研究世界伊斯蘭教歷史，免不了要對(duì)以回歷所記載的歷史事實(shí)換算為公歷，或?qū)⑺d的公歷換算為回歷。《回歷綱要》、《歷法叢談》、《萬(wàn)年歷譜》以及《回回天文學(xué)史研究》[1--4]等專(zhuān)著都載有自回歷換算為公歷的算式，并稱(chēng)兩歷因閏年的時(shí)間不同，故換算結(jié)果常有一日之差，惟均未討論一日之差的簡(jiǎn)易訂正方法。1998年《北京大學(xué)學(xué)報(bào)》（自然科學(xué)版）載文討論了中國(guó)農(nóng)歷與公歷、回歷的換算問(wèn)題[5]。惟筆者依上列著作中所列算式推算結(jié)果；發(fā)現(xiàn)與實(shí)際所載日期誤差常大于一日，最高可達(dá)十日之多。因此有必要對(duì)計(jì)算中誤差的來(lái)源及計(jì)算公式的改進(jìn)進(jìn)行探討，特撰此文。
　

一、國(guó)歷換算為公歷
　

　　1．換算公式的導(dǎo)出
　　公歷每年365．242 199074075 日 （簡(jiǎn)化為365．2422日），而回歷每年為354．367074375日（簡(jiǎn)化為354．36707日），所以回歷一年只相當(dāng)354．36707/365.2422=0.970223或0．970224個(gè)公歷年。又回歷元年元旦定在公元622年7月16日，由于當(dāng)時(shí)歷法在推算上的誤差，致當(dāng)時(shí)的7月16日，按現(xiàn)代的公歷應(yīng)改為7月19日，自公元某年元旦至該年7月19日已達(dá)200日．相200/365.2422=0.5476公歷年；又因到回歷二年元旦才達(dá)到0．970224個(gè)公歷年，故自回歷紀(jì)年元旦換算為公歷的算式即為：
　?。ɑ貧v紀(jì)年一1）× 0．970224＋622．5476年
＝所求公歷年月日……………………………………………………………………………（1）
　　或 回歷紀(jì)年 × 0．970224＋621．5774年
＝所求公歷年月日……………………………………………………………………………（2）
　　式中621．5774來(lái)自622．5476－0．970224。
　　如所求某一歷史事實(shí)不在回歷元旦時(shí)，可將事實(shí)經(jīng)過(guò)本年的總?cè)諗?shù)化為回歷年，加人回歷紀(jì)年總數(shù)中即可。
　　然而上列公歷一年的總?cè)諗?shù)，實(shí)際上是一回歸年的實(shí)測(cè)數(shù)，因現(xiàn)用公歷每年的日數(shù)實(shí)為365．2425日，它與一回歸年的日數(shù)只能是基本相符，到公元四千多年后會(huì)再出現(xiàn)一日之差。
　　實(shí)際上在明萬(wàn)歷十年九月十八日，回歷990年9月16日，公元1582年10月4日前（包括4日）的公歷稱(chēng)儒略歷，儒略歷每年365．25日，它每年與一回歸年的差值遠(yuǎn)大于格列高利歷即現(xiàn)代的公歷，大約歷128年就需多閏去一日，至萬(wàn)歷十年已經(jīng)多閏出十日了。因此，對(duì)于儒略歷時(shí)期的回、公兩歷換算，不能仍采用（l）、（2）兩式，而需依儒略歷的年實(shí)際日數(shù)將上列二式略加修正即可，結(jié)果如下：
　?。ɑ貧v紀(jì)年一l）× 0．9702＋622．5393
= 所求公歷年月日……………………………………………………………………………（3）
　　回歷紀(jì)年 × 0．9702＋621．5691
= 所求公歷年月日…………………………………………………………………………（4）
　　式中0．9702為354．36707／365．25所得結(jié)果，而0．5393則系公歷某年元旦至其7月16日的總?cè)諗?shù)197被365．25日除之所得，622．5393－0．9702= 621．5691。
　　現(xiàn)將兩種算式自回歷第52年起，每隔百年所算得的公歷年月日列人下表：
　　
　　國(guó)歷換算為公歷

　　自表列計(jì)算結(jié)果得知，歷法不同不能用同一算式，否則誤差大大。萬(wàn)歷十年前即已發(fā)現(xiàn)儒略歷的春分所在日期與實(shí)測(cè)結(jié)果相差較大，至萬(wàn)歷十年已差十日，因此格列高利第十三就決心修改儒略歷，改革內(nèi)容有兩點(diǎn)，其一，將公歷1582年10月4日之后一日原應(yīng)為10月5日而改為10月15日，而星期序數(shù)不變，即該年10月4日為星期四，10月15日理應(yīng)為星期一，實(shí)為星期五；其二，儒略歷每四年有一個(gè)閏年，四百年有百閏，格列高利歷仍保持儒歷四年一閏的傳統(tǒng)，但每四百年僅安排九十七個(gè)閏年，四百年中逢百年不閏，到第四百年加一個(gè)閏年[6]。儒歷與格歷的歲實(shí)分別為：
　　儒歷（365 ×300＋366 ×00）÷ 400年＝365．25日/年
　　格歷（365 × 303＋366×97）÷ 400年＝365．2425日／年而《明史·歷志》所載的回回宮分歷（太陽(yáng)歷），一百二十八年閏三十一日，其歲實(shí)：
（128 × 365＋31）日÷ 128年＝ 365．2421875日/年
　　可見(jiàn)共置閏精度遠(yuǎn)高于現(xiàn)代的公歷。

　　2．換算中一日誤差之訂正
　　《歷法叢談》以回歷1387年為例，求算合公歷之年月日。
　　解1：1387 × 0．970224＋621．5774＝1967．278088年
0．278088年 × 365．2422日＝101．569日公歷累計(jì)日數(shù)為101．57日可視為4月11日或4月12日。究竟是哪一日，當(dāng)依兩歷在公歷4月11日或12日間所具有同一的星期序數(shù)以訂正。
　　依回歷歲首星期序數(shù)計(jì)算公式：
　　[（138－1）×131＋164] ÷30＝6057，余20
　　6057÷7＝865，余 2
　　故回歷1387年元旦為星期2。（表）

　　按公歷自1583年元旦（星期六）至1967年4月11日，共歷：
1967－1583＝384年，在這384年中依格列高利歷四年一閏，百年不閏，四百年加一閏日的規(guī)則共歷93個(gè)閏日，又1967年元旦后一日起至4月11日又需加 100日，則
　?。?84 × 365＋93＋100＋6）÷ 7＝140359＋7＝2001，余 2余2即星期2，故回歷1387年元旦在公歷1967年4月11日。
　　因公歷計(jì)算星期日數(shù)采用數(shù)據(jù)較多，計(jì)算時(shí)難免有所遺漏，現(xiàn)引人公歷日期與星期推算表阿），供參考。
　　應(yīng)用此表查找公元1967年4月11日星期序數(shù)步驟如下：
　　先在本表年份表前二位數(shù)字欄目中，查到19二字所在的位置；
　　再在年份表后二位數(shù)字欄目中查到67二字所在位置，自19二字處平行右移，67二字處垂直下移，二者在英文大寫(xiě)字母欄目中相交于字母G處；
　　再自月份表欄目中查到4月，自4月所在位置平行左移，查到G在4月欄目所在位置；
　　自日期欄目查到11日所在位置，自此位置平行右移，使與4月份欄目G在星期表相交處知為星期　　　　　　　　
　　
　　結(jié)果與回歷計(jì)算所得相同。故知回歷 1387年元旦確為公歷1967年4月11日，而不是12日。
　　在換算中所得公歷日數(shù)常多于31日，甚至常在200—300日或更多，需要將此數(shù)化為該年的月日時(shí)，可用下列兩表。
　　表3 公歷月份及其累計(jì)日數(shù)

二 公歷換算為回歷

　

　　將回歷換算為公歷的算式移項(xiàng)，整理，即可得到公歷換算為國(guó)歷的算式
　　（公歷紀(jì)年一621．5691）÷0．9702＝回歷年月日（儒略歷）……………………………………………（5）
　?。ü珰v紀(jì)年一621．5774）÷0．970224＝回歷年月日（格氏歷）…………………………………………（6）
　　無(wú)論回歷換算為公歷或相反，大體都有一日之差，以星期序數(shù)訂正時(shí)，回歷換算為公歷，以回歷的星期序數(shù)為準(zhǔn)；相反，以公歷的星期序數(shù)為準(zhǔn)。

　

　　三 國(guó)歷或公歷換算為中國(guó)農(nóng)歷

　

　　1．回歷換算為農(nóng)歷
　　僅管中國(guó)農(nóng)歷各年在年內(nèi)月數(shù)日數(shù)都不是一個(gè)相對(duì)的穩(wěn)定值，給回歷與公歷換算為農(nóng)歷上帶來(lái)較多的困難，但仍然可以換算。中國(guó)農(nóng)歷為陰陽(yáng)合歷，在月份上與回歷同屬太陰歷，惟回歷每月以見(jiàn)新月為一月之始，其日約遲于農(nóng)歷合朔（初一日）1—2日乃至3日，因此只要查清二者在月份上關(guān)系，便可將回歷換算為中國(guó)農(nóng)歷。馬以愚先生稱(chēng)：“回教紀(jì)年及齋戒之月，均依太陰歷。中國(guó)昔用夏正（即農(nóng)歷），有閏之年，年為十三月。故齋戒之月，遇閏則連退。如今歲齋戒值夏正之九月，歲逢閏，改歲當(dāng)以八月為齋?！盵8]故若求得積年及所歷大陰歷的月數(shù)，即可依農(nóng)歷十九年而有七個(gè)閏月的規(guī)律，將農(nóng)歷換算為回歷，其日當(dāng)有l(wèi)——2日之差。
　　計(jì)算舉例：已知西域魯穆馬依澤公于宋太祖建隆二年（961）應(yīng)召人華編修《應(yīng)天歷》，并將伊斯蘭天文傳人中國(guó)，他的事跡已收人《中國(guó)伊斯蘭百科全書(shū)》[9]與《中國(guó)回族大詞典》[10]等，被列為伊斯蘭與中國(guó)回族之大事。據(jù)《懷寧馬氏宗譜》記載，依澤公應(yīng)召人華時(shí)年已四十，生于回歷勒比阿立勿里月（拉比爾·奧沃勒月，即回歷三月）第二十日，故于宋真宗景德二年（1005）五月初十日。宋太祖乾德四年（966）八月十三日奉旨授世襲候爵兼司天監(jiān)。求依澤公生于公歷與農(nóng)歷的年月日。
　　解：馬依澤于宋建隆二年五月后來(lái)到中國(guó)時(shí)年已四句，已知建隆二年二月初三日為回歷310年元旦。由此可知馬依澤公生于回歷310年3月20日，合公歷
　　310×0．9702＋621．5691＝922．3311年
　　0．3311 ×365．25＝120．934275日回歷 310年元月1日合公歷922年5月1日，再加 78日為回歷3月20日，公歷7月18日。
　　又據(jù)農(nóng)歷19年而有7個(gè)閏月，并依齋戒之月遇閏則遞退一月的規(guī)則，求算出回歷310年元旦約合農(nóng)歷之月份為：
　?。?22－622）＝300年
　　300 ÷19 ×7＝15．7895 ×7＝110．53個(gè)月又每閏12個(gè)月為一年除去不算
　　110．53÷12＝9余2．53，即后退2月自武德五年六月初三日退后 2月為四月，即依澤公生于梁龍德二年四月二日再加 78日合六月二十一日或二十日。
　　2．公歷換算為農(nóng)歷
　　張家驥稱(chēng)：“《瀧岡阡表》中最末一段：‘（宋）熙寧三年，歲次庚戌四月辛酉朔，十有五日乙亥，男修表’。試算為陽(yáng)歷日期”。
　　他又說(shuō)：“已知二十四節(jié)氣在黃道上的位置是固定的，但各年有平年和閏年之分，就使得回歸年天數(shù)與實(shí)際天數(shù)不等，每年在日歷上可差一天。這樣可以將陰歷經(jīng)過(guò)任意整回歸年在現(xiàn)在的日歷上查到陽(yáng)歷（陽(yáng)歷一年相當(dāng)陰歷的月數(shù)為 365．2422/29．530588＝12．36827個(gè)月）。例如，可先在1995年的日歷上查得與（該年）陰歷對(duì)應(yīng)的陽(yáng)歷日期，這樣就找到了臨時(shí)落腳點(diǎn)，也就是找到了陰陽(yáng)互換的關(guān)鍵。例如，可先以陰歷四月初一（日）為引數(shù)，在1995年日歷上查到對(duì)應(yīng)的陽(yáng)歷為4月30日。由于已經(jīng)計(jì)算出經(jīng)過(guò)的月數(shù)，將經(jīng)過(guò)的月數(shù)的尾數(shù)（小數(shù)）化為日，加在4月30日上，就得到經(jīng)過(guò)（1995－1070）整年數(shù)的陽(yáng)歷日期，也就是起始陰歷日期對(duì)應(yīng)的陽(yáng)歷日期，即得到了待查的日期為4月30日加上0．64957×29．530588得到（1070年）5月19．1821840日。這樣就得到了所給例子的陰陽(yáng)歷日期換算結(jié)果……”。
　　0．64957月的由來(lái)，
　　（1995－1070）×12．36827＝11440．64957月
　　已知依澤公生于梁龍德二年（922）六月二十一日，依下表提供的2099年各月初一日的公歷月日數(shù)，可以算出龍德二年六月二十一日的公歷月日數(shù)
　　表5 公元2099年農(nóng)歷各月初一日的公歷月日


　?。?099－922）× 12．36827＝1455．45379月
　　余數(shù)為 0．45379月 × 29．530588日＝13．4O日
　　因2099年五月初一日（包括該年闖二月）在公歷6月19日，加上計(jì)算所得的13日為龍德二年六月初一日的公歷月日，即該年7月2日，則該年農(nóng)歷六月二十一日為該年7月22日。
　　公元1995年六月初一日合公歷該年6月28日，代人以上計(jì)算程序亦得到上列相同或相近的結(jié)果。計(jì)算中發(fā)現(xiàn)農(nóng)歷因閏月關(guān)系，其正月（如 1996年）常在該年公歷2月，此時(shí)可換用下表的公歷月日
　　表6 公元2100年農(nóng)歷各月初一日與公歷的月日

　　3．計(jì)算結(jié)果的訂正
　　實(shí)際上上列公歷換算為農(nóng)歷時(shí)常有較大的誤差，如熙寧三年四月初一日為公歷1070年5月13日，而不是5月19日。通過(guò)中國(guó)歷法所用的于支記日法求算所用兩歷的干支，對(duì)所求結(jié)果加以訂正。
　　如，馬依澤公生于回歷310年3月20日，自回歷歷元起算共歷日數(shù)為：
　　自回歷元旦至其3月20日，共歷79日。
　　自回歷元年元旦至309年元旦，共歷113個(gè)閏年196個(gè)平年。又回歷歷元在公歷622年7月16日，已知該日的干支序數(shù)為50，癸丑日，減1（因自甲子起算），余49應(yīng)加入下列算式中，
（309 × 354＋113＋79＋49）÷60＝1827．116667
0．116667 ×60＝7
　　干支序數(shù)為7，即庚午日。
　　求公歷922年7月18日的干支，儒略歷900年的干支序數(shù)為：
　　900 ×365．25÷60＝5478．75
　　余數(shù)為，0．75 ×60＝45；
　　22年的于支序數(shù)為，
　?。?2 × 365．25＋7）÷ 60＝134，余2．5按3計(jì)，式中的7，為儒略歷元年元旦的干支序數(shù)；
又7月 1日自該年元旦起算共歷182日，干支序數(shù)為2，再加17日為7月18日
　?。?5＋3＋2＋17）÷60＝1，余7，
　　結(jié)果與回歷計(jì)算所得相符，即依澤公生于回歷310年3月20日，中歷庚戌日。
　　4 求首朔干支[11]
　　以上計(jì)算所得的中歷干支應(yīng)為所求月內(nèi)的幾日，如對(duì)所求月首（即月初一日）的干支尚不清楚，則求得的干支不能算出它在月內(nèi)的日數(shù)。
　　首朔是指農(nóng)歷每年冬至（平冬至）后第一個(gè)朔日，冬至都在農(nóng)歷年前的十一月，故首朔就是所求該年前的十二月初一日的干支。（歷象考成后編》以雍正元年（172）冬至起算，其干支系數(shù)為32．12253，干支為丙申，而冬至后的 15．12633日為首朔，干支為壬子（33＋15．12633）。自此可求算出 922年 7月即農(nóng)歷六月初一日的干支，以確定本文四·3節(jié)中所求的干支為該年六月第幾日。求算過(guò)程如下：
　　先以1722減921所得之?dāng)?shù)稱(chēng)積年，積年乘歲實(shí)之積為經(jīng)此積年所歷日數(shù)，所歷日數(shù)減32．12254之差被o后的余數(shù)再為o所減，所得之差就是922年冬至的干支（計(jì)算中向上推算或上考往古要用60減）。所歷總?cè)諗?shù)減0．12254，再加上922年冬至之余數(shù)將所歷總?cè)諗?shù)化為整數(shù)后，加上15．12633日所得之和用29．530588除之，除之所得余數(shù)，再加上龍德二年冬至干支，得首朔干支，首朔干支再加上 6 × 29．530588后，累減60而得的余數(shù)，為龍德二年六月初一日的干支，六月一日與月內(nèi)干支差即為六月內(nèi)的日數(shù)。計(jì)算過(guò)程如下：[（1722－921）× 365．2423442－32．12254]÷60＝4875．449784
　　0．44784 ×60＝33．01269，干支序數(shù)已過(guò)33。當(dāng)為34，丁西日，經(jīng)與《中西回史日歷》對(duì)照無(wú)誤。再求922年首朔干支，
　　292 59．1O99一0．12254十0．01269＝292559
　　（292559＋15．12633）÷ 29．530588＝990．4948
0．49498 ×29．530588＝14．1510，再加34，合49，干支為壬子，所得與史書(shū)所載相同。[12]因首朔再過(guò)六個(gè)月方是龍德二年六月初一日，故
　?。?9＋6 ×29．530588）÷60＝3，余46月83528，干支序數(shù)41為庚戌日，為六月初一日干支，再過(guò)二十日為六月二十一日，即馬依澤公出生之日，
　?。?7＋20）÷60＝1，余7，庚午日結(jié)果與回歷、公歷推算所得相同，即馬依澤公出生于回歷 310年 3月20日，農(nóng)歷梁龍德二年六月二十一日，公歷922年7月18日。
計(jì)算中沒(méi)有采用定朔與定氣，可能有數(shù)時(shí)之差。
　　因?qū)⒒貧v，公歷換算成農(nóng)歷時(shí)需用干支以訂正，特將于支次序列表如下：
　　表7 干支次序表

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　　「收稿日期」1999－10－13
　　「作者簡(jiǎn)介」馬肇曾 北京科技大學(xué)化學(xué)系。北京100083