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選修課程——數(shù)學文化 2006年進入山東省實驗中學以后，學校領導安排我給學生開一門數(shù)學選修課，結合我研究生期間所學專業(yè)，又我校許多學生非常喜愛數(shù)學，希望可以了解一些數(shù)學知識的產生歷史等等，經領導同意，我開設了《數(shù)學文化》課，內容包括數(shù)的產生與發(fā)展，無窮之旅，歐氏幾何與幾何原本，數(shù)學與美，數(shù)學悖論，數(shù)學與金融，數(shù)學與理性等內容，在學生中反響不錯。下面我把內容提綱給各位老師展示一下，歡迎大家批評指正。
數(shù)學文化賞識
概述
今天，數(shù)學科學的迅猛發(fā)展，比以往任何時候都更牢固地確立了它作為整個科學技術的基礎的地位，數(shù)學正突破傳統(tǒng)的應用范圍向幾乎所有的人類知識領域滲透，并越來越直接或間接地為人類物質生產與日常生活做出貢獻。數(shù)學是研究數(shù)與形的科學，它來源于生產，服務于生活。在古代埃及，尼羅河定期泛濫，重新丈量土地的需要發(fā)展了幾何學；在古代中國，發(fā)達的農業(yè)生產及天文觀測的需要，也促進了數(shù)學的發(fā)展。數(shù)學并不是一棵傲然孤立的大樹，數(shù)學與社會文化始終是密切相關的，它是在人類的物質需求和精神生活影響下生長起來的，同時它也以自己獨特的魅力對人類文化的不同領域產生深遠影響。數(shù)學作為一種文化，已成為人類文明進步的標志。
眾所周知，柏拉圖(Plato)曾在他的哲學學校門口張榜聲明，不懂幾何學的人不要進他的哲學學校，這并不是因為他的學校里所學的課程與幾何學有多大的關系，或者非要用到幾何知識不可。相反，柏拉圖哲學學校里所設置的盡是些關于社會學、政治學和倫理學之類的課程。所探討的問題也都是關于社會的、政治的和道德方面的問題，并由此而去研究人的存在、尊嚴和責任，以及他們所面對的上帝與未知世界的關系。顯然諸如此類的課程與論題，在知識基礎上與幾何學沒有什么直接聯(lián)系，談不上要直接以幾何學為工具而去研究這類問題或學習這類課程。柏拉圖之所以要求他的弟子們通曉幾何學，只是立足于數(shù)學教育的文化素質原則，也就是說，不經過嚴格的數(shù)學訓練的人是難以深入討論他所設置的課程，以及上述一類高級論題的。據說英國律師至今要在大學里學習許多數(shù)學知識，這也不是因為英國律師學習的課程與數(shù)學工具有何直接聯(lián)系，而只是出于這樣的一種考慮：那就是通過嚴格的數(shù)學訓練，使之養(yǎng)成一種堅定不移而又客觀公正的品格，使之形成一種嚴格而精確的思維習慣，從而對他們的事業(yè)取得成功大有益助。再舉一個更為典型的事例，那就是許多高深的數(shù)學課都是美國西點軍校學生的必修課。聞名于世的美國西點軍校被譽為西方名將的搖籃，建校將近兩個世紀，美國許多高級將領都是西點軍校的畢業(yè)生。然而以培養(yǎng)將帥為目標的西點軍校之所以要設置許多高深的數(shù)學課程，其目的并不在于未來實戰(zhàn)指揮中要以這些數(shù)學知識為工具，而主要是出于如下的原則：那就是只有經過嚴格的數(shù)學訓練，才能使學員們在軍事行動中，把那種特殊的活力與靈活的快速性互相結合起來，才能使學員們具有把握軍事行動的能力和適應性，從而為他們馳騁于疆場打下堅實的基礎?？梢哉f，當如上所說的種種學生，后來真正成為哲學大師、著名律師或運籌帷幄的將帥時，實際上早把學生時代所學到的那些具體的數(shù)學知識忘得一干而凈了，但他們當年所受到的數(shù)學訓練，卻一直在他們的事業(yè)和生存方式中起著重要作用，直至受用終身?？傊瑥陌乩瓐D哲學學校到美國的西點軍校之所以如此重視數(shù)學訓練，無不淵源于提高數(shù)學文化素質的原則。
下面讓我們從更多的事例、更多的方面來領略數(shù)學文化的風采。
第一節(jié) 《幾何原本》與理性思維
《幾何原本》 歐幾里得（Euclid，公元前330—公元前275）通過收集、整理前人和別人的成果并加以自己的獨特的構造設計完成了一部劃時代的著作《幾何原本》。全書13卷，共有467個命題。在開卷里，歐幾里得首先精心選擇了23個定義；其次分別列出了五個公設和五個公理（按亞里士多德規(guī)定：公理是一切科學所共有的真理，而公設則是各門科學所特有的原理）；最后，歐幾里得通過邏輯演繹由公設和公理（并依據相應的定義）逐一引出了467個命題。
《幾何原本》的第一卷到第四卷主要是直邊形和圓的基本性質及有關的命題；第五卷是比例理論，這一卷把比例關系的理論推廣到不可公度的量從而避免了無理數(shù)；第六卷是利用比例理論討論和研究相似形的問題；第七、八、九卷是數(shù)論理論，它討論研究了有關整數(shù)和整數(shù)之比性質的有關命題；第十卷是不可公度量的分類；第十一、十二、十三卷是立體幾何的有關命題。
對于歐幾里得的貢獻，人們給予了高度的評價。歐幾里得系統(tǒng)地收集、整理、篩選了古希臘已有的數(shù)學成果，并對此進行精心的安排和處理，不僅很好地避開了當時還沒有解決的困難，更是按照邏輯方法將其組織成了一個演繹系統(tǒng)，從而，在人類數(shù)學史上第一次給出了一個公理化了的數(shù)學理論體系。也正因為如此，《幾何原本》就跨越地域、民族、語言和時間的一切障礙而傳播到了整個世界，公理化方法作為數(shù)學的一種理論形式更為人們所普遍接受。即人們普遍有了這樣的認識：所有的數(shù)學理論，都必須按照數(shù)學的定義、公理（公設）和三段論式的邏輯論證來組織，并由此構成數(shù)學結構的大廈。從而，《幾何原本》事實上就已成為數(shù)學發(fā)展中高高樹起的一面旗幟，西方數(shù)學乃至今日全部的數(shù)學都跟隨這個飄揚的旗幟而前進著。也正是在這樣的意義下，可以毫不夸張地說，《幾何原本》作為人類智慧的光輝結晶，它在數(shù)學史上的作用是沒有任何一本著作可以與之比擬的。
綜 述 把《幾何原本》放在古希臘文化的系統(tǒng)中，并從文化史的宏觀角度去進行分析，可以看到她有著更為廣泛和重要的意義。《幾何原本》依據柏拉圖哲學、亞里士多德的邏輯學和歐幾里得的精心構思，所表現(xiàn)出的已不僅是一種數(shù)學命題的真理特征，更為重要的是它借助數(shù)學表現(xiàn)了一種認識世界、表述世界的獨特文化意義，并由此給人們提供一種思維的理性方式：從幾個簡單的原理出發(fā)，可以邏輯演繹出整個理論體系，進而表現(xiàn)這個理論所揭示的真理。一種數(shù)學方法能最終演化成為一種認識世界的理性思維方式，這不能不說是數(shù)學所能達到的最高的文化意義。
第二節(jié) 微積分與西方文化
微積分 微積分——這部無限的交響樂是由全世界千千萬萬的數(shù)學工作者經歷了2500年之久用才智、汗水、血淚等譜寫而成的，正如著名數(shù)學家R.柯朗所指出的：“微積分乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結晶”。微積分是自古希臘《幾何原本》建立以來最偉大的成就，她是數(shù)學史上一座高峰。因此熟悉這學科的歷史發(fā)展，了解人類的這一巨大精神財富、文化財富的積累過程和歷代數(shù)學家艱苦卓絕的奮斗精神，對于陶冶一個人的數(shù)學思想情操，增長與提高數(shù)學意識與思維能力，形成數(shù)學世界觀都將具有重要的意義。
17世紀前后，正是歐洲封建主義日趨沒落，新興的資本主義急劇發(fā)展的時期，由于生產力的不斷提高、科學技術的不斷進步，航海、天文、力學、軍事、機械都向數(shù)學提出了大量迫切需要解決的數(shù)學問題，這促使了微積分的產生和發(fā)展。牛頓、萊布尼茨于17世紀后半葉正式發(fā)明微積分，并在18世紀里獲得了蓬勃發(fā)展，當19世紀的數(shù)學家們?yōu)檫@一學科奠定了牢固的邏輯基礎時，古典微積分才基本完成，到了20世紀它又在不同的方向上有了新的發(fā)展。
促使微積分理論的建立，主要有以下四類問題：
第一類是研究物體運動時出現(xiàn)的問題，即已知物體移動的距離表示為時間的函數(shù)公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知物體的加速度表示為時間的函數(shù)公式，求物體的速度和距離。
第二類是光學研究中出現(xiàn)的問題，此類問題在研究物體運行軌跡時也會遇到，即如何求取曲線的切線。
第三類是在戰(zhàn)爭中火炮應用方面的問題。例如，由于炮彈的射程依賴于炮筒與地面的傾斜角度（發(fā)射角），因此，一個具體而又實際的問題就是要求得具有最遠射程的發(fā)射角——從數(shù)學的角度看，這就是要求取函數(shù)的最大值（與最小值）。
第四類問題包括求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心等。
就微積分的創(chuàng)建而言，有許許多多的數(shù)學家作過貢獻，而所有這些工作的一個共同特征就是運用了“無窮小方法”。
微積分的建立意味著數(shù)學結束了“常量數(shù)學”時期，而進入了一個新的“變量數(shù)學”時期，具體分析為：
第一，微積分的誕生結束了從古希臘以來幾何學統(tǒng)治數(shù)學發(fā)展的歷史。
第二，微積分的確立改變了數(shù)學概念的來源。從古希臘開始，數(shù)學的對象都是來自直觀、形象化的概念，然而微積分中的概念卻更多地帶有思維創(chuàng)造的特征而并非直接立足于直觀經驗。
第三，微積分的創(chuàng)立以及微積分代數(shù)化的發(fā)展方向，不僅改變了以往以幾何為主流的數(shù)學方向，更為重要的是無窮小的出現(xiàn)及其運算破壞了古希臘幾何邏輯運演的嚴謹性和完美性，使人們不得不重新考慮數(shù)學的基礎和數(shù)學的理論依據等問題。
綜 述 微積分作為一種新的數(shù)學方法，引起了眾多的討論甚至爭論，如果這些討論和爭論只局限在數(shù)學家的群體之中，那就是一個純粹的學術問題，一代解決不了留給下一代去解決。然而事實并非如此，這些討論和爭論已進入到一個宗教和哲學的層面，進而在整個西方文化的核心層面引起了爭論。微積分學說與上帝的對立，使整個西方的宗教、哲學界都積極參與到這場表面上是數(shù)學而實質上則是文化的爭論中去。這里不得不提到參與這場討論與爭論的有作為紅衣主教的貝克萊和作為馬克思主義學說創(chuàng)造人的馬克思，這充分說明，西方的數(shù)學與文化之間存在著一種特殊的關系，西方文化中數(shù)學作為一種理性、作為一種宗教或哲學解釋世界的形式有何等的重要，當數(shù)學與傳統(tǒng)文化出現(xiàn)矛盾時會產生多么大的震動！
第三節(jié) 非歐幾何的創(chuàng)立與數(shù)學的變革
非歐幾何 非歐幾何是人類認識史上一個富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來了近百年來數(shù)學的巨大進步，而且對現(xiàn)代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。
《幾何原本》作為古希臘數(shù)學的一種總結性再創(chuàng)造，作為歐幾里得精心雕琢的數(shù)學模式，成為古希臘文化中的一塊瑰寶。但是，無論是把歐氏幾何作為一種哲學的表現(xiàn)，還是把它作為一種基督教神的教義理性，歐氏幾何中有關第五公設（即：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側面兩個內角的和小于兩直角，則這兩條直線無限延長后在這一側相交）的論述總讓人感到有某些不盡人意的遺憾，比如語言敘述冗長，與公理、公設應有的明顯、直觀性和不證自明的真理程度似乎有些差別。特別是，在第五公設的敘述中還隱含有直線可以無限延長的涵義，由于古希臘人在數(shù)學中對無限基本上采取了一種完全排斥的態(tài)度，因此這也引起了人們的關注和不安。
出于對柏拉圖哲學的領悟，或是出于對歐氏幾何體系的愛護，再加上后來對神學宗教的信仰，人們一直都希望能對歐幾里得的第五公設做出新的敘述或能對它進行證明將其從公設中去掉而成為一個定理。從公元前300年到公元1800年的這兩千多年的時間里，幾乎所有有作為的數(shù)學家、神學家都在第五公設上投入了大量的精力：哲學家、神學家希望能由此進一步完善歐氏幾何的理想化地位，數(shù)學家則希望能使幾何的邏輯演繹體系更加完美。然而，在長達兩千多年的時間中盡管數(shù)學家使用了不同的方法，結果卻都沒能獲得成功。這里有數(shù)學家薩開里（Saccheri 1667-1733）、蘭伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人對非歐幾何邏輯可能性的初步認識，但他們的努力離非歐幾何的確立只有一步之遙。
兩千多年的失敗歷史無疑促使人們對這種證明的方法和目的等做出一定的反思，特別是由于正面的努力始終未能獲得成功，因此，一些數(shù)學家就開始了反面的努力，即是希望能從相反的規(guī)定引出矛盾而用反證法證明第五公設。這種反證法的基本思想是，為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否定，然后用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證得“第五公設不可證”。
經過了漫長的時間旅途，最終登上最高峰的非歐幾何創(chuàng)立人是三位數(shù)學家：高斯、鮑耶和羅切夫斯基。在這三位數(shù)學家中，高斯的突出貢獻在于：他清楚地認識到非歐幾何像歐氏幾何一樣也可能被用于描述物質空間。他有明確的非歐幾何觀念，相當完整地完成了非歐幾何的創(chuàng)建工作。但是，由于他害怕別人不理解，卻沒有將這方面的研究成果公布于世。在他去世以后，他的書信的公布才大大地推動了人們對非歐幾何的認同和理解；鮑耶對非歐幾何的創(chuàng)立也做出了杰出的貢獻，他對于非歐幾何在數(shù)學上的意義考慮了比較深入，對新幾何的無矛盾性進行了長時間思索，并力圖找到一種有關新幾何無矛盾的證明；非歐幾何，這個從歐幾里得時代開始就糾纏數(shù)學家的噩夢，最終得到了完美的解決，而最完整、最先出版非歐幾何的研究成果、并最早得到社會承認的是俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基，他所做的主要工作是對第五公設的等價命題普列菲爾公理“過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是經過仔細審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何邏輯矛盾。于是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”，后稱為非歐幾何。
綜 述 盡管非歐幾何的建立結束了數(shù)學界中的兩千多年的一件“公案”，但是值得思考的是：為什么薩開里、蘭伯特和陶里努斯等人已經站在了非歐幾何的大門口，但卻沒有能夠成功地跨出最后的一步？這里除了有個人的因素外，主要是整體性的文化環(huán)境，特別是思想觀念在這過程中所發(fā)揮的重要作用。而高斯、鮑耶和羅切夫斯基能夠創(chuàng)立非歐幾何，一個首要的原因在于他們敢向歐氏幾何的絕對真理性提出明確的挑戰(zhàn)。因為事實上，非歐幾何所表現(xiàn)出來的是對歐氏幾何真理性、客觀性和實在性的挑戰(zhàn)。非歐幾何的建立在西方的數(shù)學史上，是引起數(shù)學觀念根本性變革的一件大事，因為對非歐幾何的確認，實際上就已經意味著從古希臘以來的、以數(shù)學為代表的絕對真理觀的終結；同時更是促進了西方數(shù)學在整個文化中的地位、發(fā)展方向和價值觀念的重大變化，它標志著人類的數(shù)學脫離了原有文化加在數(shù)學上的各種非數(shù)學自身所應有的重負。
第四節(jié) 數(shù)學與理性
綜 述 就一個民族或國家的生存與發(fā)展而言，理性精神應當說是特別的重要，因為它集中地體現(xiàn)了人們對于外部的客觀世界與自身的總體性看法或基本態(tài)度。就西方理性精神的形成和發(fā)展而言，數(shù)學應當說發(fā)揮了十分重要的作用，這就從宏觀的角度最為清楚地表明了數(shù)學的文化價值。
可以從以下幾方面理解數(shù)學理性的主要內涵：
1． 主客體的嚴格區(qū)分。在自然界的研究中，我們應當采取純客觀的、理智的態(tài)度，而不應摻雜有任何主觀的、情感的成分。顯然，從數(shù)學的角度去分析，這種客體化的研究立場是十分自然的，這正是數(shù)學研究的一個主要特征，即盡管數(shù)學對象并非現(xiàn)實世界中的真實存在，而只是抽象思維的產物，但是在數(shù)學研究中，我們采取純客觀的立場，也即把數(shù)學對象看成是一種不依賴于人類的獨立存在，并通過嚴格的邏輯分析去揭示其固有的性質和相互關系。
2． 對自然界的研究應當是精確的、定量的，而不應是含糊的、直覺的。這不僅直接關系到科學研究的基本方法，而且也表明了科學研究的基本目標，即是要揭示自然界內在的數(shù)學規(guī)律；另外，從根本上說，這又可以被看成“自然界是有規(guī)律的，這些規(guī)律是可以認識的”這一基本思想的具體體現(xiàn)和進一步展開。由于這一思想清楚地表明了“數(shù)學理性”的“數(shù)學”特征，因此，在所說的意義上，就可以被看成“數(shù)學理性”的核心所在。
3． 批判的精神和開放的頭腦。所謂“批判的精神”，實質上就是表明了這樣一種真理觀，即任何權威，或是自身的強烈信念，都不能被看成判斷真理性的可靠依據；恰恰相反，一切真理都必須接受理性法庭的裁決。事實上，數(shù)學既是在古希臘，批判的精神就可被看成理性精神的一個重要內涵。例如，盡管亞里士多德是柏拉圖的學生，但他仍然對柏拉圖的理念論進行了尖銳的批判，“吾愛吾師，但吾更愛真理”，亞里士多德的這一名言即集中地體現(xiàn)了理性的批判精神。 而在對數(shù)學真理的探索過程中要求人們始終保持頭腦的“開放性”。這就是說，如果一個假說或理論已被證明是錯誤的，那么，無論自己先前曾有過怎樣強烈的信念，現(xiàn)在都應與之劃清界限；同樣地，如果一個假說或理論已經得到了理性的確證，那么，無論自己先前對此具有怎樣的反感，現(xiàn)在又都應當自覺地去接受這一真理。
4． 抽象的、超驗的思維取向。數(shù)學作為“模式的科學”，她并非對真實事物或現(xiàn)象的直接研究，而是以抽象思維的產物——量化模式——作為直接的研究對象。也正因為如此，數(shù)學規(guī)律所反映的就并非個別事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象的共同性質。
總之，數(shù)學對人類理性精神發(fā)展的有著特殊的意義。這正如克萊因所說的：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞和驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。”
第五節(jié) 數(shù)學與美學
綜 述 數(shù)學文化的美學觀是構成數(shù)學文化的重要內容。古代哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”開普勒也說：“數(shù)學是這個世界之美的原型”。對數(shù)學文化的審美追求已成為數(shù)學得以發(fā)展的重要原動力，以致法國詩人諾瓦利也曾高唱：“純數(shù)學是一門科學，同時也是一門藝術”，“既是科學家同時又是藝術家的數(shù)學工作者，是大地上唯一的幸運兒”。古往今來，許多數(shù)學家、哲學家都把“美”作為決定選題、選題標準和成功標準的一種評價尺度，甚至把“美的考慮”放在高于一切的位置。著名數(shù)學家馮·諾伊曼就曾寫道：“我認為數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要都是美學的”。龐加萊則更明確地說：“數(shù)學家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風，那么到底是什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？ 那就是各個部分之間的和諧、對稱，恰到好處的平衡。一句話，那就是井然有序、統(tǒng)一協(xié)調，從而使我們對整體以及細節(jié)都能有清楚的認識和理解，這正是產生偉大成果的地方。
數(shù)學家L•斯思也曾指出：“在數(shù)學定理的評價中，審美的標準既重于邏輯的標準，也重于實用的標準；美觀與高雅對數(shù)學概念的評價來說，比是否嚴格正確、是否可能應用都重要得多。”顯然，這種“美學至上”的觀點是片面的。因為，數(shù)學的“審美標準”與“實踐的標準”事實上是互相聯(lián)系的，而且美學的考慮之所以有意義，主要也就因為它能預示相應的研究是否會“富有成果”。
審美追求作為數(shù)學發(fā)展的重要原動力，其中一個主要內容就是創(chuàng)造性的需要，它起著一種激活作用。馮·諾伊曼說：“數(shù)學家成功與否和他的努力是否值得的主觀標準，是非常自足的、美學的、不受(或近乎不受)經驗的影響。”因此，馮·諾伊曼斷言：“數(shù)學思想一旦…被構思出來，這門科學就開始經歷它本身所特有的生命，把它比作創(chuàng)造性的、受幾乎一切審美因素支配的學科，就比把它比作別的事物特別是經驗科學要更好一些”?？梢?，審美作為一種支配因素，對數(shù)學科學的發(fā)展是多么重要。
數(shù)學美的主要內容一般反映在對稱美、簡潔美、奇異美等方面。奇異美是建立在求異思維的基礎上的。比如，有理數(shù)稍一擴展，新數(shù)就被稱為“無理”的；實數(shù)再一擴展，新數(shù)就被叫做“虛”的。實數(shù)之后出現(xiàn)“超實數(shù)”，復數(shù)之后出現(xiàn)“超復數(shù)”，有窮數(shù)之后又有“超窮數(shù)”……
和諧是數(shù)學美的最高境界。實際上，和諧就是一個度，是一種中庸的最佳狀態(tài)。比例是關于模數(shù)與整體在測量上的協(xié)調，比例給人一種和諧，莫過于黃金分割法。數(shù)學所討論的宇宙，遠比現(xiàn)實的所謂宇宙宏偉雄大，通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學則建立起了僅把3維空間作為一部分的4維空間、5維空間、……、n維空間。數(shù)學是一座遠遠地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴、宏偉的宮殿前的數(shù)學家們，以崇敬贊嘆的目光遠眺著它的壯觀、它的美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學美、宇宙美的人，是可以被稱之為愛因斯坦所謂的“有宇宙宗教性的人”。
如果我們的數(shù)學教學使學生感到數(shù)學的這些美，以致于對數(shù)學有很大的興趣，無疑，這種教學將是極大的成功，它本身也是一種極高的藝術。我們太需要這種藝術了。數(shù)學是冷而嚴肅的，這是一方面，另一方面，數(shù)學中有藝術，有美，數(shù)學的創(chuàng)造過程中有數(shù)學家的情感。冷漠、嚴肅主要是相對于數(shù)學的真理性而言的，但是數(shù)學真理之中也凝結著數(shù)學家的情感，那情感卻是熱烈的、激動的。
第六節(jié) 數(shù)學與金融
事 例 華爾街的兩次數(shù)學革命華爾街的兩次數(shù)學革命是指1952年馬科維茨的證券組合選擇理論和1973年布萊克－肖爾斯的期權定價理論。
馬科維茨所解決的是如何給出最優(yōu)的證券組合問題。所謂證券組合（portfolio，原意為“文件包”）是指一組不同的證券。我們知道，在證券市場中進行任何一種證券交易都會因為其未來的不確定性而有風險。投資者如果把他所有的資金都對一種證券投資，那么就像把所有雞蛋裝在一個籃子里一樣，一旦這種證券出現(xiàn)不測，投資者就會全賠在這種證券上。因此，為分散風險，投資者應該同時對多種證券進行交易。于是就有這樣的問題：這些證券應該如何搭配為好。馬科維茨是這樣來考慮的：對于每種證券，他用根據歷史數(shù)據所計算的證券的隔天價格差的平均值來衡量證券的收益率（可正可負）；又根據歷史數(shù)據計算每天的證券價格差對平均收益率的偏離的平均值來衡量證券的風險。而一組證券的收益率和風險也同樣可根據歷史數(shù)據來估計。把證券間的搭配比例（可正可負，表示有的是買入，有的是賣出）作為變量，就可提出一個在怎樣的搭配比例下，對于固定的收益率使其風險最小的問題。馬科維茨由此提出一個所謂有效證券組合前沿的概念。這是一些特殊的證券組合，其中有一個是風險最小的證券組合，但其收益率也是所有有效證券組合中最小的；有效證券組合前沿中的其他證券組合，其風險比最小者要大，但其收益率也較大，而在有同樣收益率的證券組合全體中，證券組合前沿中的那個組合的風險又最小。這樣，投資者就可根據計算得到的有效證券組合前沿，在收益與風險之間進行權衡，決定他的投資組合。
盡管馬科維茨的研究在今天已被認為是金融經濟學理論前驅工作而獲得1990年的諾貝爾經濟學獎，但在當年他剛提出他的理論時，計算機才問世不久，從而使他的理論成為紙上談兵，根本無法實際計算。今天的計算技術自然早已使馬科維茨的思想得到完全的實現(xiàn)。
布萊克和肖爾斯討論的則是如何為期權定價。期權是一種衍生證券。以布萊克和肖爾斯討論的歐式買入期權為例，它是在某個到期日，以某個固定價格買入某種股票的權利。期權交易早在本世紀初就已出現(xiàn)。但在1973年芝加哥期權交易所正式開牌推出12種股票的期權交易前，期權交易始終是一種場外交易。期權可以用來減少股票交易風險。例如，某人在賣出某股票時，他當然期望股票落價而獲利。但他也有可能因股票的突然漲價而蒙受損失。如果他同時買進該股票的買入期權，那么他就可以通過執(zhí)行期權，低價再把股票買回，使他不但補償了損失，甚至還能獲利。也就是說，期權交易可看作股票交易的一種“保險”。
期權既然也是一種可交易的證券，它就也有自己的價格。于是就要問它的價格是如何確定的。布萊克和肖爾斯在假設股票價格的相對變動為不可預測的所謂布朗運動的條件下，竟然導出了一個與實際非常吻合的期權定價公式。金融經濟學界經過幾年的討論，終于承認這是一項極為重要的研究。布萊克和肖爾斯的觀念并不復雜。他們認為，既然賣出股票的風險與買入期權的風險可以“對沖”，那么，它們的按一定比例的隨時間變化的組合就相當于一種無風險的證券，即有固定利率的債券。由此就可導出期權價格與股票價格之間的關系，其中依賴的參數(shù)是股票的報酬率、債券的利率、期權的執(zhí)行價格以及時間。
布萊克--肖爾斯公式問世后立即引起大量的后繼研究。在數(shù)學中，由于他們在公式推導中用到了隨機分析、偏微分方程等現(xiàn)代數(shù)學工具，這促使許多數(shù)學家投身到衍生證券的研究中來，并且逐漸形成一個新學科－－金融數(shù)學。在金融經濟學中，他們實際上提出了一種比馬科維茨更進一步的思想。馬科維茨只是認為不同的證券經過適當?shù)慕M合可以減少風險，而布萊克和肖爾斯則認為，如果隨時間不斷改變這種組合（即所謂執(zhí)行一種投資策略），那么在一定條件下，幾種證券的組合可以用來模擬另一種證券。就像股票與期權的適當組合能相當于債券一樣，股票與債券的適當組合自然也可模擬期權。這種根據各種不同需要，把風險打散、重組，并形成各種金融產品的技術就是所謂金融工程。在今天的金融市場中，它已經處于舉足輕重的地位。
綜 述 正是這兩次華爾街的數(shù)學革命，再加上計算機和通信技術的飛速發(fā)展，使得這些觀念在計算和信息傳遞上可實現(xiàn)，就形成了對金融體系變革來說，比法制改革更為重要的技術變革。
第七節(jié) 數(shù)學與生命科學
事 例DNA是分子生物學的重要研究對象，是遺傳信息的攜帶者，它具有一種特別的立體結構——雙螺旋結構，雙螺旋結構在細胞核中呈扭曲、絞擰、打結和圈套等形狀，這正好是數(shù)學中的紐結理論研究的對象。
X射線計算機層析攝影儀—即CT掃描儀，它的問世是二十世紀醫(yī)學中的奇跡，其原理是基于不同的物質有不同的X射線衰減系數(shù)。如果能夠確定人體的衰減系數(shù)的分布，就能重建其斷層或三維圖像。但通過X射線透視時，只能測量到人體的直線上的X射線衰減系數(shù)的平均值（是一積分）。當直線變化時，此平均值（依賴于某參數(shù)）也隨之變化，能否通過此平均值以求出整個衰減系數(shù)的分布呢？人們利用數(shù)學中的拉東變換解決了此問題，拉東變換已成為CT理論的核心。首創(chuàng)CT理論的A.M.Cormark（美）及第一臺CT制作者C.N.Hounsfield（英）因而榮獲1979年諾貝爾醫(yī)學和生理學獎。另一項高技術是H.Hauptman與J.Karle合作，發(fā)明了測定分子結構的新方法，利用它可以直接顯示被X射線透射的分子的立體結構。人們應用此方法，并結合利用計算機，已測出包括維生素、激素等數(shù)萬種分子結構，推動了有機化學、藥物學和生物學等的發(fā)展，由此可見在此兩項技術中數(shù)學起了關鍵的作用（兩發(fā)明人分享1985年的諾貝爾化學獎）。
綜 述 在發(fā)現(xiàn)DNA化學結構和發(fā)明計算機模擬后50年的今天，一場由數(shù)學和計算科學驅動的革命正在生物學的領域發(fā)生。一系列突破性的研究正在重新定義以下領域：數(shù)學生態(tài)學、流行病學、遺傳學、免疫學、神經生物學和生理學等等。美國國家科學基金會（NSF）主任科勒威爾（R. Colwell）在2000年10月向國會提交的報告中，稱數(shù)學是當前所有新興學科和研究領域的基礎，要求下一年度對數(shù)學的資助要增加3倍以上，達到1.21億美元。在這些增加的預算中，有很大的一部分被用來支持數(shù)學與其他學科的交叉研究，尤其是數(shù)學與生物學的交叉研究項目。
盡管數(shù)學一直在現(xiàn)代生命科學中扮演著一定的角色，如數(shù)量遺傳學、生物數(shù)學等，但生物學家真正體會到數(shù)學的重要性，還是最近十幾年來的事情?；蚪M學是這種趨勢的主要催化劑。隨著DNA序列測定技術的快速發(fā)展，1990年代后期每年測定的DNA堿基序列以驚人的速度增長。以美國的基因數(shù)據庫（GenBank）為例，1997年擁有的堿基序列數(shù)為1×109，次年就翻了一番，到2000年GenBank已擁有近8×109個堿基序列。同樣，在蛋白質組研究和轉錄組研究等快速推進的過程中，各種數(shù)據也在迅猛增加。據估計，現(xiàn)在每年產生的生物數(shù)據量可以達到1015字節(jié)。如何管理這些“海量”數(shù)據，以及如何從中提取有用的知識，成為了對當前生物學家、數(shù)學家、計算機專家等的巨大挑戰(zhàn)。一門新興學科——生物信息學（bioinformatics），也應運而生。此外，對細胞和神經等復雜系統(tǒng)和網絡的研究，導致了數(shù)學生物學(mathematical biology)的誕生。NSF為此專門啟動了一項“定量的環(huán)境與整合生物學”項目，以鼓勵生物學家把數(shù)學應用到生物學研究中去。幾乎在同一時間，美國國立衛(wèi)生研究院也設立了一項“計算生物學”的重大項目。 數(shù)學不僅能幫助人們從已有的生物學實驗和數(shù)據中抽象出模型和進行解釋，它還可以用于設計和建造生物學模型，也許這些生物學模型在自然的狀態(tài)下是根本不存在的。在這種意義上說，基于數(shù)學模型和假設進行的生物學實驗，將更接近人們熟知的物理學和化學實驗，更多地依賴于抽象和理性，不再是一門經驗科學。 古希臘著名的數(shù)學家畢達哥拉斯曾給后人留下這樣一個觀點：“萬物皆數(shù)也”。如果他的觀點是正確的，作為大自然的杰作——生命，一定也是按照數(shù)學方式設計而成的。因此，數(shù)學不僅僅能夠提升生命科學研究，使生命科學成為抽象的和定量的科學，而且是揭示生命奧秘的必由之路。 第八節(jié) 數(shù)學與軍事
綜 述 從人類早期的戰(zhàn)爭開始，數(shù)學就無所不在，不論是發(fā)射弩箭還是挖掘地道，數(shù)學就像冥冥之中的命運之神一樣在起作用。雖然戰(zhàn)爭是個令人討厭的話題，但戰(zhàn)爭卻是人類不可避免的。
提起數(shù)學與軍事，人們可能更多地想到數(shù)學可以用來幫助設計新式武器，比如阿基米德的傳聞故事：阿基米德所住的 Syracuse 王國遭到羅馬人的攻擊，國王 Heron 請其好友阿基米德幫忙設計了各式各樣的弩炮、軍用器械，利用拋物鏡面聚太陽光線，焚毀敵人船艦等。當然，這樣的軍事應用并沒有用到較高層次的數(shù)學。其實，古時數(shù)學用于軍事只到這種層次?！段宀芩憬洝分械谋?，其所含的計算，僅止于乘除；再進一步，也不過是測量與航海。一直到二十世紀，科學發(fā)展促使武器進步，數(shù)學才真的可能與戰(zhàn)事有密切的關系，例如數(shù)學的研究工作可能與空氣動力學、流體動力學、彈道學、雷達及聲納、原子彈、密碼與情報、空照地圖、氣象學、計算器等等有關，而直接或間接影響到武器或戰(zhàn)術。
事例一 一支高智商的反法西斯隊伍 二戰(zhàn)迫使美國政府將數(shù)學與科學技術、軍事目標空前緊密地結合起來，開辟了美國數(shù)學發(fā)展的新時代。1941至1945年，政府提供的研究與發(fā)展經費占全國同類經費總額的比重驟增至86％。美國的“科學研究和發(fā)展局”（OSRD）于1940年成立了“國家防衛(wèi)科學委員會（NDRC），為軍方提供科學服務。1942年，NDRC又成立了應用數(shù)學組（AMP），它的任務是幫助解決戰(zhàn)爭中日益增多的數(shù)學問題。AMP和全美11所著名大學訂有合同，全美最有才華的數(shù)學家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。AMP的大量研究涉及“改進設計以提高設備的理論精確度”以及“現(xiàn)有設備的最佳運用”，特別是空戰(zhàn)方面的成果，到戰(zhàn)爭結束時共完成了200項重大研究。
在紐約州立大學，柯朗和弗里德里希領導的小組研究空氣動力學、水下爆破和噴氣火箭理論。超音速飛機帶來的激波和聲爆問題，利用“柯朗——弗里德里?！站S的有限差分法”求出了這些課題的雙曲型偏微分方程的解。布朗大學以普拉格為首的應用數(shù)學小組集中研究經典動力學和畸變介質力學，以提高軍備的使用壽命。哈佛大學的G·伯克霍夫為海軍研究水下彈道問題。哥倫比亞大學重點研究空對空射擊學。例如，空中發(fā)射炮彈彈道學；偏射理論；追蹤曲線理論；追蹤過程中自己速度的觀測和刻畫；中心火力系統(tǒng)的基本理論；空中發(fā)射裝備測試程序的分析；雷達。
普林斯頓大學和新墨西哥大學為空軍確定“應用B－29飛機的最佳戰(zhàn)術”。馮·諾伊曼和烏拉姆研究原子彈和計算機。維納和柯爾莫戈洛夫研究火炮自動瞄準儀。由丹澤西為首的運籌學家發(fā)明了解線性規(guī)劃的單純形算法，使美軍在戰(zhàn)略部署中直接受益。
事例二 破譯密碼的解剖刀——數(shù)學 英國數(shù)學家圖靈出生于一個富有家庭，1935年在劍橋大學獲博士學位后去了美國的普林斯頓，他為設計理想的通用計算機提供了理論基礎。1939年圖靈回到英國，立即受聘于外交部通訊處。當時德國法西斯用于絕密通訊的電報機叫“Enigma”（謎），圖靈把拍電報的過程看成在一張紙帶上穿孔，運用圖靈的可計算理論，英國設計了一架破譯機“Ultra”（超越）專門對付“Enigma”，破譯了大批德軍密碼。
1941年5月21日，英國情報機關終于截獲并破譯了希特勒給海軍上將雷德爾的一份密電。從而使號稱當時世界上最厲害的一艘巨型戰(zhàn)列艦，希特勒的“德國海軍的驕傲”——“俾斯麥”號在首次出航中即葬身魚腹。
1943年4月，日本海軍最高司令部發(fā)出的絕密電波越過太平洋，到達駐南太平洋和日本占領的中國海港的各日本艦隊，各艦隊司令接到命令：日本聯(lián)合艦隊總司令長官山本五十六大將，將于4月18日上午9時45分，由6架零式戰(zhàn)斗機保護，乘兩架轟炸機飛抵卡西里灣，山本的全部屬員與他同行。
這份電報當即被美國海軍的由數(shù)學家組成的專家破譯小組破譯，通過海軍部長弗蘭克·諾克斯之手，馬上被送到美國總統(tǒng)羅斯福的案頭。于是，美國閃電式戰(zhàn)斗機群在卡西里灣上空將山本的座機截住，座機在離山本的目的地卡西里只有幾英里的荊棘叢中爆炸。
中途島海戰(zhàn)也是由于美國破譯了日本密碼，使日本4艘航空母艦，1艘巡洋艦被炸沉，330架飛機被擊落；幾百名經驗豐富的飛行員和機務人員陣亡。而美國只損失了1艘航空母艦，1艘驅逐艦和147架飛機。
從此，日本喪失了在太平洋戰(zhàn)場上的制空權和制海權。
事例三 巴頓的戰(zhàn)艦與浪高 軍事邊緣參數(shù)是軍事信息的一個重要分支，它是以概率論、統(tǒng)計學和模擬試驗為基礎，通過對地形、氣候、波浪、水文等自然情況和作戰(zhàn)雙方兵力兵器的測試計算，在一般人都認為無法克服、甚至容易處于劣勢的險惡環(huán)境中，發(fā)現(xiàn)實際上可以通過計算運籌，利用各種自然條件的基本戰(zhàn)術參數(shù)的最高極限或最低極限，如通過計算山地的坡度、河水的深度、雨雪風暴等來駕馭戰(zhàn)爭險象，提供戰(zhàn)爭勝利的一種科學依據。
1942年10月，巴頓將軍率領4萬多美軍，乘100艘戰(zhàn)艦，直奔距離美國4000公里的摩洛哥，計劃在11月8日凌晨登陸。11月4日，海面上突然刮起西北大風，驚濤駭浪使艦艇傾斜達42°。直到11月6日天氣仍無好轉。華盛頓總部擔心艦隊會因大風而全軍覆沒，電令巴頓的艦隊改在地中海沿海的任何其他港口登陸。巴頓回電：不管天氣如何，我將按原計劃行動。
11月7日午夜，海面突然風平浪靜，巴頓軍團按計劃登陸成功。事后人們說這是僥幸取勝，這位“血膽將軍”拿將士的生命作賭注。
其實，巴頓將軍在出發(fā)前就和氣象學家詳細研究了摩洛哥海域風浪變化的規(guī)律和相關參數(shù)，知道11月4日至7日該海域雖然有大風，但根據該海域往常最大浪高波長和艦艇的比例關系，恰恰達不到翻船的程度，不會對整個艦隊造成危險。相反，11月8日卻是一個有利于登陸的好天氣。巴頓正是利用科學預測和可靠邊緣參數(shù)，抓住“可怕的機會”，突然出現(xiàn)在敵人面前。
事例四 海灣戰(zhàn)爭--數(shù)學戰(zhàn) 1990年伊拉克點燃了科威特的數(shù)百口油井，濃煙遮天蔽日，美國及其盟軍在“沙漠風暴”以前，曾嚴肅地考慮點燃所有油井的后果。據美國《超級計算評論》雜志披露，五角大樓要求太平洋—賽拉研究公司研究此問題。該公司利用Navier-Stokes方程和有熱損失能量方程作為計算模型，在進行一系列模擬計算后得出結論：大火的煙霧可能招致一場重大的污染事件，它將波及到波斯灣、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不會失去控制，不會造成全球性的氣候變化，不會對地球的生態(tài)和經濟系統(tǒng)造成不可挽回的損失。這樣才促成美國下定決心。同時在這次戰(zhàn)爭中，美國將大批人員和物質調運到位，只用了短短一個月時間。這是由于他們運用了運籌學和優(yōu)化技術。所以人們說第一次世界大戰(zhàn)是化學戰(zhàn)（火藥），第二次是物理戰(zhàn)（原子彈），海灣戰(zhàn)爭是數(shù)學戰(zhàn)。
事例五 不可思議的美伊戰(zhàn)爭 美伊戰(zhàn)爭給人們帶來太多的震撼！從2003年3月20日正式爆發(fā)，到4月11日美軍攻占巴格達。進攻者以區(qū)區(qū)十萬余人的軍隊，在二十幾天的時間里，幾乎沒經過像樣的戰(zhàn)斗就完全征服了一個世界中等軍事強國。不少人覺得美伊戰(zhàn)爭不像一場戰(zhàn)爭，而更像一場游戲。
而事實上并不奇怪，美軍打的是一場由數(shù)學支撐的信息化戰(zhàn)爭。湯姆遜說：信息不僅僅是一件武器，它還是一種能夠改變戰(zhàn)爭文化和定勢的新技術。它能改變一切。它所帶來的變化比我們看到的任何一種變化都來得強烈，比坦克、潛艇甚至原子彈都要厲害。在今天的戰(zhàn)場上，誰擁有絕對的信息掌控權，誰就能獲得勝利。美軍在美伊戰(zhàn)爭中通過數(shù)據鏈把天空地海、本土統(tǒng)帥部、前方司令部和戰(zhàn)場上每一個士兵連為一體，反應靈敏，隨心所欲。以最短的時間、最小的代價、最快的速度、最大的戰(zhàn)果，贏得勝利。
過去戰(zhàn)爭打的是綜合國力，現(xiàn)代戰(zhàn)爭打的是科學技術。任何重大的科技發(fā)明和創(chuàng)造，都首先和必須使用于戰(zhàn)爭，歷史不止一次證明這一點。反過來說，一個國家或民族如果科技落后，感受最真切、最痛苦的也莫過于它的軍隊了。美國在美伊戰(zhàn)爭中使用的武器運用了人類最高級的科學發(fā)明和知識，包括牛頓力學、物體動力學、量子力學、電動力學、狹義與廣義相對論、有機與無機化學、計算機網絡等等（請注意：這里多數(shù)是以數(shù)學為后盾的！）。這的確是嶄新的劃時代意義的軍事革命，即由大規(guī)模集結陸地軍事力量的地面戰(zhàn)爭，轉變?yōu)橐揽扛呖萍茧娮又茖У目罩锌刂屏α?，主要依靠空中作?zhàn)遂行戰(zhàn)略目的的戰(zhàn)爭。如果說它還有地面戰(zhàn)的話，那也是新型意義下的超地面戰(zhàn)爭，同時精確制導技術已把戰(zhàn)爭帶入了“精確戰(zhàn)士”時代。有這樣一組數(shù)據：美軍從發(fā)現(xiàn)目標到實施精確打擊的時間，即完成：發(fā)現(xiàn)——定位——瞄準——攻擊——評估戰(zhàn)果，這樣一個“打擊鏈條”所需的時間，海灣戰(zhàn)爭時是一百分鐘，科索沃戰(zhàn)爭時為四十分鐘，阿富汗戰(zhàn)爭時為二十分鐘，而此次美伊戰(zhàn)爭只有十分鐘，基本實現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)即摧毀”。就對方而言，即“被發(fā)現(xiàn)即死亡”。
比較而言，伊軍則是一支機械化和半機械化的軍隊。盡管伊軍在兵力、地面兵器數(shù)量方面占有優(yōu)勢、空軍飛機數(shù)量也相當可觀；又根據前蘇聯(lián)的大范圍前沿作戰(zhàn)理論，伊軍集結了大批裝甲部隊和炮兵部隊，指揮結構高度集中；伊軍還吸取了第一次海灣戰(zhàn)爭的教訓，并學習了南聯(lián)盟和車臣戰(zhàn)爭的經驗，采取固守城市、寓軍于民、全民皆兵的戰(zhàn)略戰(zhàn)術，但這樣一支令人生畏的軍隊的防線卻在短短的幾天里就被數(shù)量很少的美軍擊破。俄羅斯軍事觀察家驚呼：“軍事范例已經改變。其它國家最好注意，美國人已經重新書寫了教科書。”
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