數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個(gè)重要工具。由mn個(gè)數(shù)排成的m行n列的矩形表

稱為m×n矩陣,記作A或,也可記作(α_ij)或。數(shù)稱為矩陣的第i行第j列的元素。當(dāng)矩陣的元素都是某一數(shù)域F中的數(shù)時(shí),就稱它為數(shù)域F上的矩陣,簡(jiǎn)稱F上的矩陣。當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣,此時(shí)α₁₁,α₂₂,…,α_nn稱為n階矩陣的對(duì)角線元素，當(dāng)所有的非對(duì)角線元素α_ij(i≠j)均為零時(shí)，A就稱為n階對(duì)角矩陣,簡(jiǎn)稱對(duì)角矩陣。當(dāng)對(duì)角線下面(或上面)的所有元素均為0時(shí),A就稱為上（或下）三角矩陣。 在m×n矩陣A中取k個(gè)行和k個(gè)列,k≤m，n；由這些行與列相交處的元素按原來的位置構(gòu)成的k階行列式,稱為矩陣A的k階子式。一個(gè)n階矩陣A只有一個(gè)n階子式,它稱為矩陣A的行列式，記作│A│或detA。

目錄

• ? 矩陣的運(yùn)算
• ? 定義和相關(guān)符號(hào)
• ? 特殊矩陣類別
• ? 矩陣運(yùn)算
• ? 其他性質(zhì)

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矩陣-矩陣的運(yùn)算

 

 兩個(gè)矩陣只有在其行數(shù)與列數(shù)均分別相同，而且所有相應(yīng)位置的元素均相等時(shí)，才能稱為相等。只有在兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)均分別相同時(shí)，才能進(jìn)行加法。矩陣與 相加而得和，其中。 數(shù)乘矩陣是指數(shù)域F中任何數(shù) α 均可去乘F上任意矩陣 而得積 ，即αA仍為m×n矩陣，其第i行第j列的元素為αα_ij，i=1，2,…,m ；j=1,2,…,n。只有一個(gè)矩陣的列數(shù)等于另一個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行乘法：一個(gè)m×n矩陣A=(α_ij)去乘一個(gè)n×p 矩陣B=(b_ij)而得積AB是一個(gè)m ×p 矩陣D =(d_ij)，其中 ，即AB的行數(shù)與A的行數(shù)相同，而其列數(shù)與B 的列數(shù)相同。此種乘法規(guī)則也適用于分塊矩陣(即將元素劃分成若干小矩陣塊的矩陣)。分塊時(shí)A的列的分法應(yīng)與B的行的分法一致。

矩陣運(yùn)算有以下性質(zhì)：

A+B=B+A；
A+(B+C)=(A+B)+C；
α(A+B)=αA+αB；
(α+β)A=αA+βA；
α(βA)=(αβ)A；
α(AB)=(αA)B=A(αB)；
A(BC)=(AB)C；
(A+B)C=AC+BC；
A(B+C)=AB+AC，

這里A、B、C表示矩陣，α表示數(shù)域F中的數(shù)。

當(dāng)一個(gè)m×n矩陣的全部元素均為0時(shí),就稱為零矩陣，記作O_m×n。對(duì)于任意一個(gè)m×n矩陣A，恒有A+O_m×n=A；且恒有惟一的一個(gè)m×n矩陣B=(-1)A，使A+B=O_m×n，此B稱為A的負(fù)矩陣，簡(jiǎn)記為-A。易知-A的負(fù)矩陣就是A，即-(-A)=A。

數(shù)域F上的所有 m×n矩陣按上述矩陣加法和數(shù)乘矩陣運(yùn)算，構(gòu)成F上的一個(gè)m n維向量空間；F上的所有n階矩陣按矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為F上的n階全陣環(huán)。F上的n階全陣環(huán)視為F上的n²維向量空間，就構(gòu)成F上的n階全陣代數(shù)。

矩陣-定義和相關(guān)符號(hào)

 

以下是一個(gè)4×3矩陣：
　　某矩陣A的第i行第j列，或i,j位，通常記為A[i,j]　或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。
　　在C語言中，亦以A[j]表達(dá)。(值得注意的是,與一般矩陣的算法不同,在C中,"行"和"列"都是從0開始算起的)
　　此外A=(aij)，意為A[i,j]=aij對(duì)于所有i及j，常見于數(shù)學(xué)著作中。

一般環(huán)上構(gòu)作的矩陣

給出一環(huán)R，M(m,n,R)是所有由R中元素排成的m×n矩陣的集合。若m=n，則通常記以M(n,R)。這些矩陣可加可乘(請(qǐng)看下面)，故M(n,R)本身是一個(gè)環(huán)，而此環(huán)與左R模Rn的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)。

若R可置換，則M(n,R)為一帶單位元的R-代數(shù)。其上可以萊布尼茨公式定義行列式：一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式在R內(nèi)可逆。

在維基百科內(nèi)，除特別指出，一個(gè)矩陣多是實(shí)數(shù)矩陣或虛數(shù)矩陣。

分塊矩陣

分塊矩陣是指一個(gè)大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
可分割成4個(gè)2×2的矩陣。
此法可用于簡(jiǎn)化運(yùn)算，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)證明，以及一些電腦應(yīng)用如VLSI芯片設(shè)計(jì)等。

矩陣-特殊矩陣類別

 

對(duì)稱矩陣是相對(duì)其主對(duì)角線（由左上至右下）對(duì)稱,即是ai,j=aj,i。

埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對(duì)其主對(duì)角線以復(fù)共軛方式對(duì)稱,即是ai,j=a*j,i

特普利茨矩陣在任意對(duì)角線上所有元素相對(duì),是ai,j=ai+1,j+1。

隨機(jī)矩陣所有列都是概率向量,用于馬爾可夫鏈。

矩陣-矩陣運(yùn)算

 

　　給出m×n矩陣A和B，可定義它們的和A+B為一m×n矩陣，等i,j項(xiàng)為(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j]。舉例：
　　另類加法可見于矩陣加法.
　　若給出一矩陣A及一數(shù)字c，可定義標(biāo)量積cA，其中(cA)[i,j]=cA[i,j]。例如
　　這兩種運(yùn)算令M(m,n,R)成為一實(shí)數(shù)線性空間，維數(shù)是mn.
　　若一矩陣的列數(shù)與另一矩陣的行數(shù)相等，則可定義這兩個(gè)矩陣的乘積。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們是乘積AB是一個(gè)m×p矩陣，其中
　　(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+...+A[i,n]*B[n,j]對(duì)所有i及j。
　　例如
　　此乘法有如下性質(zhì)：
　　(AB)C=A(BC)對(duì)所有k×m矩陣A,m×n矩陣B及n×p矩陣C("結(jié)合律").
　　(A+B)C=AC+BC對(duì)所有m×n矩陣A及B和n×k矩陣C("分配律")。
　　C(A+B)=CA+CB對(duì)所有m×n矩陣A及B和k×m矩陣C("分配律")。
　　要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣A及B使得AB≠BA。
　　對(duì)其他特殊乘法，見矩陣乘法。

矩陣-其他性質(zhì)

 

線性變換，秩，轉(zhuǎn)置

矩陣是線性變換的便利表達(dá)法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連系：

以Rn表示n×1矩陣（即長(zhǎng)度為n的矢量）。對(duì)每個(gè)線性變換f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩陣A使得f(x)=Ax對(duì)所有x∈Rn。這矩陣A"代表了"線性變換f。今另有k×m矩陣B代表線性變換g:Rm->Rk，則矩陣積BA代表了線性變換gof。

矩陣A代表的線性代數(shù)的映像的維數(shù)稱為A的矩陣秩。矩陣秩亦是A的行（或列）生成空間的維數(shù)。
m×n矩陣A的轉(zhuǎn)置是由行列交換角式生成的n×m矩陣Atr（亦紀(jì)作AT或tA），即Atr[i,j]=A[j,i]對(duì)所有iandj。若A代表某一線性變換則Atr表示其對(duì)偶算子。轉(zhuǎn)置有以下特性：
(A+B)tr=Atr+Btr，(AB)tr=BtrAtr。

矩陣-單位矩陣與逆矩陣

 

 對(duì)角線元素都是 1的 n階對(duì)角矩陣,稱為n階單位矩陣,簡(jiǎn)記為I_n。對(duì)于任意矩陣A_m×n與B_n×p， 恒有，對(duì)于任意n階矩陣A,恒有AI_n=I_nA=A。若對(duì)于一個(gè)n階矩陣A,有一個(gè)n階矩陣B存在,使AB=BA=I_n,則B稱為A的逆矩陣,記作A^-1。易知B即A^-1是由A惟一確定的。當(dāng)A有逆矩陣A^-1時(shí)，A^-1也有逆矩陣且就是A,即(A^-1)^-1=A。有逆矩陣的n階矩陣，稱為非奇異矩陣；沒有逆矩陣的n階矩陣,稱為奇異矩陣。當(dāng)A和B都是n階非奇異矩陣時(shí)，則AB也是非奇異矩陣，且(AB)^-1=B^-1A^-1。這個(gè)等式用數(shù)學(xué)歸納法可推廣到任意有限多個(gè)n階非奇異矩陣的情形。

矩陣-轉(zhuǎn)置矩陣

 

一個(gè) m×n矩陣A的行與列的元素互換而得到的n×m矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A′或A^T。若A是一個(gè)n階方陣，且A′=A，則A稱為對(duì)稱矩陣。關(guān)于矩陣的轉(zhuǎn)置,有如下基本運(yùn)算規(guī)律：(A┡)┡=A;(A+B)┡=A′+B┡；(αA)┡=α(A┡)；(AB)┡=B┡A┡。

n階矩陣A =(α_ij)的元素α_ij在│A│中的代數(shù)余子式A_ij(i,j=1,2,…,n)仍是數(shù)域F中的數(shù),于是可作成如下的一個(gè)n階矩陣

，

并記為?₀。矩陣?₀,稱為A的伴隨矩陣。由行列式的性質(zhì)可知，A為非奇異矩陣，必要而且只要 │A│≠0，此時(shí)有。

矩陣-秩數(shù)與跡數(shù) 　

 

一個(gè)m×n矩陣A的每行可看成一個(gè)n元向量（即n元數(shù)列）,稱為A的行向量。m×n矩陣A就有m個(gè)行向量,這m個(gè)行向量中的線性無關(guān)極大組所含向量的個(gè)數(shù)，即行向量的秩數(shù)，稱為A的行秩數(shù)?？深愃贫xA的列秩數(shù)。任意矩陣A的行秩數(shù)恒等于其列秩數(shù),因此可簡(jiǎn)稱為A的秩數(shù)。A的秩數(shù)等于A的非零子式的最大階數(shù)。一個(gè)n階矩陣A的對(duì)角線元素的和,稱為A的跡數(shù)。對(duì)任意n階矩陣A與B,(A+B)的跡數(shù)=A的跡數(shù)+B的跡數(shù)；(kA)的跡數(shù)=k（A的跡數(shù)），這里k為某個(gè)數(shù)。

矩陣-環(huán)上的矩陣

 

 若用一個(gè)環(huán)R 去代替數(shù)域F,則可定義R上的矩陣及其運(yùn)算，而且上述有關(guān)數(shù)域F上的內(nèi)容，絕大部分都可以推廣到R上,尤其當(dāng)R是一個(gè)有單位元素1的交換環(huán)，甚至是一個(gè)域時(shí)，則上述的全部?jī)?nèi)容可以推廣到R上。R是一個(gè)域或復(fù)數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán)F【λ】的情形最為有用。

若A=(α_ij)是復(fù)數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣,I是n階單位矩陣，則A、I以及λI-A都可視為多項(xiàng)式環(huán)F【λ】上的n階矩陣

稱為A 的特征矩陣。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的 n 次多項(xiàng)式(－1)ⁿb₀，其中b_n-1恰為A的跡數(shù)，b₀恰為|A|，?(λ)=|λI-A|稱為A的特征多項(xiàng)式,其根稱為A的特征值或特征根。λ₀為A的一個(gè)特征值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩陣，使λ₀ξ=Aξ。此ξ稱為A的屬于λ₀的一個(gè)特征向量。A的屬于不同特征值的特征向量，恒在F上線性無關(guān)。

對(duì)于F【λ】中任意一個(gè)m次多項(xiàng)式，可以用F上任意一個(gè)n階矩陣A去代替λ而引出一個(gè)n階矩陣，其中I為n階單位矩陣。所謂凱萊－哈密頓定理,即如果?(λ)是F上n階矩陣A的特征多項(xiàng)式時(shí),那么恒有?(A)=O_n,其中O_n為n階零矩陣。由此可知，對(duì)于F上任意n階矩陣A,必存在唯一的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式φ(λ)使φ(A)=O_n。對(duì)于任意的多項(xiàng)式 g(λ)，g(A)=O_n 必要而且只要φ(λ)|g(λ)(即φ(λ)能整除g(λ)）。此φ(λ)就稱為A的最小多項(xiàng)式。

矩陣-矩陣的等價(jià)

 

對(duì)矩陣A的行與列或僅對(duì)行或僅對(duì)列施以若干次初等變換而得到矩陣B，稱為A等價(jià)于B,記為A≌B。矩陣之間的這個(gè)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性，所以它是一種等價(jià)關(guān)系。矩陣的等價(jià)是在討論一個(gè)向量空間到另一個(gè)向量空間的線性變換的各種矩陣表示問題中產(chǎn)生的。所謂矩陣的初等變換，是指以下的任何一種變換：①用F中任意的一個(gè)不為零的元素α去乘矩陣的第i行(列)；②把矩陣的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b為F中任意元素；③互換矩陣的第i與第j行(列)，并分別稱為第一、第二、第三種初等變換。

對(duì)F上的單位矩陣I進(jìn)行一次初等變換后所得出的矩陣，稱為初等矩陣。一種初等變換對(duì)應(yīng)于一種初等矩陣。對(duì)矩陣A的行施以某種初等變換的結(jié)果,恰等于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘A;對(duì)A的列施以某種初等變換的結(jié)果,恰等于用相應(yīng)的初等矩陣去右乘A。初等矩陣恒為可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣，因此初等矩陣的積恒為非奇異矩陣。由此可知，等價(jià)矩陣的秩數(shù)相同，或者說初等變換不改變矩陣的秩數(shù)。于是，經(jīng)若干次初等變換后，必可將每個(gè)秩數(shù)為r的矩陣的左上角化為r階單位矩陣,而其他位置都化為0。n階非奇異矩陣恒等價(jià)于n階單位矩陣，恒可表為若干個(gè)初等矩陣之積。因此,A≌B必要而且只要有非奇異矩陣P、Q使PAQ=B。

多項(xiàng)式環(huán)F【λ】上的矩陣，簡(jiǎn)稱為λ矩陣。在F【λ】上也可定義行列式。A(λ)的秩數(shù)定義為A(λ)的最大非零子式的階數(shù)。對(duì)λ矩陣也可進(jìn)行初等變換,在第一種初等變換中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的?(λ);第二種初等變換中則可用F【λ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定義可逆性，對(duì)于λ矩陣P(λ)若有λ矩陣K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I，則稱λ矩陣P(λ)是可逆的,λ矩陣K(λ)則稱為P(λ)的逆矩陣。也可以定義λ矩陣的等價(jià)。秩數(shù)為r的λ矩陣A(λ)必等價(jià)于所謂A(λ)的法式即λ矩陣：

，

這里的諸φ_i(λ)均由A(λ)惟一確定,且φ₁(λ)|φ₂(λ)|…|φ_r(λ)，首項(xiàng)系數(shù)均為1。

由此可知，一個(gè)n階λ矩陣P(λ)是可逆的，必要而且只要P(λ)為若干個(gè)與λ矩陣的初等變換相應(yīng)的初等矩陣的積；必要而且只要其行列式為F 中的非零元素。兩個(gè)λ矩陣A(λ)_m×n,B(λ)_m×n是等價(jià)的，必要而且只要有可逆λ矩陣P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的諸多項(xiàng)式φ_i(λ)，都稱為A(λ)的不變因子，且可作如下分解：

式中諸e_j(λ)是F【λ】中首項(xiàng)系數(shù)為1的互不相同的既約多項(xiàng)式；n_ij為非負(fù)整數(shù)，且最后一行中的n_1r,n_2r,…，n_kr均非零，并有。這些因子，除去指數(shù)n_ij=0者，都稱為A(λ)的初等因子。 必要而且只要它們的法式相同；必要而且只要它們的全部不變因子一致；必要而且只要它們的秩數(shù)與全部初等因子一致。

矩陣-矩陣的相似

 

 對(duì)于域F上兩個(gè)n階矩陣A、B，若有非奇異矩陣P,使P^-1AP=B,則稱為A相似于B，記為A～B。矩陣之間的這個(gè)關(guān)系,具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性,所以它是一種等價(jià)關(guān)系。矩陣的相似是在討論一個(gè)向量空間到自身之間的線性變換的各種矩陣表示問題中產(chǎn)生的。域F上兩個(gè)n階矩陣A與B相似，必要而且只要特征矩陣(λI-A)與(λI-B)在F【λ】上等價(jià)。λI-A的不變因子與初等因子,分別稱為A的不變因子與初等因子。特征矩陣λI-A的秩數(shù)，即A的階數(shù)n。因此,在F上的兩個(gè)n階矩陣A與B相似，必要而且只要它們的初等因子一致。當(dāng)F是一個(gè)代數(shù)封閉域時(shí)，F【λ】中的首項(xiàng)系數(shù)為1的既約多項(xiàng)式只能是形如(λ-α)的一次式，所以此時(shí)F上的一個(gè)n階矩陣A的全部初等因子必為如下的一些多項(xiàng)式：

，

。

于是A～J，而且除諸小塊的次序外，J是由A所惟一確定的。J 稱為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式。由此可知,只要找出A的全部初等因子即可求得A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式。要找出A的全部初等因子有一個(gè)較簡(jiǎn)捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通過初等變換化成對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的全部多項(xiàng)式不一定恰是A的全部不變因子,只要將其中每個(gè)非常數(shù)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)化為 1，再分解因子，即可象從不變因子求出初等因子那樣得出A 的全部初等因子。

設(shè)N是任意域F上的一個(gè)方陣，若有正整數(shù)m使N^m=0，則N稱為一個(gè)冪零矩陣。例如，把上述若爾當(dāng)小塊中的α全換成0得出的h階矩陣N，就是一個(gè)冪零矩陣，因?yàn)?em>N^h=0。

若F上的方陣K具有性質(zhì)K ²=K,則稱K為一個(gè)冪等矩陣。例如單位矩陣就是一個(gè)冪等矩陣。由直接計(jì)算可知，對(duì)F上任意多項(xiàng)式?(λ)，有。因此，與冪零矩陣相似的矩陣仍為冪零矩陣；與冪等矩陣相似的矩陣仍為冪等矩陣。

實(shí)數(shù)域上一個(gè)非奇異矩陣T若具有性質(zhì)T┡=T^-1(T┡是T 的轉(zhuǎn)置矩陣),則稱為一個(gè)正交矩陣。例如解析幾何里直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式的系數(shù)矩陣就是正交矩陣。一個(gè)正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣（即其逆矩陣）仍為正交矩陣；兩個(gè)同階的正交矩陣的積仍為正交矩陣。實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣A，恒可通過適當(dāng)?shù)恼痪仃?em>T而相似于對(duì)角矩陣D，即D=T^-1AT=T┡AT，且D 的對(duì)角線上的實(shí)數(shù)就是A的全部特征根。

復(fù)數(shù)域上的一個(gè)非奇異矩陣U 若具有性質(zhì)ū ┡＝U^-1或U┡＝(ū)^-1(ū ┡為U 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣)，就稱為一個(gè)酉矩陣。一個(gè)酉矩陣的共軛矩陣仍為酉矩陣；一個(gè)酉矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為酉矩陣;一個(gè)酉矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣(即其逆矩陣）仍為酉矩陣；兩個(gè)同階的酉矩陣的積仍為酉矩陣。復(fù)數(shù)域上凡滿足的矩陣A，稱為埃爾米特矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣作為復(fù)數(shù)域上的矩陣時(shí)，就是埃爾米特矩陣。任意一個(gè)埃爾米特矩陣A,恒可通過適當(dāng)?shù)挠暇仃?em>U 而相似于實(shí)對(duì)角矩陣D，即D =U┡Aū,且D 的對(duì)角線元素恰為A 的全部特征根。一個(gè)正交矩陣作為復(fù)數(shù)域上的矩陣時(shí)，也是一個(gè)酉矩陣。

矩陣-矩陣的合同

 

當(dāng)矩陣A經(jīng)過若干套初等變換而化為矩陣B 時(shí),則稱為A合同于B,記為。矩陣之間的這個(gè)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性，所以它是一種等價(jià)關(guān)系。矩陣的合同是在討論用(對(duì)稱)矩陣表示二次型的問題中產(chǎn)生的。

所謂一套初等變換，是指將某一種初等變換首先對(duì)一個(gè)矩陣的第i列（行）施行而得一矩陣,然后再對(duì)此所得矩陣的第i行(列)施行又得一矩陣。第一、二、三套初等交換，分別由第一、二、三種初等變換組成。

兩個(gè)n階矩陣A與B 合同，必要而且只要有非奇異矩陣P 使P┡AP ＝B。與對(duì)稱矩陣合同之矩陣仍為對(duì)稱矩陣。每個(gè)秩數(shù)為r的實(shí)對(duì)稱矩陣A恒合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上有p個(gè)1與q個(gè)-1；其他的對(duì)角線元素均為0，這里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p與q都是由A所惟一確定的。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根恒為實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣A 能合同于而又相似于一個(gè)對(duì)角矩陣,其對(duì)角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣合同的實(shí)對(duì)稱矩陣，稱為正定矩陣。對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A,以下命題是等價(jià)的：A為正定矩陣；有非奇異矩陣Q使；A的所有主子式均為正實(shí)數(shù)；A的所有i階主子式之和S_i均為正實(shí)數(shù)(i=1,2,…,n)；A的所有左上角的主子式均為正實(shí)數(shù);A的所有特征根均為正實(shí)數(shù)；A所相應(yīng)的二次型為正定型。

對(duì)一個(gè)復(fù)數(shù)方陣施以第一套初等變換，就是用不為零的α乘i行,再用ā乘第i列；施以第二套初等變換，就是把第i行的b倍加于第j行,再用第i列的姼倍加于第j列；施以第三套初等變換仍然是互換第i和第j兩行，再互換第 i和第j兩列。若對(duì)復(fù)數(shù)方陣A施以上述的若干套初等變換而得方陣B,則稱為A能h合同于B。矩陣的h合同關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性，所以它是一種等價(jià)關(guān)系。兩個(gè)n階復(fù)數(shù)矩陣A與B是h 合同的,必要而且只要有非奇異矩陣P 使P′A圴 ＝B。與埃爾米特矩陣是h 合同的矩陣仍為埃爾米特矩陣。每個(gè)埃爾米特矩陣A 恒h 合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上有p個(gè)1與q個(gè)－1，其他元素均為0,這里p≥0,q≥0，p +q為A的秩數(shù),而且p、q均是由A 所惟一確定的。埃爾米特矩陣的特征根恒為實(shí)數(shù)。埃爾米特矩陣A 不僅恒能h 合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，而且必能相似于一個(gè)對(duì)角矩陣,此時(shí)其對(duì)角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣是h合同的埃爾米特矩陣,稱為正定埃爾米特矩陣。對(duì)于一個(gè)n階埃爾米特矩陣A，以下命題是等價(jià)的：A 為正定埃爾米特矩陣；有非奇異矩陣Q 使;A的所有主子式為正實(shí)數(shù);A 的所有i階主子式之和S_i,均為正實(shí)數(shù)(i=1,2,…,n)；A的所有左上角的主子式均為正實(shí)數(shù);A的所有特征根均為正實(shí)數(shù);A所相應(yīng)的埃爾米特二次型是正定埃爾米特二次型。復(fù)數(shù)域上的一個(gè)方陣A若滿足A凴′=凴′A(即A與凴′可交換)就稱A為正規(guī)矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣與酉矩陣都是正規(guī)矩陣。每個(gè)復(fù)數(shù)方陣A均可表為A=h₁+ih₂，其中h₁與h₂均為由A 所惟一確定的埃爾米特矩陣，此時(shí)A為正規(guī)矩陣必要而且只要h₁與h₂可交換。正規(guī)矩陣A與凴′有相同的特征向量。一個(gè)復(fù)數(shù)方陣A為正規(guī)矩陣,必要而且只要有酉矩陣U 使U^-1AU 為對(duì)角矩陣。

矩陣的理論起源，可追溯到18世紀(jì)，見于著作則是在19世紀(jì)。A.凱萊在1858年引進(jìn)矩陣為一個(gè)正方形的排列表，且能進(jìn)行加法與乘法運(yùn)算，于是人們就把A.凱萊作為矩陣論的創(chuàng)始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年與F.G.M.艾森斯坦在1844～1852年就早已先后把一個(gè)線性替換(即線性變換)的全部系數(shù)作為一個(gè)整體，并用一個(gè)字母來表示。艾森斯坦還強(qiáng)調(diào)乘法的次序的重要性，指出ST與TS未必相同。與艾森斯坦同時(shí)的C.埃爾米特以及稍后的E.N.拉蓋爾和F.G.弗羅貝尼烏斯也都先后發(fā)展了線性替換的符號(hào)代數(shù)。弗羅貝尼烏斯較豐富的工作于1877年發(fā)表在最早的數(shù)學(xué)雜志之一的《克雷爾雜志》上。矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的求逆,矩陣的特征值與廣義特征值等是矩陣論的經(jīng)典內(nèi)容；矩陣方程論，矩陣分解論，廣義逆矩陣等是矩陣論的現(xiàn)代內(nèi)容。矩陣及其理論在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

矩陣-矩陣圖法的涵義

 

矩陣圖法就是從多維問題的事件中，找出成對(duì)的因素，排列成矩陣圖，然后根據(jù)矩陣圖來分析問題，確定關(guān)鍵點(diǎn)的方法，它是一種通過多因素綜合思考，探索問題的好方法。在復(fù)雜的質(zhì)量問題中，往往存在許多成對(duì)的質(zhì)量因素．將這些成對(duì)因素找出來，分別排列成行和列，其交點(diǎn)就是其相互關(guān)聯(lián)的程度，在此基礎(chǔ)上再找出存在的問題及問題的形態(tài)，從而找到解決問題的思路。矩陣圖的形式如圖所示，A為某一個(gè)因素群，a1、a2、a3、a4、…是屬于A這個(gè)因素群的具體因素，將它們排列成行；B為另一個(gè)因素群，b1、b2、b3、b4、…為屬于B這個(gè)因素群的具體因素，將它們排列成列；行和列的交點(diǎn)表示A和B各因素之間的關(guān)系。按照交點(diǎn)上行和列因素是否相關(guān)聯(lián)及其關(guān)聯(lián)程度的大小，可以探索問題的所在和問題的形態(tài)，也可以從中得到解決問題的啟示等。質(zhì)量管理中所使用的矩陣圖，其成對(duì)因素往往是要著重分析的質(zhì)量問題的兩個(gè)側(cè)面，如生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了不合格品時(shí)，著重需要分析不合格的現(xiàn)象和不合格的原因之間的關(guān)系，為此，需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來，逐一分析具體現(xiàn)象與具體原因之間的關(guān)系，這些具體現(xiàn)象和具體原因分別構(gòu)成矩陣圖中的行元素和列元素。矩陣圖的最大優(yōu)點(diǎn)在于，尋找對(duì)應(yīng)元素的交點(diǎn)很方便，而且不遺漏，顯示對(duì)應(yīng)元素的關(guān)系也很清楚。矩陣圖法還具有以下幾個(gè)點(diǎn)：①可用于分析成對(duì)的影響因素；②因素之間的關(guān)系清晰明了，便于確定重點(diǎn)；③便于與系統(tǒng)圖結(jié)合使用。

二、矩陣圖法的用途矩陣圖法的用途十分廣泛．在質(zhì)量管理中．常用矩陣圖法解決以下問題：①把系列產(chǎn)品的硬件功能和軟件功能相對(duì)應(yīng)，并要從中找出研制新產(chǎn)品或改進(jìn)老產(chǎn)品的切入點(diǎn)；②明確應(yīng)保證的產(chǎn)品質(zhì)量特性及其與管理機(jī)構(gòu)或保證部門的關(guān)系，使質(zhì)量保證體制更可靠；③明確產(chǎn)品的質(zhì)量特性與試驗(yàn)測(cè)定項(xiàng)目、試驗(yàn)測(cè)定儀器之間的關(guān)系，力求強(qiáng)化質(zhì)量評(píng)價(jià)體制或使之提高效率；④當(dāng)生產(chǎn)工序中存在多種不良現(xiàn)象，且它們具有若干個(gè)共同的原因時(shí)，希望搞清這些不良現(xiàn)象及其產(chǎn)生原因的相互關(guān)系，進(jìn)而把這些不良現(xiàn)象一舉消除；⑤在進(jìn)行多變量分析、研究從何處入手以及以什么方式收集數(shù)據(jù)。

三、矩陣圖的類型矩陣圖法在應(yīng)用上的一個(gè)重要特征，就是把應(yīng)該分析的對(duì)象表示在適當(dāng)?shù)木仃噲D上。因此，可以把若干種矩陣圖進(jìn)行分類，表示出他們的形狀，按對(duì)象選擇并靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)木仃噲D形。常見的矩陣圖有以下幾種：(1)L型矩陣圖。是把一對(duì)現(xiàn)象用以矩陣的行和列排列的二元表的形式來表達(dá)的一種矩陣圖，它適用于若干目的與手段的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或若干結(jié)果和原因之間的關(guān)系。(2)T型矩陣圖。是A、B兩因素的L型矩陣和A、c兩因素的L型矩陣圖的組合矩陣圖，這種矩陣圖可以用于分析質(zhì)量問題中“不良現(xiàn)象一原因一工序”之間的關(guān)系，也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之間酌關(guān)系等。(3)Y型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與A因素三個(gè)L型矩陣圖組合在一起而形成的矩陣圖。(4)X型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與D因素、D因素與A因素四個(gè)L型矩陣圖組合而形成的矩陣圖，這種矩陣圖表示A和B、D，D和A、C，C和B、D，D和A、C這四對(duì)因素間的相互關(guān)系，如“管理機(jī)能一管理項(xiàng)目一輸入信息一輸出信息”就屬于這種類型。（5)C型矩陣圖。是以A、B、C三因素為邊做出的六面體，其特征是以A、B、c三因素所確定的三維空間上的點(diǎn)為“著眼點(diǎn)”。

四、制作矩陣圖的步驟制作矩陣圖一般要遵循以下幾個(gè)步驟：①列出質(zhì)量因素：②把成對(duì)對(duì)因素排列成行和列，表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系；③選擇合適的矩陣圖類型；④在成對(duì)因素交點(diǎn)處表示其關(guān)系程度，一般憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行定性判斷，可分為三種：關(guān)系密切、關(guān)系較密切、關(guān)系一般（或可能有關(guān)系)，并用不同符號(hào)表示；⑤根據(jù)關(guān)系程度確定必須控制的重點(diǎn)因素；⑥針對(duì)重點(diǎn)因素作對(duì)策表。

矩陣-歷史

 

矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德?威廉?萊布尼茨建立了行列式論(theoryofdeterminants)。1750年，加布里爾?克拉默其后又定下了克拉默法則。1800年代，高斯和威廉?若爾當(dāng)建立了高斯—若爾當(dāng)消去法。

1848年詹姆斯?約瑟夫?西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有凱萊、威廉?盧云?哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮?諾伊曼。

矩陣-矩陣卡

 

矩陣卡是由深圳網(wǎng)域提出的一種保護(hù)個(gè)人賬號(hào)的系統(tǒng),它是由一張表格組成,橫排是A\BC\D等英文字母,在豎排是1.2.3等阿拉伯?dāng)?shù)字，在登錄時(shí)必須通過矩陣卡的驗(yàn)證才可以進(jìn)入游戲。

類似于矩陣卡

矩陣卡

矩陣-相關(guān)詞條

 

數(shù)字矩陣、線性方程、行列式、線性變換、線性方程組、向量空間、歐幾里德空間、特征向量、線性空間

1、http://www./

2、http://www./bacc/2007-6-19/76195279114.htm