乘法學生沒學過，但他們可以用直觀、邏輯推理的方法來解決，這些方法都是用舊知推出新知，最后大家得出計算方法：小數乘小數的法則是先把整數相乘，然后，看它因數的小數位共有多少位，再從右邊起，點出幾位小數，這就是具體的計算方法。
我們再來看一節(jié)兩位數乘一位數豎式計算的案例，執(zhí)教者是杭州的特級教師丁杭纓老師。
【案例2】教師如何幫助學生理解算理
片斷：
在具體情境中，提出問題，學生列出乘法算式21X3。教師在引導學生探索方法中理解算理。
師：21乘以3到底等于多少呢？你能不能用以前學過的方法來解決這個問題呢？請你打開草稿本，把21乘以3等于多少，你是怎么算的，寫在草稿本上。
生獨立探索（略）
師：誰來解釋一下，他是怎么想的？
⑴20 ×3=60 ⑵ 2 1
1×3 =3 × 3
60+3= 63 6 3
生1：他是先把21分成兩份，一份是20，一份是1，然后用3乘20等于60，還有3乘1等于3，3加60等于63。
師：對，用了昨天我們學習的方法來算今天的知識，把21分成兩個部分，剛才這個小朋友已經說的，分成20和1，很好，然后再來看哪個小朋友的？
生2：我想先看那個小朋友的豎式寫法。
師：好，我們一起來看這個，這正是我們這節(jié)課學習的重點，用豎式來計算乘法，看明白了嗎？
生3：看明白了。
師：我還不明白，我請這個小朋友上來，跟大家說，你這個3是怎么來的，6是怎么來的？
生4：這個1乘3等于3，乘法里面還另有乘法，2這里沒有，乘法就不一樣的，2再斜過來，2乘3等于6，就算出來是63。
師：你們聽明白了嗎？
生：聽明白了。
師：你們都聽明白了。什么叫2斜過來了，斜過來的意思是什么，你來說，就是十位上沒有，把2乘以3，剛才他是用3去乘個位上的1，十位上有沒有跟3相乘，所以他就告訴大家，要斜過來，別忘了2再乘以3，是這個意思嗎？
師：這個3表示什么意思，我要把這個3用紅色的圈出來，3表示什么意思？
生5：表示3個1，
師：所以這個3要寫到個位上，6表示什么意思？
生6：6個10，
師： 6個10是怎么來的？
生7：因為那個2是20，不是2，十位上的2乘3是6個10。
師： 6是20乘3得到的，所以它表示的是6個10，因此6就應該寫在十位上。謝謝你給我們一個豎式，本來是我要教的，結果你一寫上來，就變成你教大家了，看明白了嗎？
師：那我們來看這個豎式，他這個豎式是很有創(chuàng)意的，我們來看看你為什么這樣寫？
生8：把這個約等于60，在這里3乘1等于3，3再加60等于63。
師：這是很有創(chuàng)意的一個豎式，我們給他命名為“曾氏豎式”，他說的第一步是大約的，20幾乘3，等于60幾，等于60幾呢，然后他再乘個位上的等于3，最后再加上前面的60，結果等于63。道理還是有一點的，對不對？我覺得這個曾同學還是很不錯的，老師沒教過他，他自己發(fā)明了一個豎式，就是發(fā)明的這個豎式，和我們現在規(guī)定的豎式不大一樣，我建議你用這樣的豎式來計算，可以嗎？
師：我就把你有創(chuàng)意的豎式，很不忍心地擦掉了，同學們我們今天學的乘法的豎式，是我們今天學的重點，但是我們在解決這個問題的時候，我們還可以用昨天學的知識，那就證明昨天的知識和今天學的知識肯定是有聯系的，對不對？有怎么樣的聯系，我們來找找它們之間的聯系好不好？
師：我點一個豎式中的數，你告訴我他相當于橫式中哪一步呀，你把它圈出來吧。
師：那么誰愿意上來點點看，在這個圖中是指哪一部分呢？
師：看來它們之間有著密切的聯系，我們把同學們的回答總結一下。
 60＋3=63（學生在把豎式中的結果與圖聯系時的確有困難）
師：你上來指指看是指哪一部分，在圖中是指哪一部分？剛才這一個小朋友指的是這一部分3乘1，那么現在2乘3十位上的2乘3是指哪一部分呢，圈一圈哪一部分？
師：你看豎式中的每一步和我們剛才口算當中的每一步，還有跟我們的圖形它都是有聯系的，我們一起來看大屏幕，老師為了把剛才我們點的把它寫上來，你看三個羽毛球相當于口算中的1乘3，相當于豎式中的個位上的1和3相乘；再請你看我們第二次的時候，我們是這樣子的來說的，接下去這根線應該連到哪里去呢，6，好，腦子里都聯清楚了，原來這三者之間是有聯系的。
好！同學們，剛才我們通過這樣的計算得到最后的結論是，21乘以3等于63個……
剛才丁杭纓老師這個教學的片斷給我們最大的啟發(fā)有兩點：
①老師給足學生探索的時間和空間。
過去教師往往是把把豎式呈現給學生，讓學生模仿，只要計算正確，就算完成教學任務。這種只關注學習結果，忽視計算過程的教學就失去了學生獨立思考探究的機會。丁老師在課堂上鼓勵學生，讓他們用自己的方法來解決問題，為學生的數學學習發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。我們看到課堂上有的同學列出橫式進行口算的，20×3=60
1×3=3
60＋3=63
21乘3，先用20乘3得60，再用1乘3得3，最后把這兩個結果加到一起得到63。還有的同學用豎式來計算，
 這位被老師稱為很有創(chuàng)造性的算法，算式里將估算和運算相結合，老師給了學生一個交流的平臺，并熱情地給予鼓勵。正是因為學生給學生一個寬松的、自主嘗試的機會，才讓學生對算理與計算方法有了這樣一種體驗和感悟。由此使我們想到計算教學的價值決不僅僅是只會計算就行了，而是在計算過程中激發(fā)學生積極主動地探索，使學生的創(chuàng)造潛力得以發(fā)揮。在課堂上，我們還看到老師收和放都比較自如，恰到好處地在學習探索中給予引領。在這點上也給我們較大的啟發(fā)。
②在直觀教學中理解算理。
面對學生各種各樣的算法，教師精心地設問，引發(fā)了學生更深層面的思考。在橫式、豎式的比較中，溝通了它們的聯系，特別是在算式與直觀圖形的比較中，深刻地理解了算理。如老師提問計算結果的“60”、“3”各表示什么意思，在圖中你能夠找到它嗎？教師幫助學生在口算、豎式和直觀圖建立它們之間的聯系，巧妙將算式和實物相結合。學生在聯系中理解了21×3的算理。教師把抽象的算理具體化、形象化。站位高，有想法。
但是，也有一點遺憾，就是當那個學生寫出的算式和規(guī)定的算式不一樣時，老師肯定他的算式很有創(chuàng)意，可是老師最后還是不忍心地將這個算式擦掉了，這真是有點遺憾。因為把孩子們富有創(chuàng)造力的想法展示在黑板上對學生是具有激勵作用的。其實把這個算式留在黑板上，讓孩子進行比較，在比較中進行思考，通過思考加深對乘法的認識。
這個片斷用時比較長，但重視學習過程是非常值得的，它遠比直接告訴學生具體的計算方法要厚重得多。雖然占用了一些時間，但這個過程是非常重要的。教師舍得給學生時間，讓學生在這樣的一個時空里得到很好地交流，他們的創(chuàng)造思維得到了充分地展示。學生在這樣的課堂里學習數學，學生的數學能力會不斷提升，他們能夠掌握更多的數學學習方法，而師生的交流促進了學數學學習的發(fā)展。。
作為小學數學教師，要不斷地學習和深刻地領悟運算中的算理；另外要在算理與具體的教學方法有機結合方面進行很好地探索；使學生能夠在直觀的、數形結合的實踐操作活動中，進一步深刻地感悟數學計算的道理，很好地掌握計算的方法。
2.如何面對學生的錯誤
談到科學地培養(yǎng)學生計算技能的問題，我們不能回避如何面對學生的錯誤。如何處理學生出現的錯誤是提高計算能力的一個重要的方面。前面我們討論了學生在計算中經常出現的問題，現在針對如何避免學生計算的錯誤提出幾點建議：
（1）要深入了解學生計算的現狀，準確分析錯誤的原因
作為老師，只有真正地了解了學生出現錯誤的原因，準確地分析出學生錯誤的原因，才能有的放矢對學生進行有效地指導。我們在分析學生錯因的時候，有的老師歸結到是學生的馬虎——審題不認真，計算不認真。那么在這馬虎的背后是不是要細細地思考學生到底為什么出錯呢？我們對學生的錯題做了調研，下面把學生的錯誤原因和老師們進行交流。
以“25×3=75”為例，學生怎么會得95呢？表面上是操作程序的錯誤，實際上是算理不清楚。我們在與學生交流時發(fā)現，學生做錯的原因是3乘5等于15向十位上進1，把2先加上進來1得3再乘3，結果得95。學生的問題是對乘法的算理的不理解，因此導致了計算方法的錯誤。老師只有深入了解學生，找準錯誤的原因，針對學生的問題進行指導，這樣才會有實效。
以“1.44÷1.8 = 8”為例，這道題錯誤的原因又是什么呢？在與學生交流時發(fā)現：學生不管被除數和除數小數位數各有多少位，都給化成整數了，所以1.44除以1.8就得8”。實際上這個學生還是對小數除法的算理不太清楚，必然導致該錯誤的出現。
以“49+1-49+1=0”為例，學生為什么會出現這樣的錯誤呢？混合運算的順序學生是清楚，為什么有近50%的孩子會出錯呢？學生對于形式上相似而實質不同的算式分辨不清，這就需要學生具有細致辨別的能力。
我們做過調研，學生單獨做這樣的題，錯誤率沒這么高，而和其他的題目混在一起計算的時候錯誤率很高，說明學生定勢思維的干擾。
怎樣處理學生的錯誤呢？當學生出錯時，不妨讓學生自己改一改題目，把兩個加號都改成乘號，49×1-49×1，這才得0呢！讓學生自己改題，這種針對性的訓練是非常必要的！抓住學生的錯誤不放往縱深發(fā)展，讓他自己反省。只有準確地把握住學生錯誤的原因，才能對癥下藥。
（2）幫助學生自己反思錯誤的原因
教師不僅要了解學生錯誤的原因，而且一定要幫助學生自己反思錯誤的原因。比如有一位學生一直把“三八二十四”的口訣誤記成了“三八二十六”，教師就要引導他自己發(fā)現錯誤的原因。當學生自己發(fā)現真正錯誤原因后，學生恍然大悟，“我怎么一下子把錯誤的口訣記了這么長的時間呢？”；另外老師們提到的除數是小數的除法，把小數轉化成整數計算，學生干脆把討厭的小數點全部劃掉，就是144除以18，像這樣的學生，教師一定要把他找來，讓他自己反思，幫助他找原因，老師一定要給予學生具體地指導，而一對一地對學生進行指導是非常重要的。
（3）選擇合適的訓練方法，幫助學生減少錯誤
第三個建議就是選擇合適的訓練方法，而訓練素材就顯得十分重要。前面我們也看到了張?zhí)煨⒗蠋熀屠钭婀蠋煹慕虒W經驗，他們不是海練、不是盲目地練，不是用題海戰(zhàn)術來提高學生計算的正確率。我們應該科學地進行訓練，哪些題該訓練，哪些題一定要在課堂上呈現或者需要反復地練習，教師一定要做到心中有數。根據學生的錯誤設計練習，進行有針對性地練習。這種做法對學生計算水平的提高是非常有效的。
3.科學培養(yǎng)學生運算技能的建議
為促進學生形成運算技能，加強練習是十分必要的，練習時要注意科學性，講求實效。一線教師在這方面有很多經驗，到底如何科學地培養(yǎng)學生的計算能力呢？
（1）首先應當以《標準》為依據，逐步達到《標準》中所規(guī)定的計算要求
課程標準對計算基本的要求如下：
——20以內的加減法和表內乘除法口算，速度要求是每分鐘8至于10題；
——三位數以內的加減法每分鐘2至3題；
——兩位數乘兩位數每分鐘1至于2題；
——除數是一位數被除數不超過三位數的除法每分鐘1至2題。
（2）處理好展開和壓縮的關系
計算教學中要處理好一個關系——展開和壓縮的關系。剛開始學習做題時，應該一步一個腳印來展開，先怎么做，再怎么做，最后怎么做，這些步驟學生一定要明白。如兩位數加兩位數筆算加法：先把相同數位對齊，從個位加起，滿十向十位進一；而且這個步驟要一步一步來，等到熟練以后這個過程就可以壓縮了，壓縮到學生不加思索就能做出來。比如說10以內的退位減法，有的老師用破10的方法，15-7=8，先用10-7=3，再用3+5=8。讓學生在動手操作的基礎上掌握計算方法，以后學生完全壓縮到自己都不能意識的程度，15-7=8很快就得出結果，這就是基本的計算技能訓練到位的表現。
（3）精心組織練習
練習的呈現方式要多種多樣，而且要符合學生的認知特點，激發(fā)學生的興趣。這就需要教師精心地準備練習。
在學習除法時，老師設計了這樣的練習：
⑴363÷3 549÷9 48÷4 54÷6 185÷5
讓學生體會商是幾位數？這是基本的練習題
⑵（ ）÷6=商是兩位數
這個題目比較開放，體現了思維的靈活性和逆向思維。
⑶寫出三個商是8的算式
這個題目更開放，被除數、除數都沒有確定，因為讓學生寫3個，學生沒有有序思考的意識。
⑷你能盡可能多的寫出商是8的算式嗎？（強調有序）
這道題的設計會和探索規(guī)律緊密結合；學生能夠在書寫的過程中，逐步找出規(guī)律，從而在總結規(guī)律的基礎上得出更普遍的結論，又體現了方法性知識——有序思考的滲透。
志品質等層面。這樣的練習就做到了有層次、有針對性，而且有效。
對于新學習的內容要及時練，及時反饋，因為遺忘是先快后慢的；對于舊知識不是不理不睬，在學習新的技能時要把學過的計算技能納入進去；老師在選擇練習時，要把那些容易錯的、易混的、具有強信息干擾的、思維定勢的題目多練。如：24×5和25×4、15×6和16×5學生特別容易混，就要對比練；而對于12×2、13×3這樣沒有進位的題目，就少練。
（3）注意練習的及時反饋，有效地進行調控和指導
加強對學習有困難的學生的輔導。正確認識學生個體的差異，因材施練，關注每個學生的學習，注意了解分析錯因，有針對性進行輔導。
（4）合理地安排練習時間
根據計算形成的各階段的特點，應適當地分配練習的次數和時間，技能的形成和鞏固需要有足夠的練習次數和時間，但是并非練習的次數越多，時間越長，練習的效果就越好。作為教師不能一味的“傻練”，認為“多多益善”的想法是不科學的。
以上，我們?yōu)榇蠹覓伋隽艘恍┌咐?，提了一些思考問題，也布置了作業(yè)。但時間比較緊張，要完成所有作業(yè)不大可能，希望老師們能針對某一個在教學中感受最深的問題認真思考。
三、有關算法多樣化的教學
1.算法多樣化的價值
算法多樣化的價值主要體現在一下方面：
第一，算法多樣化有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，有利于學生的自我建構，使他們的潛能得到充分地發(fā)展；
第二，算法多樣化有利于學生之間的交流，使學習資源能夠共享；
第三，算法多樣化有利于老師對學生的個性地了解，從而施行因材施教。
      看完這個案例，對我們有幾點啟發(fā)。
（1）創(chuàng)設情境，給學生獨立思考的空間
學生的這些想法體現了學生思維的靈活性，都是很有價值的，有直觀的方法，有轉化方法——除法轉化成乘法、分數轉化成小數，更值得一提的是學生看到分子是除數的倍數，就直接用分子除以除數，分母不變，體現了學生自我建構知識的過程。
(2)激發(fā)學生不斷交流不斷反思自己的計算方法
老師并沒有滿足于學生多樣化的算法，又設計了這樣 ÷3；正是這個題目的呈現，使學生產生了沖突，學生感到自己的方法具有局限性，從而把學生的思維引向深入，學生認識問題的深刻性得以體現，選擇方法的能力更強，這正是吳老師提倡的“允許學生再次選擇有思維價值的方法”。在計算中，學生發(fā)現4÷3覺得不方便了，0．8÷3也除不盡；學生覺得還是利用乘法比較方便，而且能夠解決這一類問題。學生在這一過程中進行廣泛的交流，在交流中相互碰撞、自我反思、自我修正，不斷地接納，提升了每種方法的價值，這正是數學的本質所在。讓學生對原有方法的自我反思和自我修正的過程。
學生在二次反思后，在鞏固練習中，還有新的感悟和體驗。由此我們深刻感到學生的體驗和感悟是需要一個過程的。換句話說：學生能夠根據不同的題目，選擇合適的算法和策略，靈活地解決問題。
2.算法多樣化教學的建議
在實施算法多樣化的過程中，我們給老師提出以下幾點具體的教學建議：
第一，鼓勵學生的獨立思考，主動探索出計算的方法；
第二， 鼓勵學生在獨立思考的基礎上進行交流；
第三，老師要善于比較不同方法的特點，挖掘不同算法的思維價值；
第四，教師要善于引導學生分析比較，在學生的質疑、辨析中促進學生對自己方法的反思和提升；
另外，教師有責任用適當的形式，向學生推薦一種比較好的算法，幫助學生進行再次選擇。
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