向前進, 你就會產(chǎn)生信念.
——達—朗貝爾
傅利葉變換是信號系統(tǒng)的奠基石，小波分析的基礎(chǔ)理論，理論的粗疏理解固然不難但是
要達到深刻的境界，是不能僅僅依靠教科書的
由于本次討論持續(xù)時間較長，參與面較廣，合集再給予m之后效果反而不佳
為避免討論湮沒，因此在此簡略加以總結(jié)，鄙下僅僅負責發(fā)帖，所有版權(quán)全部歸于以下
幾位IE學長：
Valetine，QueueingSys，zekong，vole，filestorm, dwang
Q1:為何要在通訊中使用傅利葉變換？(fingers)
A11:
一個函數(shù)的傅立葉變換，本質(zhì)上是把函數(shù)分解到一個垂直的坐標系， 每個坐標分
量稱為頻率，
在這個坐標系下的系數(shù)（本身是一個函數(shù)），我們稱它為這個函數(shù)的頻譜。
人們想理解怎么樣能夠控制信號在不同頻率下傳遞 ，因為自然介質(zhì)對不同頻率信號響應(yīng)
不同。然后還要考慮如何能夠在改變信號頻率前后，最小程度的減小或者增大某些量，
比如信噪比，或者熵，或者其他度量。傅立葉變換可以對這些問題提供工具。數(shù)學上，
也更容易操作。
傅利葉變化在工程和物理中使用十分廣泛。（Valetine）
A12:
Fourier Transform是把給定信號用一大堆簡單周期信號做一個線性疊加。
那一大堆簡單的周期信號可以認為是基。這個基很nb，具有很多性質(zhì)，比如正交。同時
，還存在一種快速算法。所以總的來說Fourier Transform實在是只應(yīng)天上有的完美理論。
(filestorm)
Q2:請問．如果對于本身是正旋波的信號．頻率比如說是５ＭＨＺ,做過傅立葉變換．那
頻率是否仍然還和原來相同？
A21:
正弦波座傅立葉變化后就不是周期性的了，所以也就不存在什么頻率了
但是這個變化的沖激是位于５ＭＨＺ和-５ＭＨＺ處(dwang)
A22：
首先, Fourier變換只是給人們提供另一個視角去看信號而已.
有人認為時域看信號直觀些
有人認為頻域看信號直觀些
還有人喜歡即從時域又從頻域看信號, 這要看應(yīng)用場合的.
講得再遠點,除了時域和頻域,你還可以從s域去看信號呢(利用Laplace變換)
另外,同一個信號,是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,無論你從哪個域去看.
從時域看一個sine wave, 以時間為x軸,信號的波形是repeated的,
所以人們很直觀地認為那是"周期的"
從頻域看一個sine wave, 以頻率為x軸, 信號的"頻譜"是2根"脈沖"
但它仍有頻率,仍是周期的。(QueueingSys)
A23:
傅立葉變換是一個數(shù)學工具，它能把信號對角化到不同的頻率。但是信號本身的性質(zhì)和
傅立葉變換沒有關(guān)系，就是說，不管你做不做傅立葉變換，一個信號還是它本身，比如
5Mhz
依然不變。只是換了坐標系來考慮和處理信號，在這個坐標系下操作的好處，就是所有
的頻率對應(yīng)于某一個內(nèi)積是垂直的。(Valetine)
A24:
1. X1+X2+X3+..+Xn  三個未知數(shù)服從不同的分布，想求在其和小于常數(shù)K的概率。
一種是在時域上解的話是n重積分，極其繁瑣。
一種是用蒙托卡羅模擬，但得到的結(jié)果不是解析解，有方差。
一種是用傅立葉變換變到頻域，指數(shù)項使+變成了X，化簡以后，使用反變換，這里有
很多快速數(shù)值算法，比如經(jīng)典的Euler算法。這要比第一種簡單很多。
2. 假設(shè)你對T時間內(nèi)的invariant的分布建了模，而你在其分布特性不變的假設(shè)下想求N
T時間的分布的話，如果T時間分布模型是使用擬和等統(tǒng)計方法得到的話，時域是根本無
法得到的。 只有轉(zhuǎn)到頻域利用projection的特性，再轉(zhuǎn)回來。(zekong)
A25:
信號無論在哪個空間下，都是有頻率的。但是上文說到的“不存在頻率”是指Four
ier Spectrum上再對frequency求frequency，一般來說，這很難找到一個說得通的物理解
釋。
但這個操作是有據(jù)可查的，叫做Liftering，一般工程上Fourier Analysis文獻甚少有紀
錄而已。實際上是可以用來做一些奇怪的檢測。(filestorm)
Q3:談?wù)劯道~變換
A31:感覺大多咱們研究的都是實直線上的可測函數(shù)類，這里可測指的是Lebesgue可測（
勒貝格可測），如果說 Lp（IR)指的是IR（實直線）上的可測類，則應(yīng)該滿足：
L積分（|f(x)|^p)dx有界
L無窮（IR）指的處處有界函數(shù)類
一般來說感覺咱們研究的傅立葉變化實際只是很初等的L1（IR）上的，L2（IR）
本身Lp空間就是一個Banach空間，成立Minkowski不等式，Holder不等式，及Schwarz不
等式，賦予內(nèi)積后，即變成一個Hilbert空間。
當f(x)屬于L1(IR)時，F(xiàn)(w)屬于L無窮（IR），并且再L1(IR)上一致連續(xù)
如果f(x)屬于L2(IR)，那么傅立葉變換L2空間到L2空間的映射
如此有很多值得分析的結(jié)論和定理....
分析學東西很多，雖然都很精彩但理解起來總突然感覺自己原來還是很多不清楚
對于咱們工程應(yīng)用更是接觸的少，比如隨機過程就算搞的再熟，也不過就是多了幾種建
模方法而已，什么排隊論啥的而已
當一旦發(fā)現(xiàn)如果A是X的一個simga環(huán)，（A，X）構(gòu)成一個可測空間，uX=1,時可測集變成
了
隨機事件，而(A,X)才構(gòu)成了概率可測空間時，才發(fā)現(xiàn)我們學很多東西是忽略的東西更多
.(vole)
A32:
如果要從泛函的角度討論的話，那么數(shù)學分析里一些最困難的問題都會歸結(jié)到傅立葉分
析（或者調(diào)和分析）上。
工程上，大部分時候都是以“拿來主義”的態(tài)度，數(shù)學家列個表格傅立葉變換，工程師
直接用就是了。但是如果真的要從定義出發(fā)，很多非常常用的函數(shù)，就很難做傅立葉變
換。
比如沖擊信號，階躍信號，或者高斯分布，要嚴格的定義的話，需要用泛函的知識。前
面的討論就是這些知識的基礎(chǔ)。
當然如果不研究數(shù)學，并不影響任何人用這些結(jié)論。
理解傅立葉變換基本的性質(zhì)，稍微看一些調(diào)和分析，泛函的書（如果你覺得有必要知道
那些列表是怎么來的），多想想為什么要用卷積來描述系統(tǒng)對信號的響應(yīng)（對卷積的理
解很可能是最重要的），這些基本問題個人認為是核心。
而且可以看到，同樣是傅立葉分析，大家的討論卻是大相徑庭，有從estimation的角度
，有從純數(shù)學的角度，等等。這也能說明這個理論的重要，和它廣泛的應(yīng)用。(valetine)
A33：
說到Entropy，剛好正在寫一點東西。忍不住再說兩句。盡量用大白話說。
同一個信號，可以通過各種基底B和系數(shù)c的表達。比如我們可以算H(c)，那么這個熵實
際上就表達了待表達信號與基底的相似性?；蛘咭部梢哉f，是用那個基底來表達這個待
表達信號的復(fù)雜程度。
如果直接對原信號x求H(x)，那實際上默認了基底是I，如果用Fourier Basis來求，那么
默認了基底是exp(i \omega t)。
但是如果用Fourier基底表達大白紙上一個小黑塊兒，顯然就沒有用空域直接表達來得方
便。同理，如果在時域表達一個和弦信號，就不如Fourier更好地表述了其內(nèi)蘊的物理模
型。
總結(jié)一下：從Entropy的角度，我們可以看出在某種表達的復(fù)雜程度，盡量選擇那些有物
理背景的表達，會使得分析的難度大大簡化。
具體地說，通訊里面信息很多是承載在周期變化的物理模型上的，對于波的分析，自然
Fourier會有一定優(yōu)越性了。（filestorm）
Q4:談?wù)劸矸e（valetine）
1，卷積本身是一個理論的，convolution calculus。
剛開始學信號系統(tǒng)的話，一般總會對這個操作感到奇怪，
比如信號 f(x), LTI系統(tǒng)沖擊響應(yīng) g(x)
為什么一個LTI系統(tǒng)對信號的響應(yīng)是 f(x)和g(x) 的卷積？而且什么是卷積呢？
要比較讓人滿意的理解這個問題，一般是需要一點數(shù)學知識的。
稍微離點題，一般的說，函數(shù)可以理解為把一些點映射到另一些點上的操作，
如果我們現(xiàn)在要建立一個操作，可以把一些函數(shù)映射到另一些函數(shù)上，我們說這個操作
是operator. 一個簡單的對函數(shù)的操作，
可以是微分 df(x)/dx，積分 \int f(x)，等等.
那么系統(tǒng)就是一個operator L，輸入一個信號 f(x)，輸出一個信號 u(x)。表示成L(
f(x) ) = u(x)
現(xiàn)在想象一個LTI離散系統(tǒng)，我們放入一個沖擊 delta(x)，系統(tǒng)輸出信號 g(x), 如果
我們把輸入信號分解成很多 c(t) delta(x-t)的和，c(t)表示信號在某個時間的大?。ㄈ?
果是復(fù)數(shù)的話，還有相位），t表示延遲的多少，那么因為是線性系統(tǒng)，我們可以把輸出
疊加，而且是非時變系統(tǒng)，所以每個 delta(x) 的響應(yīng)僅僅是時間上的延遲。 所以輸出
的結(jié)果就是
\sum c(t) g(x-t)
就是所謂的離散和的形式。同樣的道理，如果系統(tǒng)是連續(xù)的，那么這個和的形式就變成
積分。我們稱為卷積。
2,
現(xiàn)在我們試圖來解釋，
為什么傅立葉變換后，時域上的卷積，變成頻域上的乘積？
當然我們可以從定義出發(fā)，做 f(x) * g(x) 的傅立葉變換，然后換變量，就可以分成
F
(jw) 和 G(jw) 的乘積。 但是這個基本上是做數(shù)學游戲，不是讓人覺得滿意。
現(xiàn)在我們換個角度來考慮。
首先要我們需要LTI系統(tǒng)的一個性質(zhì)，頻率響應(yīng)。
簡單的說，一個LTI系統(tǒng)對于正弦信號的輸出，也是一個正弦信號，而且信號的周期不
變，變換的是信號的幅度和相位。這個特點本質(zhì)上是因為 e^{jwx} 是微分算子的特征方
程，就是說對 e^{jwx} 求導以后，還是它本身，變化的僅僅是幅度和相位。
d e^{jwx} / dx  = jw e^{jwx}
從這里自然就會展開去很多概念，比如傳輸方程，特征根等等。
然后我們來考慮 函數(shù) f(x) = e^{jnx}, n 是自然數(shù)
這個函數(shù)周期為 2 pi/n.  而且有一個非常重要的性質(zhì)就是，e^{jnx}，e^{jmx}
在 [0,2pi) 上的積分滿足
\int e^{jnx} e^{-jmx} = 0 , 如果 n 不等于 m;
\int e^{jnx} e^{-jmx} ~= 0 ，如果 n=m。
我們稱這個性質(zhì)為函數(shù)垂直。我們可以把自然數(shù)擴展到所有實數(shù)，積分從[0,2pi)擴展
到
(-inf, +inf)，那么 e^{jwx} w 屬于實數(shù), 構(gòu)成一個垂直的坐標系。
最后我們考慮傅立葉變換。
F(jw) = \int f(x) e^{jwx} dx
有了垂直坐標系的概念后，我們可以把傅立葉變換理解為一個函數(shù)在不同特征方程的分
量。
比如說，f(x) = cos(x), 一個周期 2pi 的信號，那么 F(jw) 就是兩個在 -1 和 +1
的沖擊。之所以我們把信號放在頻域里，就是因為不同頻率的信號，它們相對與一個內(nèi)
積（這里的內(nèi)積就是以上的積分）是垂直的。
有了以上的概念以后，就可以理解卷積定理了。
3,有了特征方程垂直的概念后，我們來看卷積定理。
首先我們做傅立葉變換，把信號 f(x) 分解到不同的特征方程 e^{jwx}上。
對于確定的 w，F(xiàn)(jw) 就是這個數(shù)，表示 f(x) 在e^{jwx}上的分量。
然后我們讓 w 變化，于是 F(jw) 是一個函數(shù)，我們稱它為 f(x) 的頻譜。
前面提到LTI系統(tǒng)的頻響，
輸入 e^{jwx}， 輸出 g(jw) e^{jwx},變化的是幅度和相位，這些信息都包含在系數(shù) g
(jw) 中。
現(xiàn)在我們讓 w 變化，可以測出系統(tǒng)的頻響 G(jw)，到此為止，我們已經(jīng)把 f(x) 分解
，又得到系統(tǒng)頻響，那么運用疊加的性質(zhì)，
線性系統(tǒng)的輸出很自然就是
G(jw) F(jw)
最后鳴謝所有八系學長無私奉獻自己的心得，這種心得是比什么書上的證明都更珍貴的
。