幾何畫板教程綱要

第1講  幾何畫板基本功能

隨著計(jì)算機(jī)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與發(fā)展，各種計(jì)算機(jī)軟件相繼推出。“幾何畫板”作為其中的佼佼者得到越來越多有識(shí)之士的青睞。幾何畫板“The Geometers Sketchpad”是美國(guó)優(yōu)秀的教育軟件，由人民教育出版社漢化并獨(dú)家出版發(fā)行，命名為《幾何畫板－21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何》。它也是教育部?jī)?yōu)先推廣的教育軟件之一。它的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合的準(zhǔn)確度高，動(dòng)態(tài)演示功能強(qiáng)，非常適合教學(xué)使用。

第一課  幾何畫板簡(jiǎn)介

一、運(yùn)行幾何畫板程序：

1、菜單欄——文件、編輯、顯示、構(gòu)造、變換、度量、圖表、窗口、幫助。

2、工具欄——選擇、畫點(diǎn)、畫圓、畫線、文本、自定義。

工具組

3、工作畫面——制作內(nèi)容的地方。

二．畫簡(jiǎn)單的圖形：

1、用畫圖工具畫圖形。

2．“撤銷”、“選擇”、“移動(dòng)”

3．“標(biāo)注”、“文本框”

4．“線型”、“顏色”和“隱藏對(duì)象”

5．“追蹤”和“擦除追蹤蹤跡”

第二課  用構(gòu)造菜單構(gòu)造圖形

在幾何畫板的工具欄內(nèi)有畫圓工具和畫線工具，相當(dāng)于是我們平常畫圖時(shí)用的圓規(guī)和直尺。根據(jù)平面幾何中尺規(guī)作圖的原則，已經(jīng)可以作出非常多的圖形。為了減少作圖時(shí)不必要的重復(fù)，并使作圖準(zhǔn)確、合理，幾何畫板中設(shè)置了一個(gè)“構(gòu)造” 菜單。下拉構(gòu)造菜單，可以看到如下一些命令：

對(duì)象上的點(diǎn)——在選定的對(duì)象上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)

中點(diǎn)——構(gòu)造選定線段的中點(diǎn)

交點(diǎn)——構(gòu)造兩個(gè)對(duì)象的交點(diǎn)

線段——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的線段

射線——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的射線

直線——構(gòu)造過兩個(gè)或更多的點(diǎn)的直線

垂線——構(gòu)造過一點(diǎn)與一條直線型對(duì)象垂直的直線

平行線——構(gòu)造過一點(diǎn)與一條直線型對(duì)象平行的直線

角平分線——構(gòu)造順序選定的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成角的平分線

以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓——構(gòu)造以圓心和圓周上的點(diǎn)（兩個(gè)點(diǎn)）的圓

以圓心和半徑畫圓——構(gòu)造以一點(diǎn)為圓心某線段為半徑的圓

圓上的弧——構(gòu)造過圓上選定的兩點(diǎn)的弧

過三點(diǎn)的弧——構(gòu)造過選定的三個(gè)點(diǎn)的弧

內(nèi)部——構(gòu)造一組點(diǎn)、一個(gè)圓、一條弧內(nèi)部

軌跡——構(gòu)造一對(duì)象隨路徑上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡

例1：過C點(diǎn)的線段AB的垂線

構(gòu)造垂線：選定線段AB | 選定點(diǎn)C | 選“垂線”

制作線段：選定C、D兩點(diǎn) | 選“線段”得到線段CD。

隱藏垂線：選定垂線CD | 選“隱藏”（注：不能刪除）

例2：構(gòu)造一個(gè)正方形。

1、畫一邊（線段）

2、作垂線

3、畫圓在垂線上截取等長(zhǎng)

4、作平行線或垂線

5、作三條邊隱藏直線

例3：作圓的割線中點(diǎn)的軌跡。

解：1. 在畫面上畫一個(gè)圓O和圓外一點(diǎn)D；

2．選中圓O，用構(gòu)造菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到一個(gè)點(diǎn)P；

3．作線段DP，選中它，用構(gòu)造菜單中的“中點(diǎn)”功能得到DP的中點(diǎn)M；

4．先后選中M點(diǎn)和P點(diǎn)，用構(gòu)造菜單中的“軌跡”功能，得到一個(gè)軌跡，軌跡為一個(gè)圓。             圖2－6

這個(gè)軌跡是當(dāng)P點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的中點(diǎn)M的軌跡。運(yùn)用軌跡功能一定要注意，動(dòng)點(diǎn)P應(yīng)是由路徑(圓O)上用“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到的，軌跡上的點(diǎn)M應(yīng)是由動(dòng)點(diǎn)P與其它條件聯(lián)立得到的，這樣就可以使用“軌跡”功能了。

構(gòu)造軌跡的例子

例4：構(gòu)造圓的垂直于直徑的半弦的中點(diǎn)的軌跡

作圓

作直徑

作垂處于直徑的弦

構(gòu)造半弦中點(diǎn)

構(gòu)造軌跡

也可設(shè)置動(dòng)畫并跟蹤點(diǎn)來畫出軌跡。

l        動(dòng)畫：選擇點(diǎn)，“編輯”|“操作類按鈕”|“動(dòng)畫”| 設(shè)置動(dòng)畫性質(zhì)。

例5：按橢圓定義構(gòu)造一個(gè)橢圓

利用橢圓的定義，先作一定長(zhǎng)線段AB，在線段上取一點(diǎn)C將AB分為AC和BC，當(dāng)C在AB上移動(dòng)時(shí)其和AB不變。

分別以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以AC和CB為半徑畫圓其交點(diǎn)的軌跡即是橢圓。

例6：橢圓的另一種畫法

1、作兩同心圓，作過圓心的直線l

2、作外圓的半徑AB交內(nèi)圓于H

3、過B作l的垂線k

4、過H作k的垂線交k于P

5、拖動(dòng)B點(diǎn)觀察P點(diǎn)的軌跡

6、設(shè)置B點(diǎn)動(dòng)畫跟蹤P點(diǎn)看軌跡

7、選中P點(diǎn)和B點(diǎn)“構(gòu)造”“軌跡”

如何證明它是橢圓可以指導(dǎo)學(xué)生完成。

例7：拋物線的一種畫法

1、畫出X軸和Y軸

2、畫出準(zhǔn)線L和焦點(diǎn)P

3、在準(zhǔn)線L上取一點(diǎn)A，過A點(diǎn)作準(zhǔn)線L的垂線

4、連接AP并作AP的垂直平分線交L于B

5、選中B和A，構(gòu)造軌跡

6、也可設(shè)置A在L上動(dòng)畫，并設(shè)置跟蹤點(diǎn)B。

l          求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般方法如下：

(1)   畫出一條直線或曲線(或其中的一段)，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能在直線或曲線上取一個(gè)點(diǎn)P；

(2)   使這個(gè)點(diǎn)P與其它的已知條件相關(guān)聯(lián)，得到我們所要求的點(diǎn)M，要求盡可能多用作圖菜單或變換菜單來完成，少用或不用畫圖工具，以減少人為因素的影響；

(3)   選中這個(gè)點(diǎn)M，用作圖菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn)；

(4)   選中P點(diǎn)和已知直線或曲線(或其中的一段)，用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫，使點(diǎn)P在已知直線或曲線(或其中的一段)上運(yùn)動(dòng)；

(5)   雙擊動(dòng)畫圖標(biāo)，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡；

(6)   先后選中M點(diǎn)、P點(diǎn)，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點(diǎn)的軌跡。

第三課  “度量”“圖表”菜單的使用和解析式的圖像

1．             度量菜單功能。

注：度量的結(jié)果可以用于顯示，也可以用它進(jìn)一步運(yùn)算，還可以用度量的結(jié)果再構(gòu)造圖形，這是一個(gè)很有用的功能。

長(zhǎng)度——度量線段的長(zhǎng)度。（選中線段，度量 | 長(zhǎng)度）

距離——度量?jī)牲c(diǎn)間或點(diǎn)到直線的距離。（選中兩點(diǎn)或點(diǎn)和直線，度量 | 距離）

周長(zhǎng)——度量圓、多邊形、扇形或弓形的周長(zhǎng)。（選中對(duì)象，度量 | 周長(zhǎng)）

圓周長(zhǎng)——度量圓、扇形或弓形的周長(zhǎng)。（選中對(duì)象，度量 | 周長(zhǎng)）

角度——度量三點(diǎn)構(gòu)成的角的角度。（選中三點(diǎn)，第二點(diǎn)為頂點(diǎn)，度量 | 角度）

面積——度量圓、多邊形、扇形或弓形的面積。（選中對(duì)象，度量 | 面積）

弧度角——度量弧、扇形或弓形的圓心角。（選中弧，度量 | 弧度角）

弧長(zhǎng)——度量弧、扇形或弓形的弧長(zhǎng)。（選中弧，度量 | 弧長(zhǎng)）

半徑——度量圓、弧的半徑。（選中弧或圓，度量 | 半徑）

比——度量?jī)蓷l線段的比。（選中兩線段，度量 | 比）

計(jì)算——用計(jì)算器或公式（函數(shù)）進(jìn)行計(jì)算。（對(duì)數(shù)值和度量值進(jìn)行公式或函數(shù)運(yùn)算）

坐標(biāo)——度量點(diǎn)的坐標(biāo)。（選中點(diǎn)，度量 | 坐標(biāo)。若是在極坐標(biāo)狀態(tài)下顯示極坐標(biāo)值）

橫坐標(biāo)——度量點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（選中點(diǎn)，度量 | 橫坐標(biāo)）

縱坐標(biāo)——度量點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（選中點(diǎn)，度量 | 縱坐標(biāo)）

坐標(biāo)距離——度量?jī)牲c(diǎn)間的距離。（注：?jiǎn)挝皇亲鴺?biāo)單位，不是長(zhǎng)度單位）

斜率——度量直線（線段）的斜率。（選中直線或線段，度量 | 斜率）

方程——度量直線的方程。（選中直線，度量 | 方程）

當(dāng)你生成了一個(gè)度量值時(shí)，此值出現(xiàn)在系統(tǒng)設(shè)定的位置上?？梢杂眠x擇箭號(hào)工具把度量值移到你要放的任何地方。用顯示菜單中的“字型”和“字體”功能改變文字的特征。

2．度量菜單中的“計(jì)算”功能。它可以作為一個(gè)常用的計(jì)算器來進(jìn)行常規(guī)運(yùn)算，更重要的是它可以把我們前面度量得到的度量值進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算，從而得到更多的數(shù)值。

例如我們得到了一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)X=1，選中這個(gè)坐標(biāo)值，用度量菜單中的“計(jì)算”功能，選定“3*數(shù)值X^2+2*X-6”（表示：3X²+2X-6），按“確定”后得到

   在計(jì)算器中用“*”表示乘號(hào)，用“/”表示除號(hào)，用“^”表示乘方。

在計(jì)算器的函數(shù)功能中設(shè)置了若干常用的函數(shù)，可以供我們?cè)谟?jì)算時(shí)使用，其中有：

正弦函數(shù)sin(x)         余弦函數(shù)cos(x)         正切函數(shù)tan(x) 

反正弦函數(shù)arcsin(x)    反余弦函數(shù)arccos(x)    反正切函數(shù)arctan(x)

絕對(duì)值函數(shù)abs(x)       平方根函數(shù)sqrt(x)      自然對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)

以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)log(x)   截尾函數(shù)trunc(x)   取整函數(shù)round(x)

符號(hào)函數(shù)signum(x)

函數(shù)的圖象舉例

用度量菜單中的“計(jì)算”功能可以作出很多常見函數(shù)的圖像。

例1：畫函數(shù)y=2x²的圖像。

2．選中x軸(若只有函數(shù)的圖象在某個(gè)給定的定義域內(nèi)，則在x軸上取相應(yīng)的線段)，用構(gòu)造菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能得到一個(gè)點(diǎn)X（或指向Ｘ軸待顏色發(fā)生變化時(shí)畫點(diǎn)）；

3．選定X點(diǎn)，用度量菜單中的“橫坐標(biāo)”功能求出X點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

4．選定這個(gè)橫坐標(biāo)，用度量菜單中的“計(jì)算”功能，求2*x^2的值作為y的值；

5．先、后選中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，用圖形菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”功能生成一個(gè)點(diǎn)M；

6．選中這個(gè)點(diǎn)M，用顯示菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn)；

7．選中原來的X點(diǎn),用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫，得到一個(gè)匹配路徑對(duì)話框，選擇好運(yùn)動(dòng)方式后按“動(dòng)畫”得到一個(gè)“動(dòng)畫”圖標(biāo)，使X點(diǎn)在x軸（或x軸上的線段）上運(yùn)動(dòng)；

8．單擊動(dòng)畫圖標(biāo)，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡；

9．先后選中M點(diǎn)、X點(diǎn)，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點(diǎn)的軌跡。

例2：畫三角函數(shù)y=sin(x)的圖像。

1．定義直角坐標(biāo)系。

2．在x軸上選定一條線段MN，在MN上任取一點(diǎn)X，計(jì)算點(diǎn)X的橫坐標(biāo)；

3．選中x的值，計(jì)算y=sin(x)的值，作為y的值；

4．先后選中x、y，用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”生成對(duì)應(yīng)點(diǎn)P；

5．選中這個(gè)點(diǎn)P，用“顯示”菜單中的“追蹤點(diǎn)”定義這個(gè)點(diǎn)；

6．選中X點(diǎn)和線段MN，用“編輯”菜單中的“動(dòng)畫”工具，得到一個(gè)動(dòng)畫圖標(biāo)；

7．單擊《動(dòng)畫》使X點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象；

8．選中P點(diǎn)、X點(diǎn)，用“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象。

擴(kuò)展：作函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像。

解：在三角函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像中有三個(gè)參數(shù)，A、ω、φ，我們可以取定值，

也可以分別取三個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)、ω點(diǎn)、φ點(diǎn)，使它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)分別表示這三個(gè)參數(shù)，這樣當(dāng)A點(diǎn)、ω點(diǎn)或φ點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，參數(shù)的值也同時(shí)變化。

在三角函數(shù)的運(yùn)算中，要使用角度。為了與函數(shù)的表達(dá)式盡可能一致，角度的選擇應(yīng)改為弧度值。下拉顯示菜單，用“參數(shù)選擇”功能，打開對(duì)象參數(shù)選擇對(duì)話框，將角度的單位改為弧度。

1．在y軸上取A點(diǎn)，計(jì)算它的縱坐標(biāo)作為A的值；在x軸上取ω、φ點(diǎn)，計(jì)算它們的橫坐標(biāo)作為ω、φ的值。

2．在x軸上選定一條線段MN，在MN上任取一點(diǎn)X，計(jì)算點(diǎn)X的橫坐標(biāo)；

3．選中A、ω、φ、x，計(jì)算y=Asin(ωx＋φ)的值，作為y的值；

4．先后選中x、y，用“圖表”菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”生成對(duì)應(yīng)點(diǎn)P；

5．選中這個(gè)點(diǎn)P，用“構(gòu)造”菜單中的“追蹤點(diǎn)”定義這個(gè)點(diǎn)；

6．選中X點(diǎn)和線段MN，用“編輯”菜單中的“動(dòng)畫”工具，得到一個(gè)動(dòng)畫圖標(biāo)；

7．“雙擊”《動(dòng)畫》使X點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像；

8．選中P點(diǎn)、X點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像。

當(dāng)拖動(dòng)A點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)振幅發(fā)生變化，其它亦然。

例3：按橢圓方程 作其圖像（a、b為常數(shù)）

1、在X軸上取A點(diǎn)度量其橫坐標(biāo)（常數(shù)a）。

2、在Y軸上取B點(diǎn)度量其縱坐標(biāo)（常數(shù)b）。

3、在X軸上取X點(diǎn)度量其橫坐標(biāo)。

4、由X、a、b“計(jì)算”出Y的值。

5、選中X和Y的值從“圖表”菜單中選“繪制（x,y）”得到P點(diǎn)和P’點(diǎn)。

6、分別選中P、X和P、X’“構(gòu)造”“軌跡”。

7、也可以設(shè)置X點(diǎn)動(dòng)畫并跟蹤P和P’點(diǎn)畫出圖像。

在這里可以提示學(xué)生利用已經(jīng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)一步計(jì)算圓錐曲線中的參數(shù)及與圖像的關(guān)系（如：a、b、c、e、準(zhǔn)線方程、漸近線方程等）

n         作函數(shù)的圖像的一般方法如下：

(1)   用圖表菜單下的“定義坐標(biāo)系”定義一直角坐標(biāo)系；

(2)   在x軸上任選一點(diǎn)P，用度量菜單中的“橫坐標(biāo)”功能求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)   選中橫坐標(biāo)，用度量菜單中的“計(jì)算”功能，算出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)；

(4)   先、后選中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，用圖表菜單中的“繪制點(diǎn)(x, y)”功能生成一個(gè)點(diǎn)M；

(5)   選中這個(gè)點(diǎn)M，用作圖菜單中的“追蹤點(diǎn)”功能定義M點(diǎn)；

(6)   選中原來的點(diǎn)P和x軸（或x軸上的一條線段）用編輯菜單中的“操作類按鈕……動(dòng)畫”功能定義一個(gè)動(dòng)畫，使點(diǎn)P在x軸（或x軸上的一條線段）上運(yùn)動(dòng)；

(7)   雙擊動(dòng)畫圖標(biāo)，觀察動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡；

(8)   先后選中M點(diǎn)、P點(diǎn)，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點(diǎn)的軌跡。

構(gòu)造圓錐曲線的方法很多，大家可以挖掘教材、整理結(jié)合點(diǎn)、設(shè)計(jì)教學(xué)，充分發(fā)揮幾何畫板的功能輔助教學(xué)。