一．力對(duì)點(diǎn)之矩 (簡(jiǎn)稱(chēng)為力矩)
1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念
為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念。
力對(duì)點(diǎn)之矩用MO（F）來(lái)表示，即
Mo(F) = ± Fd
一般地，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱(chēng)為力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB
力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。矩心不同，力矩不同。
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。
力矩的單位是Nmm。
由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮 ⒎较蚝土Ρ鄱紱](méi)有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿?duì)某一矩心的力矩。
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過(guò)O點(diǎn)。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過(guò)矩心。
2.合力矩定理
設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩，令OA=l，則
由上圖可以看出，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為
據(jù)合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
兩邊同乘以l，得
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
3、力對(duì)點(diǎn)之矩的求法（力矩的求法)
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。 注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。
例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為α，又知OB=l，BC=h，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。
解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解
如圖，過(guò)點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過(guò)B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有
（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對(duì)正交的分力
力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù)。即
二．力偶及其性質(zhì)
1.力偶的定義
在工程實(shí)踐中常見(jiàn)物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)等。
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F(xiàn)')
力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d
力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量？
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量。
設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為
MO(F)+MO(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于點(diǎn)O是任意選取的，故
力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積
（與矩心位置無(wú)關(guān)）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd
規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位是Nmm。
力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
2.力偶的性質(zhì)
（1）力偶無(wú)合力。
力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡?？梢詫⒘土ε伎闯山M成力系的兩個(gè)基本物理量。
（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性
力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。
力偶的等效條件：
1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。經(jīng)驗(yàn)：
不論將力偶加在A、B位置還是C、D位置，對(duì)方向盤(pán)的作用效應(yīng)不變。
2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用。經(jīng)驗(yàn)：
平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
1.平面力偶系的合成
例 兩個(gè)力偶的合成
2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長(zhǎng)l=5m ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。
解 （1）以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫(huà)出受力圖
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
（2）列平衡方程
例2-5 電機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工件相連接，聯(lián)軸器上四個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，見(jiàn)圖2-2-6，此圓周的直徑d=150mm ，電機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M=25kNm，求每個(gè)螺栓所受的力。
解 以聯(lián)軸器為研究對(duì)象。
作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M，四個(gè)螺栓的約束反力，假設(shè)四個(gè)螺栓的受力均勻，則F1=F2=F3=F4=F，其方向如圖所示。由平面力偶系平衡條件可知，F(xiàn)1與F3 、F2與F4組成兩個(gè)力偶，并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M平衡。據(jù)平面力偶系的平衡方程
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。
上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用
三．平面一般力系的簡(jiǎn)化
1.力的平移定理
力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。
問(wèn)題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，
附加力偶，其力偶矩為
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩。于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化
F'R——平面一般力系的主矢，其作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心點(diǎn)O
α——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩Mo ， 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開(kāi)方，作用在簡(jiǎn)化中心上。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。
主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。
3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析
平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢F'R和一個(gè)主矩Mo，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果，則有下列情況：F'R =0,Mo≠0
F'R ≠0,Mo=0
F'R ≠0,Mo≠0
F'R =0,Mo=0(力系平衡)
（1）F'R ≠0,Mo≠0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。據(jù)力的平移定理，這個(gè)力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個(gè)合力FR，其作用線離O點(diǎn)的距離為d=Mo/F'R。
(2) F'R ≠0,Mo=0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力。主矢F'R 即為原力系的合力FR，作用于簡(jiǎn)化中心。
(3)F'R =0,Mo≠0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，其矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化
中心的主矩。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。因?yàn)榱ε紝?duì)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)。
(4)F'R =0,Mo=0，原力系是平衡力系。
四 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡條件
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
F'R =0,Mo=0， 即
平面一般力系的平衡方程為
可求解出三個(gè)未知量
2.平面平行力系的平衡條件
平面平行力系的平衡方程為
平面平行力系的平衡方程,也可用兩個(gè)力矩方程的形式，即
—式中A、B兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行
平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。
例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力G=500kN，重心在C點(diǎn)，與右軌相距a=1.5m。最大起吊重量P=250kN，與右軌B最遠(yuǎn)距離l=10m。平衡物重力為G1，與左軌A相距x=6m，二軌相距b=3m。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物G1的范圍。
解：取起重機(jī)為研究對(duì)象。是一平面平行力系
1)要保障滿載時(shí)機(jī)身平衡而不向右翻倒，則這些力必須滿足平衡方程，在此狀態(tài)下，A點(diǎn)將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNA=0。這樣求出的G1值是它應(yīng)有的最小值。
平衡方程：
∑Fy=0 -G1min-G-P+FNB=0
∑MB(F)=0 G1min(x+b)-Ga-Pl=0
2)要保障空載時(shí)機(jī)身平衡而不向左翻倒，則這些力必須滿足平衡方程，在此狀態(tài)下，B點(diǎn)將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNB=0。這樣求出的G1值是它應(yīng)有的最大值。
因此，平衡重力G1之值的范圍為
3.物體系統(tǒng)的平衡條件
物系——由多個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束組成的系統(tǒng)。
若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問(wèn)題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3n
物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力
物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力
物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒(méi)有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力，必須予以考慮。
例2-7 如圖所示，為一三鉸拱橋。左右兩半拱通過(guò)鉸鏈C聯(lián)接起來(lái)，通過(guò)鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G=40kN，P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。
解 （1）取整體為研究對(duì)象畫(huà)出受力圖，并建立如圖2-3-6b所示坐標(biāo)系。列解平衡方程
（2）取左半拱為研究對(duì)象畫(huà)出受力圖，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列解平衡方程
（3）取整體為研究對(duì)象。列解平衡方程
解平面力系平衡問(wèn)題的方法和步驟：
①明確題意，正確選擇研究對(duì)象。
②分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出受力圖。這是解題的關(guān)鍵一步，尤其在處理物系平衡問(wèn)題時(shí)，每確定一個(gè)研究對(duì)象就必須單獨(dú)畫(huà)出它的受力圖，不能將幾個(gè)研究對(duì)象的受力圖都畫(huà)在一起，以免混淆。另外，還要注意作用力、反作用力，外力、內(nèi)力的區(qū)別。在受力圖上內(nèi)力不畫(huà)出。
③建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系的原則應(yīng)使每個(gè)方程中的未知量越少越好，最好每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量。
④列解平衡方程，求未知量。在計(jì)算結(jié)果中，負(fù)號(hào)表示預(yù)先假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反。在運(yùn)算中應(yīng)連同符號(hào)一起代入其它方程中繼續(xù)求解。
⑤討論并校核計(jì)算結(jié)果。
物體系統(tǒng)中每個(gè)物體的受力分析方法和單個(gè)物體分析方法相同，但應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1.物系受力分析時(shí)往往需要畫(huà)整體受力圖
2.畫(huà)單個(gè)物體受力圖時(shí)，注意作用與反作用力的關(guān)系。
3.注意判斷二力構(gòu)件（二力桿）。二力構(gòu)件一般不作為單個(gè)物體畫(huà)獨(dú)立受力圖。
平面力系平衡
解平面力系平衡問(wèn)題的方法和步驟：
①明確題意，正確選擇研究對(duì)象。
②分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)出受力圖。這是解題的關(guān)鍵一步，尤其在處理物系平衡問(wèn)題時(shí)，每確定一個(gè)研究對(duì)象就必須單獨(dú)畫(huà)出它的受力圖。要注意作用力、反作用力，外力、內(nèi)力的區(qū)別。在受力圖上內(nèi)力不畫(huà)出。
③建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系的原則應(yīng)使每個(gè)方程中的未知量越少越好，最好每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量。
④列解平衡方程，求未知量。在計(jì)算結(jié)果中，負(fù)號(hào)表示預(yù)先假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反。在運(yùn)算中應(yīng)連同符號(hào)一起代入其它方程中繼續(xù)求解。
⑤討論并校核計(jì)算結(jié)果。
例1 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸鏈支座。受力如圖所示。已知： l=8m，F(xiàn)=5kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kN·m，試求固端A、鉸鏈C和支座E的反力。
解： 1.取CE段為研究對(duì)象，受力分析如圖。
